矩陣的Hadamard 積及積的特性

陳引蘭,燕　敏,韋鶴玲

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石　435002)

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矩陣的Hadamard 積及積的特性

陳引蘭,燕敏,韋鶴玲

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石435002)

討論矩陣的Hadamard積的一些代數(shù)性質(zhì)，并對(duì)A,B為對(duì)稱陣、反對(duì)稱陣、對(duì)稱正定陣、對(duì)稱半正定陣、對(duì)稱負(fù)定陣、對(duì)稱半負(fù)定陣等特殊矩陣類，給出了A,B的Hadamard積的類型.

Hadamard 積；對(duì)稱陣；正定陣

A° B=(aijbij)=(bijaij)=B° A ；

(A° B)° C=(aijbij)°(cij)=(aijbijcij)=(aij)°(bijcij)=A°(B° C);

A° J=(aij° 1)=(aij)=A.

下面討論，當(dāng)A,B 為對(duì)稱、反對(duì)稱、對(duì)稱正定、對(duì)稱半正定、對(duì)稱負(fù)定、對(duì)稱半負(fù)定等特殊矩陣時(shí)，Hadamard積A ° B的特性.

命題3設(shè)A,B 為n階是對(duì)稱陣，則A° B 是對(duì)稱陣.

證明設(shè)A=(aij),B=(bij),C=A° B=(cij) ，則aij=aji,bij=bji，(i,j=1,2,…,n),

故cij=aijbji=ajibji=cji，即A ° B=(A° B)'，所以A° B 是對(duì)稱陣.

命題4設(shè)A,B 為n階反對(duì)稱陣，則A° B 是對(duì)稱陣.

證明設(shè) A=(aij),B=(bij),C=A° B=(cij) ，則aij=-aji，bij=-bji(i,j=1,2,…,n) ，故cij=aijbij=ajibji=cji，即A° B=(A° B)' ，所以 A° B是對(duì)稱陣.

命題5設(shè) A為n階對(duì)稱陣，B是n階反對(duì)稱陣，則 A° B是反對(duì)稱陣.

證明設(shè)A=(aij) ,B=(bij) ,C=A° B=(cij)則aij=aji,bij=-bji，(i,j=1,2,…n) ，故cij=-aijbij=-ajibji=-cji，即(A° B)'=-(A° B) ，所以A° B 是反對(duì)稱陣.

為了討論正定和半正定的情況，先給出三個(gè)引理，其證明由(半)正定和(半)負(fù)定的定義[1]容易給出，亦可參見文獻(xiàn)[2].

引理1若A 為n階實(shí)對(duì)稱陣，則A 是半正定當(dāng)且僅當(dāng)存在n階實(shí)矩陣C，使得 A=C′C.

引理2若A 為n階實(shí)對(duì)稱陣，則A 是正定當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆矩陣C，使得A=C′C .

引理3若A 為n階實(shí)對(duì)稱半負(fù)定陣，則-A 是實(shí)對(duì)稱半正定；若A 為n階實(shí)對(duì)稱半正定陣，則-A 是實(shí)對(duì)稱半負(fù)定.

命題6設(shè)A,B 為n階對(duì)稱半正定矩陣，則 A° B是對(duì)稱半正定矩陣.

證明因?yàn)锳,B 是對(duì)稱陣，由命題3知： A° B是對(duì)稱陣。又 B是半正定，由引理1知：存在C=(cij)∈n×n，使得B=C′C .記A=(aij),B=(bij),A° B=(dij)則bij=c1ic1j+c2ic2j+…+cnicnj，故對(duì)任意0≠x=(x1,x2,…,xn)′∈n，有二次型

(*)

故(*)式右邊各項(xiàng)均非負(fù)，即x′(A° B)x≥0，從而 A° B是對(duì)稱半正定矩陣.

命題7設(shè)A,B 為n階對(duì)稱正定矩陣，則A ° B 是對(duì)稱正定矩陣.

證明因?yàn)?A,B是對(duì)稱陣，由命題3知： A° B 是對(duì)稱陣。又B是正定，由引理2知：存在可逆矩陣 C=(cij)∈n×n，使得B=C＇C .記A=(aij),B=(bij), A° B =(dij)則bij=c1ic1j+c2ic2j+…+cnicnj，故對(duì)任意0 ≠x=(x1,x2,…,xn)′∈n，有二次型

(**)

由C 可逆，則對(duì)任意0≠x=(x1,x2,…,xn)′∈n有，從而至少有一個(gè)ck1x1+ck2x2+…+cknxn≠0，故至少有一個(gè)(ck1x1,ck2x2,…,cknxn) ≠0

故(**)式右邊各項(xiàng)均非負(fù)，且至少有一項(xiàng)大于0，故x′(A ° B)x>0，從而A ° B是對(duì)稱正定矩陣.

命題8設(shè) A,B為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則

1)若A,B 均為半負(fù)定，則 A° B為半正定矩陣；

2)若 A,B均為負(fù)定，則A ° B為正定矩陣；

3)若A,B 中一個(gè)為半正定，另一個(gè)為半負(fù)定，則A° B為半負(fù)定矩陣；

4)若A,B 中一個(gè)為正定，另一個(gè)為負(fù)定，則A° B為負(fù)定矩陣；

證明應(yīng)用引理3和命題6，容易證明1)和3)成立；應(yīng)用引理3和命題7，容易證明2)和4)成立.

[1]王萼芳.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社，第3版，2012.

[2]錢吉林.高等代數(shù)題解精粹[M]. 北京:中央人民大學(xué)出版社, 2002.

Hadamard Product of Matrices and the properties of their products

CHEN Yin-lan, YAN Min,WEI He-ling

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University,Huangshi435002,China)

In this paper, some algebraic properties of Hadamard product of two matrices are obtained. And the types of their Hadamard products of A,B∈n×nalso are given for symmetric, antisymmetric,symmetric positive-definite, symmetric positive-semidefinite,Symmetric negative-definite,Symmetric negative-semidefinite matrices.

Hadamard product; symmetric matrices; symmetric positive-definite matrices.

2016—01—10

湖北師范學(xué)院教研項(xiàng)目(2010021);2014年湖北師范學(xué)院卓越中學(xué)教師培養(yǎng)改革項(xiàng)目(卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)模式的創(chuàng)新研究與實(shí)踐).

陳引蘭(1974—)，女，湖北羅田人，碩士，副教授，研究方向?yàn)榇鷶?shù)學(xué).

O151.21

A

1009-2714(2016)02- 0026- 03

10.3969/j.issn.1009-2714.2016.02.006