雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)定價

董瑩瑩，薛　紅

（西安工程大學(xué)理學(xué)院，西安710048）

雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)定價

董瑩瑩，薛紅

（西安工程大學(xué)理學(xué)院，西安710048）

假定股票價格滿足雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程，期望收益率、無風(fēng)險利率和波動率均為常數(shù)，根據(jù)雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動隨機(jī)分析理論，建立雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下金融市場數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用保險精算方法，得到了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)定價公式.

雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動；保險精算；重置期權(quán)

重置期權(quán)是現(xiàn)代金融市場中廣泛應(yīng)用的一種新型期權(quán)［1］.當(dāng)股票價格達(dá)到某一約定水平時，按照此合約規(guī)定將重新設(shè)定交割價格，以便使持有者擁有更多的獲利機(jī)會，深受投資者的喜愛重視.文獻(xiàn)［2］首次利用偏微分方程方法給出了幾何布朗運(yùn)動下重置期權(quán)價格的數(shù)值解.通過對金融市場大量的實(shí)證分析發(fā)現(xiàn)股票價格對過去價格具有依賴性，而分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動具有自相似性、長期相依性等特征，并且是一個高斯過程，因此分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動能更好的刻畫股票價格變化.文獻(xiàn)［3］利用保險精算方法給出了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)定價公式.在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下關(guān)于重置期權(quán)定價的研究可參考文獻(xiàn)［3-4］.近幾年，不少學(xué)者提出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動，將其應(yīng)用到金融市場中并得到了一些研究成果.文獻(xiàn)［5］首次提出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動.雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動是更一般的高斯過程，它不僅無獨(dú)立增量性，而且也不具有平穩(wěn)增量性，它是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的一種推廣，可以描述比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動更一般的金融現(xiàn)象.文獻(xiàn)［6］利用偏微分方程方法得到了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下股本權(quán)證的定價.文獻(xiàn)［7-8］利用雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動隨機(jī)分析理論研究了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的二次變差及雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的風(fēng)險信用模型.目前，關(guān)于重置期權(quán)定價的方法有多種，如鞅方法、偏微分方程方法、Monte Carlo模擬方法、保險精算方法等.其中，保險精算方法適用范圍較廣，保險精算方法［9］是由Mogens Bladt與Tina Hvid Rydberg于1998年首次提出的，關(guān)于保險精算方法的應(yīng)用可參考文獻(xiàn)［9-12］，保險精算方法突出的優(yōu)點(diǎn)是它對金融市場沒有做任何要求，計算潛在損失時僅用了風(fēng)險資產(chǎn)按期望收益率折現(xiàn)，無風(fēng)險資產(chǎn)按無風(fēng)險收益率折現(xiàn)的思想，其結(jié)果對無套利、均衡、完備市場和有套利、非均衡、不完備市場均有效.本文在股票價格滿足雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程的前提下，利用保險精算方法推導(dǎo)出雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)的定價公式.

1　雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下金融市場模型

定義1［5］｛BH，Kt，t≥0｝，0＜H＜1，0＜K≤1，稱為雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動是指為中心高斯過程，且滿足：

當(dāng)K=1時，｛BH，Kt，t≥0｝為參數(shù)為H的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動；特別地，當(dāng)時，為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動.關(guān)于雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動相關(guān)性質(zhì)和隨機(jī)分析基本理論可見文獻(xiàn)［5］.

假設(shè)股票價格｛St，t≥0｝滿足方程

引理1［6］隨機(jī)微分方程（1）的解為

定義2［3］價格過程｛St，t≥0｝在［t，T］的期望收益率βu，u∈［t，T］定義為

引理2在概率空間P下，｛St，t≥0｝在［0，T］上的期望收益率為，βu=μ，u∈［0，T］.

證明由引理1可知

則

2　重置期權(quán)定價公式

定義3［3］假定期權(quán)的敲定價格為Y，到期日為T，用C（t，T，Y）（P（t，t，Y））表示歐式看漲（看跌）期權(quán)在時刻的價格，對于規(guī)定時間的重置看漲期權(quán)，設(shè)重置時間為T1，（0＜T1≤T），則重置執(zhí)行價格，ST1為T1時刻股票價格，CRS（t， T1，T）表示重置歐式看漲期權(quán)在時刻t的價格.

定理1雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下，到期日為T，執(zhí)行價格為X的歐式看漲期權(quán)在時刻t的保險精算定價為

C（t，T，X）=S（t）Φ（d1）-X exp｛-r（T-t）｝Φ（d2），其中

Φ（x）為一元正態(tài)分布函數(shù)，X為標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的執(zhí)行價格.

證明因?yàn)?/p>

記

故

綜上，定理得證.

定理2重置時間為T1的重置歐式看漲期權(quán)在時刻的保險精算定價為：

1）在任意時刻T1≤t≤T，CRS（t，T1，T）=C（t，T，Y）I｛ST1≥Y｝+C（t，T，ST1）I｛ST1＜Y｝；

2）在任意時刻0≤t≤T1，

其中ρ1為與的相關(guān)系數(shù)，ρ2為與的相關(guān)系數(shù)，N（x，y，ρ）dmdn為二元正態(tài)分布函數(shù).

證明1）當(dāng)T1≤t≤T時，由歐式期權(quán)的定價公式易得結(jié)論.

2）當(dāng)0≤t≤T1時，記

計算I1.

因?yàn)锳∩C=

計算I2.

計算I3.因?yàn)锽∩D=，則

計算I4.

合并上述I1，I2，I3，I4的計算式即證定理1.

注1）當(dāng)K=1時，可得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)定價公式（見文獻(xiàn)［3］）；

2）當(dāng)T1=T時，可得雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的保險精算定價公式（見定理1結(jié)論）.

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Reset option pricingmodels in Bifractional environment

DONG Ying-ying，XUE Hong
（School of Science，Xi’an Polytechnic University，Xi’an 710048，China）

Assume that the option price satisfies stochastic differential equation driven by bi -fractional Brownian motion.Also，the expected rate and risk-less rate and the volatility were constants.The financialmarketmathematicalmodelwas builtby the stochastic analysis for bi-fractional Brownian motion.Using the actuarial approach，the pricing formula of reset option in bi-fractional Brownian motion environmentwas obtained.

bi-fractional Brownian motion；actuarialmathematics；reset option

O211

A

1672-0946（2016）02-0242-04

2015-11-04.

陜西省教育廳專項(xiàng)科研基金項(xiàng)目（14JK1299）；西安工程大學(xué)研究生創(chuàng)新基金（CX201613）

董瑩瑩（1992-），女，碩士，研究方向：金融數(shù)學(xué).