RLW方程非協(xié)調(diào)特征有限元超收斂分析

周家全，許　超，唐啟立

(1.洛陽(yáng)理工學(xué)院數(shù)理部,河南洛陽(yáng)　471023;2.河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南洛陽(yáng)　471023)

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RLW方程非協(xié)調(diào)特征有限元超收斂分析

周家全1，許超1，唐啟立2

(1.洛陽(yáng)理工學(xué)院數(shù)理部,河南洛陽(yáng)471023;2.河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南洛陽(yáng)471023)

構(gòu)造了二維RLW方程的一個(gè)非協(xié)調(diào)特征有限元格式,利用修正類(lèi)Wilson非協(xié)調(diào)元的特性和雙線性協(xié)調(diào)元插值算子的高精度結(jié)果,在不使用投影算子的情況下得到了RLW方程數(shù)值解與精確解的L2-模最優(yōu)誤差估計(jì)和H1-模超逼近結(jié)果.最后,利用插值后處理算子得到了H1-模的整體超收斂結(jié)果.

二維RLW方程；非協(xié)調(diào)特征有限元；最優(yōu)誤差估計(jì)；超逼近；超收斂

0　引言

考慮二維RLW方程

(1)

其中,X=(x,y),Ω?R2為具有Lipschitz連續(xù)邊界?Ω的有界凸多邊形區(qū)域,(0,T]為時(shí)間區(qū)間,u0(X)為已知光滑函數(shù).

RLW方程最初是作為Korteweg-de Vries(KdV)方程而提出的一個(gè)修正模型[1],可用于描述物理中的許多現(xiàn)象,例如淺水波的孤立子波的運(yùn)動(dòng)和離子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律等.相對(duì)于KdV方程,RLW方程具有更好的數(shù)學(xué)性質(zhì),因此對(duì)RLW方程數(shù)值解法的研究具有重要意義.目前,關(guān)于RLW方程的有限元數(shù)值方法已有很多[4-11],但都是基于協(xié)調(diào)有限元的.

本文將修正類(lèi)Wilson元[17]與特征有限元相結(jié)合，并針對(duì)RLW方程構(gòu)造了一個(gè)非協(xié)調(diào)特征有限元格式,利用修正類(lèi)Wilson元的特殊性質(zhì)以及雙線性元插值算子的高精度結(jié)果,在不使用投影算子的情況下得到了其數(shù)值解與精確解的L2-模最優(yōu)誤差估計(jì)和H1模的超逼近結(jié)果.最后,通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)牟逯岛筇幚硭阕訉?dǎo)出了整體超收斂結(jié)果.

1　非協(xié)調(diào)有限元構(gòu)造

其中

任意vh∈Vh可表示為

2　RLW方程的非協(xié)調(diào)特征有限元格式

進(jìn)而方程(1)可寫(xiě)成等價(jià)特征形式

(2)

(3)

(4)

(5)

在四邊形網(wǎng)格上,修正類(lèi)Wilson元有如下特殊性質(zhì),這些特性在得到L2-模最優(yōu)誤差估計(jì)和H1-模超逼近結(jié)果的過(guò)程中起著重要作用.

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

當(dāng)Jh為廣義矩形網(wǎng)格剖分時(shí),有

(,,

其中Pi(K)(i=1,2)為K上不超過(guò)i次的多項(xiàng)式集合,n為單元K邊界?K的單位外法向量.

3　收斂性分析

本節(jié)給出RLW方程特征非協(xié)調(diào)有限元離散格式(5)的L2-模最優(yōu)誤差估計(jì)和H1-模超逼近結(jié)果.

(11)

(12)

其中,

(13)

由(3)和(5)式可得誤差方程

(14)

其中

在(14)式中取vh=θn可得

(15)

下面對(duì)(15)式右端各項(xiàng)分別進(jìn)行估計(jì).利用Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式,并結(jié)合引理1,引理2和(7)式可得

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

類(lèi)似文獻(xiàn)[12]的方法,可得H7的估計(jì)：

(22)

(23)

將(16)～(23)式代入(15)式,并從1到n求和,考慮到θ0=0,再利用Gronwall引理,可得

(24)

4　超收斂性分析

基于上述超逼近結(jié)果,我們引入具有如下性質(zhì)的插值后處理算子Π2h[16,19]：

(25)

定理2設(shè)u和uh分別是方程(3)和(5)的解,則對(duì)?u∈H3(Ω),有如下超收斂結(jié)果：

(26)

證明由于

利用三角不等式及(25)和(12)式,可得

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(責(zé)任編輯馬宇鴻)

Superconvergence analysis of nonconforming characteristicfiniteelementmethodforRLWequations

ZHOU Jia-quan1,XU Chao1,TANG Qi-li2

(1.Department of Mathematics and Physics,Luoyang Institute of Science and Technology,Luoyang471023,Henan,China;2.SchoolofMathematicsandStatistics,HenanUniversityofScienceandTechnology,Luoyang471023,Henan,China)

Inthispaper,anonconformingcharacteristicfiniteelementschemeisproposedfor2DRLWequations.Byuseofthespecialpropertiesofthenonconformingquasi-Wilsonelementandhighaccuracyresultofstandardconformingbilinearfiniteelementinterpolationoperator,andwithouttheprojectionoperator,anoptimalordererrorestimateinL2-normandsupercloseresultinbrokenH1-normareobtained.Atthesametime,theglobalsuperconvergenceinbrokenH1-normisdeducedbyinterpolationpostprocessingtechnique.

2DRLWequations;nonconformingcharacteristicfiniteelement;optimalerrorestimate;supperclose;supperconvergence

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.04.003

2016-02-27;修改稿收到日期:2016-05-12

國(guó)家自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(11401174);河南省教育廳自然科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目(14B110025);洛陽(yáng)理工學(xué)院自然科學(xué)研究項(xiàng)目(2011YZ1106)

周家全(1971—)，男，河南商丘人，副教授，碩士.主要研究方向?yàn)橛邢拊椒捌鋺?yīng)用.

E-mail:lyzhjq@126.com

O242.21

A

1001-988Ⅹ(2016)04-0009-05