基于卡爾曼濾波的優(yōu)化GM(1,1)模型在建筑物沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

蔣　濤

(1. 礦山空間信息技術(shù)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河南 焦作 454000;2.河南理工大學(xué)　測(cè)繪與國(guó)土信息工程學(xué)院，河南 焦作 454000)

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基于卡爾曼濾波的優(yōu)化GM(1,1)模型在建筑物沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

蔣濤1,2

(1. 礦山空間信息技術(shù)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河南 焦作 454000;2.河南理工大學(xué)測(cè)繪與國(guó)土信息工程學(xué)院，河南 焦作 454000)

為了提高灰色GM(1,1)模型的抗擾動(dòng)能力和預(yù)測(cè)精度，運(yùn)用卡爾曼濾波對(duì)原始沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波去噪，并重新構(gòu)建灰色GM(1,1)模型的背景值，建立基于卡爾曼濾波的優(yōu)化GM(1,1)模型。以某建筑物實(shí)測(cè)沉降數(shù)據(jù)為例，進(jìn)行新模型、傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型和優(yōu)化的GM(1,1)模型的計(jì)算比較，結(jié)果表明，新模型不僅可以有效剔除監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中的隨機(jī)噪聲， 而且提高了模型精度。

GM(1,1)模型；背景值；卡爾曼濾波；沉降預(yù)測(cè)

通過(guò)已有沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的處理和分析研究，構(gòu)建科學(xué)的預(yù)測(cè)模型，對(duì)建筑物的安全監(jiān)測(cè)與災(zāi)害預(yù)報(bào)工作具有極其重要的實(shí)際意義。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞灰色理論在沉降監(jiān)測(cè)預(yù)測(cè)方面的應(yīng)用進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)[1]從傳統(tǒng)灰色GM(1,1)建模原理入手，從模型的初值選取[2]、背景值的構(gòu)造[2-3]以及殘差的處理方面[4]進(jìn)行綜合系統(tǒng)的優(yōu)化，并將優(yōu)化模型運(yùn)用到大壩的變形監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn)中，綜合優(yōu)化的模型可獲得較高精度的大壩沉降預(yù)測(cè)結(jié)果。文獻(xiàn)[5]針對(duì)沉降觀測(cè)中時(shí)間序列間隔不同，提出了非等距灰色GM(1,1)模型，并將其加權(quán)處理模型應(yīng)用到建筑物的沉降觀測(cè)工作中，獲得了比傳統(tǒng)模型更高精度的預(yù)測(cè)結(jié)果。文獻(xiàn)[6-8]應(yīng)用灰色GM(1,1)的組合模型高層建筑物以及大壩的沉降工作，耦合的灰色 GM(1,1)預(yù)測(cè)模型提高了預(yù)測(cè)精度，能夠滿足沉降監(jiān)測(cè)的需求。但對(duì)于沉降監(jiān)測(cè)工作中，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)存在觀測(cè)噪聲，具有波動(dòng)性大的問(wèn)題，傳統(tǒng)灰色及其優(yōu)化模型都不能很好解決。本文利用卡爾曼濾波具有較好的抗噪聲能力，運(yùn)用卡爾曼濾波對(duì)原始沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波降噪處理，并針對(duì)傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型的固有系統(tǒng)誤差，從構(gòu)造模型的原理出發(fā)，建立了基于卡爾曼濾波的優(yōu)化GM(1,1)模型。最后結(jié)合某建筑物沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與傳統(tǒng)灰色GM(1,1)和背景值優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)對(duì)比分析。

1　背景值優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型

1.1傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型

傳統(tǒng)的灰色GM(1,1)模型的建模過(guò)程如下：

假設(shè)一組原始數(shù)據(jù)序列，記為X(0)。

(1)

對(duì)數(shù)據(jù)X(0)序列進(jìn)行一次AGO(原始數(shù)據(jù)進(jìn)行累加)，生成的新數(shù)據(jù)序列記為X(1)。

(2)

令Z(1)為X(1)數(shù)據(jù)序列的均值序列(MEAN)，則

(3)

則灰色GM(1,1)模型的灰色微分方程為

(4)

式中：a為發(fā)展系數(shù)，b為灰作用量。

式(4)的白化型式可進(jìn)一步表述為

(5)

(6)

式中：

則傳統(tǒng)的灰色GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)方程為

(7)

最后，恢復(fù)時(shí)間序列(模型值進(jìn)行累減)，得到灰色GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)值為

(8)

1.2傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型系統(tǒng)誤差分析

圖1　背景值Z (1)序列的構(gòu)造示意圖

1.3構(gòu)造新的背景值

(9)

經(jīng)過(guò)式(9)重新構(gòu)造的背景值，重復(fù)式(3)到式(8)的建模過(guò)程，即構(gòu)建了背景值優(yōu)化的灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)模型。

2　卡爾曼濾波

卡爾曼濾波是一種通過(guò)對(duì)被提取信號(hào)有關(guān)的觀測(cè)量的算法估計(jì)得出所需信號(hào)的濾波方法[9]。離散系統(tǒng)卡爾曼濾波的數(shù)學(xué)模型由狀態(tài)方程和觀測(cè)方程構(gòu)成，可表示為[10-11]

(10)

式中：Xk為n×1階狀態(tài)向量，Lk為m×1階觀測(cè)向量，F(xiàn)k/k-1為n×n階狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Gk-1為n×r階動(dòng)態(tài)噪聲矩陣，Wk-1為r×1階動(dòng)態(tài)噪聲，Vk為m×1階觀測(cè)噪聲，Hk為m×n階觀測(cè)矩陣。

利用最小二乘原理，隨機(jī)離散型卡爾曼濾波遞推公式為[9-12]

(11)

離散型卡爾曼濾波模型的一步預(yù)測(cè)值的方差矩陣為

(12)

卡爾曼濾波模型的狀態(tài)向量的估計(jì)值為

(13)

卡爾曼濾波模型的狀態(tài)向量估計(jì)值的方差矩陣為

(14)

式中，Jk為卡爾曼濾波增益矩陣

(15)

3　工程應(yīng)用

該工程為鄭州市某項(xiàng)目新建居民樓，在1～9#棟居民樓布設(shè)28個(gè)沉降觀測(cè)點(diǎn)，按照二等水準(zhǔn)測(cè)量的要求進(jìn)行往返測(cè)量，監(jiān)測(cè)周期為一周，以確定每棟樓沉降的穩(wěn)定性。選取位于8#樓的監(jiān)測(cè)點(diǎn)8-12的觀測(cè)數(shù)據(jù)，將原始的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行卡爾曼濾波處理，獲取去噪的更加平滑的建模數(shù)據(jù)，然后就濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行背景值優(yōu)化灰色GM(1,1)模型的擬合以及預(yù)測(cè)，借此反映該棟樓的沉降情況。原始的觀測(cè)數(shù)據(jù)如表1所示。

3.1卡爾曼濾波降噪

表1　監(jiān)測(cè)點(diǎn)原始數(shù)據(jù)序列

表2　濾波值與原始值的對(duì)比

3.23種預(yù)測(cè)模型的數(shù)據(jù)結(jié)果分析

按照1.1章節(jié)的傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型的建模過(guò)程，利用表1中原始數(shù)據(jù)的前7期數(shù)據(jù)建立傳統(tǒng)的灰色GM(1,1)模型，進(jìn)行后4期數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)，該模型為模型1；按照1.3章節(jié)重新構(gòu)造背景值的優(yōu)化方法，利用表1中原始數(shù)據(jù)的前7期數(shù)據(jù)建立背景值優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型，進(jìn)行第8～11期數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)，該模型為模型2；利用表2中卡爾曼濾波數(shù)據(jù)的前7期數(shù)據(jù)建立基于卡爾曼濾波的背景值優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型，進(jìn)行后4期數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)，該模型為模型3。3種預(yù)測(cè)模型的擬合值和預(yù)測(cè)結(jié)果如表3所示。另外，3種模型的數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)曲線比較如圖2所示。

表3　3種模型擬合值和預(yù)測(cè)值

圖2　3種模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值比較

從表3中可以看出，經(jīng)過(guò)卡爾曼濾波降噪處理的數(shù)據(jù)建立背景值優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型的殘差中誤差為0.19 mm；利用原始數(shù)據(jù)構(gòu)建的背景值優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型的殘差中誤差為0.21 mm；傳統(tǒng)灰色GM(1,1)的殘差中誤差為0.25 mm。同時(shí)，從圖2中可以看出，基于卡爾曼濾波的優(yōu)化GM(1,1)模型的數(shù)據(jù)擬合曲線最接近實(shí)際的觀測(cè)值。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證得出，卡爾曼濾波降噪的有效性，通過(guò)重構(gòu)背景值的灰色GM(1,1)模型的精度優(yōu)于傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型，卡爾曼濾波降低了建模數(shù)據(jù)的干擾噪聲，使預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)更有實(shí)際的參考價(jià)值。

4　結(jié)束語(yǔ)

建筑物的沉降監(jiān)測(cè)工作中，利用實(shí)測(cè)的觀測(cè)數(shù)據(jù)建立科學(xué)的預(yù)測(cè)模型。在滿足工程應(yīng)用的精度要求下，預(yù)測(cè)模型需要的觀測(cè)資料較少，減輕了大量的外業(yè)實(shí)測(cè)工作，提高了工作效率，同時(shí)提供了可靠的參考資料，對(duì)建筑物的安全監(jiān)測(cè)與預(yù)報(bào)工作具有極其重要的意義。本文針對(duì)傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型的固有系統(tǒng)誤差，從構(gòu)造模型的原理出發(fā)，重新構(gòu)造了模型的背景值對(duì)傳統(tǒng)模型進(jìn)行優(yōu)化，利用卡爾曼濾波具有較好的抗噪聲能力，運(yùn)用卡爾曼濾波對(duì)原始沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波降噪處理，建立基于卡爾曼濾波的優(yōu)化GM(1,1)模型，使得建模數(shù)據(jù)的抗干擾能力增強(qiáng)，改善優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型的穩(wěn)定性。并結(jié)合某建筑物沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)和對(duì)比分析。通過(guò)實(shí)例對(duì)比分析表明,基于卡爾曼濾波的優(yōu)化GM(1,1)模型不僅可以有效剔除監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中的隨機(jī)噪聲， 而且提高了模型精度，具有一定的參考價(jià)值。

[1]李克昭,李志偉,孟福軍,等.基于綜合優(yōu)化GM(1,1)的形變預(yù)測(cè)模型[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2016,36(2):120-123.

[2]張彬,西桂權(quán).基于背景值和邊值修正的GM(1,1)模型優(yōu)化[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2013,33(3):682-688.

[3]劉樂(lè),王洪國(guó),王寶偉.基于背景值構(gòu)造方法的GM(1,1)模型優(yōu)化[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2009(1):153-155.

[4]郭蘭蘭,鄒志紅,安巖.基于殘差修正的GM(1,1)模型在水質(zhì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2014,44(19):176-181.

[5]成樞,李強(qiáng).基于非等間隔GM(1,1)模型的沉降預(yù)測(cè)[J].測(cè)繪與空間地理信息,2015,38(4):33-35.

[6]高寧,崔希民,高彩云.高層建筑物沉降變形的灰線性預(yù)測(cè)[J].測(cè)繪科學(xué),2012,37(3):96-98.

[7]張俊中,雷偉偉,王睿,等.灰線性回歸模型在建筑物沉降分析中的應(yīng)用[J].河南科學(xué),2015,33(3):416-420.

[8]沈哲輝,黃騰,唐佑輝.灰色—馬爾科夫模型在大壩內(nèi)部沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].測(cè)繪工程,2015,24(2):69-74.

[9]姜?jiǎng)?楊志強(qiáng),張貴鋼.卡爾曼濾波算法的灰色理論模型在變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用[J].測(cè)繪科學(xué),2011,36(4):19-21.

[10] 符新新,高俊強(qiáng),石巖. Kalman濾波在GPS非差相位精密單點(diǎn)定位中的應(yīng)用[J].黑龍江工程學(xué)院學(xué)報(bào),2015,29(3):6-8.

[11] 文鴻雁,周呂,韓亞坤,等. 基于卡爾曼濾波的GM(1,1)模型在高鐵隧道沉降變形分析中的應(yīng)用[J]. 大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2014,34(1):88-91.

[12] 周呂,文鴻雁,韓亞坤. 灰關(guān)聯(lián)Kalman濾波的大壩變形分析模型[J]. 桂林理工大學(xué)學(xué)報(bào),2013,33(1):95-98.

[責(zé)任編輯：劉文霞]

Application of an optimized GM(1,1) model based on Kalman filter to the subsiding prediction of buildings

JIANG Tao1,2

(1.Key Laboratory of Mine Spatial Information Technologies, National Administration of Surveying, Mapping and Geoinformation, Jiaozuo 454000, China;2.School of Surveying and Landing Information Engineering, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454000, China)

To improve the disturbance ability and prediction precision of the Grey GM(1,1) model, using the KALMAN filter to denoise the original settlement data and reconstruct the background value of the grey GM(1,1) model, this paper obtains an optimized M(1,1) prediction model based on KALMAN filter. A case study upon a building subsidence measure data is conducted. The calculation results based on new model,traditional GM(1,1) model and the optimized GM(1,1) model are compared. The results show that new model can not only reduce random noise in monitoring data effectively, but also improve the precision of the model.

GM (1, 1) model; background value; Kalman filter；subsidence prediction

10.19352/j.cnki.issn1671-4679.2016.04.002

2016-04-11

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41001226)

蔣濤(1989-)，男，碩士研究生，研究方向：3S集成與應(yīng)用.

P208

A

1671-4679(2016)04-0007-04