對水火箭發(fā)射速度和射程的理論研究

廖立楊　楊曉冬

(1廣東梅縣東山中學，廣東 梅州　514015；2嘉應學院物理與光信息科技學院，廣東 梅州　514015)

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對水火箭發(fā)射速度和射程的理論研究

廖立楊1楊曉冬2

(1廣東梅縣東山中學，廣東 梅州514015；2嘉應學院物理與光信息科技學院，廣東 梅州514015)

本文利用功能原理及理想氣體絕熱方程，推導獲得水火箭發(fā)射初始速度、噴水時間以及射程的表達式.利用上述表達式對水火箭發(fā)射的初始速度、噴水時間及射程進行了理論計算，并對水火箭內(nèi)盛裝水的體積和發(fā)射角度的最佳值進行了理論計算與研究.

水火箭;功能原理;理想氣體絕熱方程;初始速度

水火箭是備受廣大中學生喜愛的科技制作.近年來，水火箭比賽在許多中學廣受歡迎，開展得如火如荼[1-5].目前有關水火箭的文獻報道主要采用實驗方法，對水火箭射程及結(jié)構(gòu)改進進行了研究，而對于水火箭發(fā)射過程缺乏較為詳細的定量理論分析，缺乏對水火箭發(fā)射初速度及射程進行理論計算的方法及相關理論.本文對水火箭的發(fā)射初速度、射程及噴水時間的進行較為詳細的理論分析與研究，以獲得水火箭的發(fā)射初速度、射程及噴水時間理論表達式.

1　水火箭發(fā)射理論分析

圖1　水火箭結(jié)構(gòu)示意圖

水火箭結(jié)構(gòu)如圖1所示，在可樂瓶內(nèi)灌入一定量的水并封閉一定質(zhì)量的空氣.發(fā)射時，利用打氣筒不斷充入空氣，當壓力超過橡皮塞能與瓶口間的最大摩擦力時，瓶口與橡皮塞脫離，壓縮空氣把水從火箭尾部的瓶口向后高速噴出，水火箭依靠噴射水的反沖力，在短時間內(nèi)獲得較高的發(fā)射速度，之后靠慣性在空中滑翔飛行.為減小水火箭在飛行過程中的空氣阻力，在水火箭前端通常固定尖狀導流罩，同時在水火箭前端固定沙袋配重來提高水火箭重心，以保證水火箭平穩(wěn)飛行.

2.1水火箭發(fā)射初速度理論研究

為研究水火箭發(fā)射初速度，我們利用功能原理建立水火箭發(fā)射過程的運動方程.為簡便計，我們還將忽略一些次要因素.首先，由于瓶體的截面積比瓶口面積大較多，瓶內(nèi)水相對瓶體的速度遠小于水的噴出速度，同時也遠小于瓶體運動速度，所以忽略瓶內(nèi)水的速度，認為瓶內(nèi)水與瓶體具有相同的運動速度；同時彈體較重、速度不太快，空氣阻力也忽略.

圖2　水火箭發(fā)射工程示意圖

圖2(a)為瓶內(nèi)水噴射過程中，t時刻水火箭示意圖，設該時刻水火箭總體質(zhì)量為m，瓶體質(zhì)量為m0，水火箭的發(fā)射速度為u，瓶內(nèi)液面高度為h，瓶內(nèi)氣體壓強為p，瓶外大氣壓強為pm.在瓶內(nèi)氣體及外界大氣壓力作用下，設dt時間微元內(nèi)，體積為dV，質(zhì)量為dm的水噴出瓶口，其相對地面的噴射速度為v，同時在反沖力的作用下，水火箭發(fā)射速率增加du，如圖2(b)所示.假設瓶內(nèi)水為理想流體，根據(jù)功能原理，dt時間內(nèi)，水火箭機械能增量可表示為

(1)

(2)

設噴水過程中，水相對于瓶體的噴射速度為vr，則式(2)可表示為

(3)

在上述噴水發(fā)射過程中，瓶內(nèi)氣體對水的壓力為內(nèi)力，水火箭所受重力為外力.若水火箭使用體積為1.25L的可樂瓶，其瓶體直徑為9cm，設瓶內(nèi)氣體壓強為3倍標準大氣壓(實驗表明，水火箭瓶內(nèi)可承受最大氣壓值可達10個標準氣壓)，此時瓶內(nèi)的壓力約為2400N，而水火箭所受重力約為10N，因此在水火箭噴射過程中，系統(tǒng)所受重力可忽略，整個噴水發(fā)射過程動量守恒，則可得：

(4)

將式(4)展開可得：

(5)

將式(5)代入式(4)并展開可得：

(6)

式(6)中，水火箭噴射水的與瓶氣內(nèi)體體積變化量dV間滿足：

(7)

將式(5)、(7)代入式(6)可得：

(8)

利用分離變量法，根據(jù)式(8)，可將水火箭在噴水過程中所獲得的發(fā)射速度表示為

(9)

上式中，積分變量為發(fā)射過程中，噴出水的質(zhì)量.積分上限中，m0為瓶內(nèi)水噴射完后瓶體的質(zhì)量，M為水火箭初始時刻質(zhì)量，其值應為噴射水的總質(zhì)量與m0之和.由于發(fā)射時間較短，且瓶體隔熱性較好，瓶內(nèi)氣體在膨脹過程中無法與外界完成熱交換，因此可認為在噴水過程中，瓶內(nèi)氣體做絕熱膨脹.下面我們將利用理想氣體狀態(tài)方程，對式(9)做變量變換，以便利用數(shù)值法對式(9)進行求解.設瓶體的容積為V0，在噴水過程的初始時刻，瓶內(nèi)氣體壓強為p0，瓶內(nèi)水的體積為k0V0，0

(10)

式中，0≤k

(11)

設噴水過程中，任意時刻壓強為p，由式(10)、式(11)及理想氣體絕熱方程可得：

(12)

上式中，γ為空氣的比熱容比，其值為7/5.對式(12)變形可得：

(13)

式(13)中，壓強p為k的函數(shù).在噴水過程中，任意時刻瓶內(nèi)水的質(zhì)量可表示為

(14)

在噴水過程的初始時刻，瓶內(nèi)水的質(zhì)量為

(15)

由式(14)及式(15)可得噴水過程中，任意時刻水火箭的質(zhì)量為

(16)

由于dt時間內(nèi)噴射水的質(zhì)量與dt時間內(nèi)水火箭質(zhì)量變化量相同，所以dt時間內(nèi)噴射水的質(zhì)量可表示為

(17)

將式(13)、(15)、(16)、(17)代入式(9)可得：

(18)

由式(18)可以看出，水火箭發(fā)射初始速度u主要取決于水火箭初始時刻腔內(nèi)氣體壓強p0、初始時刻水火箭內(nèi)水體積與可樂瓶體積的比值k0以及水火箭噴水完畢后水火箭的質(zhì)量m0.其中瓶內(nèi)初始氣體壓強p0主要由瓶塞與瓶體間摩擦力大小決定，實驗表明，其值可達1000kPa；理論上說，水火箭噴水完畢后水火箭的質(zhì)量m0其值越小，噴水過程中所獲得的加速度就越大，最后獲得的發(fā)射速度也越大，但在實際發(fā)射過程中，為了保證火箭在空中不翻滾，須在其前端艙內(nèi)加沙作為配重，所以其值也不可能太小; k0是發(fā)射者能夠靈活控制的重要參數(shù).為了研究k0對于水火箭發(fā)射初速度的影響，設m0=0.3kg，V0=0.125L，外界氣壓pm=100kPa，利用式(18)，我們分別計算初始壓強p0為550kPa、700kPa、800kPa、1000kPa時，水火箭發(fā)射初速度u隨k0變化曲線，計算結(jié)果如圖3所示.從圖3可以直觀看出，在壓強p0固定的條件下，當k0為某一最佳值時，水火箭發(fā)射初速度u最大.表1為根據(jù)式(18)計算所得，在不同初始壓強p0下，水火箭發(fā)射速度u最大所對應k0最佳值，同時也計算了u的最大值.從圖3及表1可直觀看出，隨著初始壓強p0的增大，k0最佳值逐漸增大，且k0最佳值的變化范圍并不大，當p0在550～1000kPa范圍內(nèi)，k0最佳值在0.46～0.5之間.

圖3　水火箭發(fā)射初速度u隨k0變化曲線

p0/kPa5506007008009001000k00.460.470.480.490.490.50u/(m·s-1)22.523.926.629.131.433.5

2.2水火箭噴水時間理論研究

噴水過程所需要時間表達式可由下列步驟推導：設瓶口的面積為S，則dt時間內(nèi)，噴射水的體積為

(19)

根據(jù)式(11)，dt時間內(nèi)瓶內(nèi)氣體體積變化量dV可表示為：

(20)

由(21)、(22)兩式可得：

(21)

由(6)、(7)兩式可得：

(22)

根據(jù)(13)、(21)、(22) 3式可得：

(23)

由式(25)可得，噴水過程所需時間為

(24)

利用式(24)，我們采用數(shù)值計算的方法，分別計算了水火箭初始壓強為550kPa、600kPa、700kPa、800kPa、900kPa及1000kPa時，發(fā)射過程的噴水時間，計算過程中，設瓶口瓶嘴的直徑1.5cm，對應的面積為0.99cm2,瓶的容積為1.25L，瓶體直徑約為9cm，瓶體直徑為瓶口直徑的6倍，其橫截面面積為瓶口面積的36倍，所以瓶內(nèi)水相對瓶體速度應為瓶口噴水速度的1/36.k0為表1所給出的上述壓強下的最佳值，計算結(jié)果如表2所示.從計算結(jié)果可看出，隨著初始壓強增大，噴水時間逐漸降低.

噴水過程中,瓶口水的平均噴射速度可以表示為

(25)

式中，d1為瓶口直徑，瓶內(nèi)水的平均流動速度可以表示為

(26)

表2　不同壓強對應水火箭的噴水時間、相對瓶體噴水

表3　水火箭在不同初始壓強下的射程

2.3水火箭射程計算

設水火箭以與地面為θ的發(fā)射角向遠處發(fā)射，忽略空氣阻力，其運動可分為：噴水發(fā)射與斜拋運動.其中第一階段噴水發(fā)射過程可分解為在噴射水反沖力作用下，沿與地面夾角為θ方向的變加速直線運動與自由落體運動的合成，當噴水過程結(jié)束時，水火箭沿水平方向與豎直方向的速度可表示為

(27)

(28)

式中ux為噴射結(jié)束時水平，uy為噴射結(jié)束時豎直方向的速度，u為噴射結(jié)束時的速度，其值可由式(18)計算獲得.水火箭噴射過程上升高度可表示為：

(29)

(30)

噴射過程完成后，斜拋運動的運動方程為

(31)

式中t為水火箭完成整個斜拋運動所需時間，由式(31)可得

(32)

水火箭發(fā)射的總射程可表示為

(33)

將式(27)、(28)、(30)、(31)代入式(33)并展開得：

(34)

上式中，不同壓強下的發(fā)射初速度u可由式(18)求得，噴水所用時間t0可由式(24)求得.利用式(34)，我們計算瓶的體積V0=1.25L，噴口直徑為1.5cm，瓶體直徑為9cm，k0=0.5，m0=0.3kg，發(fā)射角度為45°時，水火箭在不同初始壓強下的射程.計算結(jié)果如表3所示.

由表3可見，隨著初始壓強增大，射程逐漸增大；平均而言，壓強較大時，射程隨壓強增大而增大的速率更快.利用式(34)，我們又計算了初始壓強p0=550kPa時，水火箭在不同發(fā)射角度下的射程.計算結(jié)果如表4所示.

表4　水火箭在不同發(fā)射角度下的射程

從表4可以直觀看出，由于考慮了噴水過程水火箭的射程，水火箭發(fā)射的最佳角度約為47°，并非普通平拋運動對應的45°.

3　結(jié)語

通過對水火箭發(fā)射過程的理論研究，獲得水火箭發(fā)射初速度、噴水時間及射程計算公式，并利用上述公式對水火箭的發(fā)射初速度、噴水時間及射程進行了理論計算.上述理論研究結(jié)論對于水火箭的設計及結(jié)構(gòu)優(yōu)化具有一定的指導意義.

[1]方紅霞.關于水火箭水平射程的實驗探究[J].物理實驗，2011(12):17-19.

[2]楊慧迪，牛亮. 從實驗與理論的雙重角度淺析影響水火箭飛行距離的因素[J].物理教師，2014(12):48-50.

[3]汪海. 二級加壓水火箭的制作方法[J].物理實驗，2012(6):23-26.

[4]梁法庫，梁帥.可以任意角度發(fā)射的水火箭[J].物理實驗，2010(10):31-32.

[5]劉魯華，鄒東升，陳克俊.導彈工程專業(yè)“水火箭”案例設計與思考[J].高等教育研究學報，2014(3):1672-1674.

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THEORETICALINVESTIGATIONOFTHELAUNCHINITIALVELOCITYANDTHELAUNCHDISTANCEFORTHEWATERROCKET

LiaoLiyang1YangXiaodong2

(1GradeThree,TungshunMiddleSchool,Meizhou,Guangdong514015；2SchoolofPhysicsandOpticalInformationTechnology,JiayingCollege,Meizhou,Guangdong514015)

Accordingtotheprincipleofworkandenergyandidealgasadiabaticequation,theexpressionsoftheinitialvelocity,thetimeofjettingwater,andthelaunchdistanceofwaterrocketarededuced.Basedontheexpressions,theinitialvelocity,thetimeofjettingwater,andthelaunchdistanceofwaterrocketarecalculatedtheoretically.Optimumvolumeofwaterinthewaterrocketandthebestlaunchanglearealsoinvestigated.

waterrocket;principleofworkandenergy;idealgasadiabaticequation;initialvelocity

2015-10-01；

2015-10-24

廖立楊，男，廣東梅縣東山中學高三年級學生，2014年獲第三十一屆全國中學生物理競賽三等獎，2015年獲第三十二屆全國中學生物理競賽一等獎.

引文格式: 廖立楊,楊曉冬. 對水火箭發(fā)射速度和射程的理論研究[J]. 物理與工程，2016，26(3)：82-86.