論平均值公理在量子力學(xué)中的地位及其對(duì)教學(xué)的啟示

彭勇宜　彭　政　符力平

(中南大學(xué)物理與電子學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙　410083)

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論平均值公理在量子力學(xué)中的地位及其對(duì)教學(xué)的啟示

彭勇宜彭政符力平

(中南大學(xué)物理與電子學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙410083)

文章對(duì)平均值公理在量子力學(xué)中的作用、地位及其對(duì)量子力學(xué)教學(xué)的啟示進(jìn)行了詳細(xì)的分析和討論，表明只需將普通的平均值公式加以推廣，便可自然地得到量子力學(xué)中的平均值公理.平均值公理在量子力學(xué)中處于基礎(chǔ)地位，從平均值公理出發(fā)，用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論可進(jìn)一步推導(dǎo)出量子力學(xué)的其他基本特性.在量子力學(xué)教學(xué)過程中，從平均值公理出發(fā)，量子力學(xué)理論的邏輯和概念會(huì)更清晰，特別是對(duì)于初學(xué)者而言，這樣更便于他們接受和理解量子力學(xué)理論.

平均值公理；量子力學(xué)；教學(xué)

作為物理專業(yè)四大力學(xué)之一的量子力學(xué)，其重要性是不言而喻的，可以說沒有哪一門現(xiàn)代物理學(xué)的分支和現(xiàn)代高端科學(xué)技術(shù)能離開量子力學(xué)這個(gè)基礎(chǔ).但是，量子力學(xué)也是出了名的難學(xué)和難教的一門課程.這一方面與量子力學(xué)本身的特點(diǎn)有關(guān)，另一方面也與人們對(duì)量子力學(xué)的基本概念和理論體系的論述不一有關(guān)[1-4].

如何從教學(xué)的角度把量子力學(xué)教好，其中重要的一個(gè)方面就是對(duì)量子力學(xué)的理論體系作清晰的梳理，構(gòu)建一個(gè)邏輯性強(qiáng)、便于教學(xué)的量子力學(xué)理論體系.像任何一門學(xué)科一樣，量子力學(xué)理論體系有它自身發(fā)展的歷史，在發(fā)展的初期過程中，有些概念并不完善，一些問題也沒有徹底弄清楚，經(jīng)過一段時(shí)期的發(fā)展之后，回過頭來，站在一個(gè)比較高的高度重新審視它，才把整個(gè)理論看得更清楚.例如，在發(fā)展初期麥克斯韋就是用力學(xué)的方法來描述電磁場(chǎng)的，當(dāng)時(shí)，他仿照流體力學(xué)和彈性力學(xué)的做法對(duì)電磁場(chǎng)作論述，給人們認(rèn)識(shí)理解電磁場(chǎng)帶來了很大的困難.但經(jīng)過一個(gè)時(shí)期的發(fā)展之后，人們具備了關(guān)于場(chǎng)的清晰概念，再回過頭來看，電磁場(chǎng)理論就清晰多了，不再需要用到力學(xué)的方法.量子力學(xué)也是如此，在講述量子力學(xué)理論時(shí)，可以按照歷史進(jìn)程講述量子理論，也可以不沿著發(fā)展軌跡來講述.教學(xué)中如將量子力學(xué)的整個(gè)內(nèi)容做科學(xué)的梳理，以最符合邏輯的方式重新組織量子力學(xué)理論，可以收到事半功倍的效果.

量子力學(xué)的公理體系就是將量子力學(xué)理論納入一個(gè)邏輯體系，以公理的形式給出量子力學(xué)的基本原理，再在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出量子力學(xué)的所有內(nèi)容來.這是教授量子力學(xué)最合適和最有效的一種方式[5,6].

然而，在量子力學(xué)教學(xué)的實(shí)踐過程中，時(shí)常發(fā)現(xiàn)一些教材對(duì)公理體系的論述不一致，造成了作為初學(xué)者的學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的一些困惑和思維混亂.例如不同的公理之間究竟有什么關(guān)系？它們與量子力學(xué)創(chuàng)建初期提出的一些的基本思想，如波-粒二象性、測(cè)不準(zhǔn)原理、疊加原理以及互補(bǔ)原理等究竟存在什么樣的聯(lián)系？它們是完全相互獨(dú)立的還是在一定程度上又相互包含？這些縱橫交錯(cuò)的疑問，往往使量子力學(xué)初學(xué)者如墜入云霧之中，造成學(xué)習(xí)和理解上的嚴(yán)重障礙.

本文探討平均值公理在量子力學(xué)中的作用和地位，進(jìn)而闡述其對(duì)量子力學(xué)教學(xué)的啟發(fā).多年的教學(xué)實(shí)踐也表明平均值公理易于被量子力學(xué)初學(xué)者接受和理解，可以幫助他們消除上面所提到的那些疑惑，取得了滿意的效果.

1　量子力學(xué)公理

任何一個(gè)物理理論都具備以下3個(gè)基本要素：①基本的物理概念；②對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表示；③數(shù)學(xué)與物理概念之間的對(duì)應(yīng)規(guī)則.對(duì)于量子力學(xué)初學(xué)者和講授者而言，根據(jù)物理理論的3個(gè)基本要素，以下述公理為基礎(chǔ)開展教學(xué)是比較合適的：

公理1： 對(duì)每一個(gè)量子體系，都存在一個(gè)復(fù)的波函數(shù)Ψ(r,t)，它描述了該量子體系在t時(shí)刻的狀態(tài).并且，所有關(guān)于該體系的信息都可從這個(gè)波函數(shù)當(dāng)中獲得.特別地，t時(shí)刻發(fā)現(xiàn)粒子在r處附近小體元d3r內(nèi)的概率為

公理2： 波函數(shù)隨時(shí)間的變化服從薛定諤方程

另外，還有波包收縮公理和對(duì)稱化公理，由于這兩條公理與本文聯(lián)系不大，就不在此羅列了.

公理1給出了物理概念和相應(yīng)的數(shù)學(xué)表示，即量子力學(xué)一個(gè)體系的態(tài)與表示態(tài)的數(shù)學(xué)表示：波函數(shù).對(duì)一個(gè)體系的態(tài)的物理概念在量子力學(xué)教材中有詳細(xì)的討論，這里不再贅述.至于數(shù)學(xué)表示的波函數(shù)則意義非常清楚.公理2也沒有什么爭(zhēng)議，大家都有共識(shí).所以，這兩條公理無須作進(jìn)一步討論，大家都接受.公理3則是要討論的重點(diǎn)，它是物理概念與其數(shù)學(xué)表示之間的對(duì)應(yīng)規(guī)則.然而，在實(shí)際教學(xué)當(dāng)中，各個(gè)教材在此問題上的提法并不完全統(tǒng)一.有的雖然選擇這一條作為公理，可并未清楚地解釋它與量子力學(xué)的新思想之間的關(guān)系，初學(xué)者感受不到它的基礎(chǔ)地位；有的甚至就不提它，取而代之用其他的公理，形成了不同的教材采用不同的公理體系的局面，極大地影響了初學(xué)者對(duì)量子力學(xué)的認(rèn)識(shí).下面就這一公理的作用以及它與量子力學(xué)新思想之間的關(guān)系做一些論證，來說明這一公理的基礎(chǔ)性.

2　平均值公理的地位

先看公理3的引出.根據(jù)公理1，量子體系的波函數(shù)包含了該體系的所有信息，那么，當(dāng)給定一個(gè)體系的波函數(shù)后，又如何由波函數(shù)來獲得某一物理量A的信息呢？也即如何由波函數(shù)求得某一物理量的可能取值和取這些值的相應(yīng)概率？在經(jīng)典力學(xué)當(dāng)中，物理量是通過以r和p為自變量(兩者表示質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài))的函數(shù)來表示的，所以，物理概念與數(shù)學(xué)形式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是清楚的.例如，一維勢(shì)場(chǎng)中的一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，其能量這一物理量就由數(shù)學(xué)公式：E=mv2/2+V(x)給出.然而，在量子力學(xué)當(dāng)中，由于對(duì)體系的態(tài)定義不同，沒有了類似于經(jīng)典力學(xué)中的那些對(duì)應(yīng)關(guān)系.此外，一個(gè)物理量的取值也不唯一，可呈現(xiàn)各種可能的取值，因而對(duì)這些可能的取值還存在取各值的概率的問題.因此，需要有一套能從已知狀態(tài)中獲得體系各物理量的可能取值以及取這些值的概率的方法.

什么樣的數(shù)學(xué)形式能勝任物理量這一角色？物理量的這一數(shù)學(xué)形式與波函數(shù)(即體系的狀態(tài))的關(guān)系又是怎樣的呢？先考察坐標(biāo)這一物理量與波函數(shù)的關(guān)系.根據(jù)波函數(shù)的概率解釋和求平均值的一般概念，可將坐標(biāo)的平均值寫為：

接下來考慮動(dòng)量.同樣，根據(jù)平均值的求法和傅里葉變換，有

可見動(dòng)量的平均值與波函數(shù)的關(guān)系與前式是類似的，與前式相比，除了將動(dòng)量物理量換成了算符“-i”外，兩者形式完全一樣.這說明其中一定存在著某種新的物理思想.再注意到，這一形式也是迄今為止所能找到的唯一表達(dá)物理量與數(shù)學(xué)形式(波函數(shù))之間關(guān)系的式子，是實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)規(guī)則的唯一式子.對(duì)于其他物理量情況如何呢？或一般情況下是怎樣的呢？于是，像電磁學(xué)中將靜磁場(chǎng)規(guī)律·B=0推廣為時(shí)變電磁場(chǎng)的規(guī)律一樣，將此式作推廣，認(rèn)為一般情況下也是成立的.這便是量子力學(xué)的第三條公理——平均值公理產(chǎn)生的源頭.由此可見，這一條公理的出現(xiàn)合情合理，容易讓人接受，也容易施于教學(xué)之中.

表面上看，這條平均值公式的假設(shè)非常一般，但實(shí)際上它包含著非常豐富的內(nèi)容.首先，它預(yù)示著物理量必須要用算符來替代.這一點(diǎn)從動(dòng)量平均值的計(jì)算就可以看出，即如果堅(jiān)持這一平均值公式形式的正確性，則相應(yīng)的動(dòng)量就必須代以算符-i.此外，如果仍舊保留動(dòng)能、角動(dòng)量等這樣一些經(jīng)典物理量的概念，則可以由平均值公式確定其他物理量所對(duì)應(yīng)的算符.例如，要計(jì)算動(dòng)能的平均值，則由平均值的計(jì)算性質(zhì)，有

因此，與動(dòng)能對(duì)應(yīng)的算符為

可見，對(duì)簡(jiǎn)單的力學(xué)問題來說，物理量要用算符來表示就已包含在平均值公理當(dāng)中了，這時(shí)，可以不需要再將“物理量用算符表示”這條帶有硬性規(guī)定似的公理單獨(dú)提出.或者說，在公理體系的量子力學(xué)中，無須強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)原理，盡管這一原理在量子力學(xué)創(chuàng)建初期起到非常大的作用.當(dāng)然，對(duì)于更深入的量子理論，在涉及體系內(nèi)部自由度問題時(shí)，由于沒有經(jīng)典對(duì)應(yīng)，那時(shí)可以通過講解對(duì)應(yīng)原理以及對(duì)稱性原理等，藉此來尋找這些無經(jīng)典對(duì)應(yīng)的物理量所對(duì)應(yīng)的算符.但無論如何，此時(shí)的平均值公理仍然是一條可以用于檢驗(yàn)理論與實(shí)驗(yàn)是否相符的重要法則.

其次，平均值公理還給出了預(yù)計(jì)測(cè)量結(jié)果的方法，即從描述體系的波函數(shù)當(dāng)中獲取物理量的信息，具體有如下兩條推論：(1)對(duì)處于某一狀態(tài)的體系，一個(gè)物理量的取值只能是表示該物理量的算符的本征值；(2)對(duì)體系的這一物理量進(jìn)行測(cè)量，獲得某一結(jié)果(本征值)的概率也可由平均值公理給出.這表明在整個(gè)理論體系中，平均值公理起著將理論形式與物理實(shí)際聯(lián)系起來的橋梁作用.

為說明以上兩條推論，先介紹概率論里的幾個(gè)概念.令X為一個(gè)隨機(jī)變量，取值x，ρ(x)dx為隨機(jī)變量取值在[x,x+dx]區(qū)間內(nèi)的概率，ρ(x)稱為概率密度，或者概率分布，它是討論隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)問題的關(guān)鍵所在.下面給出一種確定概率密度的方法.

定義1： 隨機(jī)變量X的m階矩用〈Xm〉表示，其定義為下面的積分

由此可見，一階矩就是平均值(期望值).

定義2： 隨機(jī)變量X的特征函數(shù)定義為e-ixτ的平均值，即積分

因此，特征函數(shù)是X的概率密度ρ(x)的傅里葉變換.

將上式積分里的指數(shù)函數(shù)展開，并利用矩的定義，就有

因此，如果所有階的矩都已知的話，則特性函數(shù)χ(τ)也就已知了，再利用傅里葉逆變換，得

即概率密度ρ(x)被確定下來了.

則

令ρ(a)da為物理量A取值在[a,a+da]范圍內(nèi)的概率，則概率密度為

因此，物理量A只有取an的概率為

所以

從而得到物理量A的數(shù)值分布情況

上式表明：只有當(dāng)a是本征值當(dāng)中的數(shù)時(shí)，即a=an(n=1,2,…)，其概率才不為零，否則，a的取值概率都為零.這樣，測(cè)量的可能結(jié)果只能是本征值an當(dāng)中的值.第一條推論得以證明.下面計(jì)算測(cè)量獲得an的概率，與前面的討論類似，因?yàn)?/p>

即獲得an的概率為|cn|2.這樣，第二條推論也得以證明.

目前，許多教材將“物理量的取值為對(duì)應(yīng)算符的本征值”作為公理來陳述，同時(shí)也將“測(cè)量獲得某一結(jié)果的概率為|cn|2”當(dāng)作另一條公理，即所謂投影假設(shè).倘若沒有平均值公理作基礎(chǔ)，這些都很難讓人一下子接受，學(xué)生往往會(huì)知其然而不知其所以然.然而，從上面的討論來看，這些都無須當(dāng)作是基本的，它們都可當(dāng)作是平均值公理的產(chǎn)物，因此，平均值公式作為公理是理所當(dāng)然的.須說明的是如果掌握了最基本的公理，再進(jìn)一步學(xué)習(xí)量子力學(xué)時(shí)，為了簡(jiǎn)潔的需要可以不再用平均值公式作為公理，取而代之用其他形式的公理(比如，上面提到的投影假設(shè))，這也是可以的.這是在理解了量子力學(xué)的基本原理、不會(huì)產(chǎn)生疑惑的基礎(chǔ)上才這樣做.對(duì)于量子力學(xué)初學(xué)者來講，要很好理解和接受量子力學(xué)，用平均值公理會(huì)更合情合理些.

除此之外，從平均值這一量子力學(xué)的基本公理出發(fā)，經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，還可以對(duì)在量子力學(xué)產(chǎn)生初期所提出的那些思想進(jìn)行解釋，如測(cè)不準(zhǔn)原理.總之，有了上述提出的公理體系，可以像牛頓力學(xué)，電磁學(xué)等其他物理學(xué)學(xué)科那樣，從最基本的原理出發(fā)來演繹整個(gè)量子力學(xué)，邏輯清晰而簡(jiǎn)單，從而使得量子力學(xué)的教和學(xué)變得有規(guī)可循，

不再為那些含糊不清的概念和術(shù)語所迷惑，使量子力學(xué)不再像“天書”，也不再是只停留在書本上的珍品，而是實(shí)實(shí)在在的處理實(shí)際問題的理論依據(jù).

3　結(jié)語

平均值公理在量子力學(xué)中處于基礎(chǔ)地位，可以由平均值公理導(dǎo)出量子力學(xué)中的其他特性.并且從平均值公理出發(fā)，量子力學(xué)理論的邏輯和概念變得更加簡(jiǎn)潔和清晰，特別是對(duì)于量子力學(xué)初學(xué)者而言，也更便于他們理解和接受量子力學(xué)理論.

[1]ZeilingerA.Afoundationalprincipleforquantummechanics[J].FoundationofPhysics, 1999, 29: 631-644.

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[3]張永德.量子力學(xué)[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2002.

[4]鄒鵬程.量子力學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.

[5]Cohen-TannoudjiC,DiuB,LaloeF.Quantummechanics[M].NewYork:JohnWileyandSons, 1977.

[6]BongaartsP.QuantumTheory[M].Switzerland:SpringerInternationalPublishing, 2015.

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DISCUSSION ON THE STATUS OF EXPECTATION VALUE AXIOM IN QUANTUM MECHANICS AND ITS ENLIGHTENMENT FOR TEACHING

Peng YongyiPeng ZhengFu Liping

(School of Physics and Electronics, Central South University, Changsha, Hunan410083)

In this paper, the effects and status of expectation value axiom (EVA) in quantum mechanics are analyzed and discussed, and its enlightenment for teaching is also analyzed. It is indicated that the EVA can be obtained naturally by extending the ordinary expectation value formula. The EVA is the fundamental quantity in quantum mechanics. According to strict mathematics theory, other basic features of quantum mechanics can be derived directly from the EVA. When the teaching of quantum mechanics starts from the EVA, the logic and concepts of quantum mechanics become more distinct. So the theory of quantum mechanics can be accepted and understood more easily, especially for beginners in quantum mechanics.

expectation value axiom; quantum mechanics; teaching

2016-01-22;

2016-03-05

2015年中南大學(xué)教學(xué)改革研究項(xiàng)目資助(普通教育類54號(hào)).

彭勇宜，男，副教授，主要從事近代物理學(xué)的教學(xué)與研究.pyyi@sina.com

引文格式: 彭勇宜,彭政,符力平. 論平均值公理在量子力學(xué)中的地位及其對(duì)教學(xué)的啟示[J]. 物理與工程，2016，26(3)：13-17.