考慮非線性因素的工程梁理論正應(yīng)力計(jì)算

吳 強(qiáng)中國商飛上海飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院吳強(qiáng)（1987-）男，碩士，工程師。主要研究方向：有限元，靜強(qiáng)度，結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

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考慮非線性因素的工程梁理論正應(yīng)力計(jì)算

吳 強(qiáng)
中國商飛上海飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院
吳強(qiáng)（1987-）男，碩士，工程師。主要研究方向：有限元，靜強(qiáng)度，結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

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提出了一種可以考慮受拉部件材料非線性和蒙皮局部受壓失穩(wěn)后的有效寬度等非線性因素的機(jī)翼加筋薄壁結(jié)構(gòu)計(jì)算的工程梁理論正應(yīng)力計(jì)算修正方法。工程梁理論是進(jìn)行機(jī)翼加筋薄壁殼體結(jié)構(gòu)的經(jīng)典方法，但是該方法只能考慮結(jié)構(gòu)并未失穩(wěn)且處于材料應(yīng)力應(yīng)變曲線的線性區(qū)間的情況。為了解決結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性承載階段后的問題，利用減縮系數(shù)的概念，將各元件進(jìn)入非線性后的承載特性以減縮系數(shù)的形式反映至相應(yīng)的受載面積上，并利用迭代的方法進(jìn)行求解，實(shí)現(xiàn)了對于工程梁理論的修正，拓展了其應(yīng)用范圍。

加筋薄壁結(jié)構(gòu)的工程梁理論是計(jì)算類似于機(jī)翼的這種細(xì)長薄壁結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布的經(jīng)典理論。目前，雖然隨著計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)的發(fā)展，飛機(jī)的應(yīng)力分布多以有限元方法求解，但是由于工程梁理論計(jì)算速度快、參數(shù)修改簡單，依然應(yīng)用于飛機(jī)的初步設(shè)計(jì)階段，以實(shí)現(xiàn)各種結(jié)構(gòu)方案的快速修改和評估。

工程梁理論是一種線性理論，適用于結(jié)構(gòu)和材料處于線性承載階段。然而在極限載荷下，機(jī)翼是允許局部結(jié)構(gòu)失穩(wěn)或者發(fā)生塑性變形，此時(shí)結(jié)構(gòu)各長桁和各區(qū)域蒙皮之間的載荷分配會(huì)發(fā)生變化。目前，關(guān)于局部進(jìn)入非線性承載階段后機(jī)翼的內(nèi)力分配計(jì)算多是由非線性有限元完成，時(shí)間消耗較大；而公開資料中，并未找到通過工程梁理論來解決此問題的相關(guān)研究。為了使工程梁理論能適用于進(jìn)入非線性后的承載特性，本文利用了減縮系數(shù)的概念對此問題展開研究。

工程梁理論正應(yīng)力計(jì)算

工程梁理論做為求解細(xì)長薄壁加筋結(jié)構(gòu)的經(jīng)典理論，其推導(dǎo)過程本文不再贅述，僅列出與本文相關(guān)的假設(shè)和公式。

機(jī)翼剖面元件的受載假設(shè)

機(jī)翼壁板由蒙皮和長桁構(gòu)成。在工程梁理論簡化中，蒙皮只承受并傳遞剪應(yīng)力，且忽略剪應(yīng)力沿厚度方向的變化；蒙皮實(shí)際的傳遞正應(yīng)力的能力人為的附加到縱向元件上去。長桁等縱向元件被理想化為具有集中面積的桿，其面積由兩部分組成，即長桁的真實(shí)面積和蒙皮的等效面積。

正應(yīng)力折減系數(shù)法

飛行器部件由不同材料組成，為了方便計(jì)算，通常將不同材料向同一種材料折算。設(shè)微面積Ai的彈性模量為Ei，現(xiàn)用面積為Air，彈性模量為Eir的虛擬元件來替代真實(shí)元件。

為了使這種替換是等價(jià)的，就必須滿足以下條件：真實(shí)元件與虛擬元件內(nèi)力相等，即：

真實(shí)元件與虛擬元件應(yīng)變相等，即：

定義減縮系數(shù)為：

可以得到：

這樣，通過剖面面積折算，可以把不同材料的實(shí)際元件變化成一種材料的虛擬元件。其真實(shí)應(yīng)力為：

正應(yīng)力計(jì)算

各元件的真實(shí)正應(yīng)力可由以下公式求得：

其中，Iz和Iy分別剖面兩個(gè)方向的相對慣性主軸的慣性矩，A為減縮剖面承載正應(yīng)力的總面積，k為剖面的不對稱系數(shù)。

非線性因素的減縮系數(shù)修正

當(dāng)蒙皮所受的壓應(yīng)力大于其臨界失穩(wěn)應(yīng)力時(shí)，其寬度應(yīng)為有效寬度：

其中，w為蒙皮有效寬度，δ為蒙皮厚度，Est為長桁彈性模量，σst為長桁應(yīng)力。此時(shí)蒙皮的減縮系數(shù)為：

其中，φ為蒙皮失穩(wěn)時(shí)的減縮系數(shù)，φ為不考慮失穩(wěn)時(shí)的蒙皮減縮系數(shù)，F(xiàn)為蒙皮面積。由此求得蒙皮應(yīng)力，判斷是否失穩(wěn)并進(jìn)行如上修正。多次迭代后得出正應(yīng)力分布。需要注意的是，σst不得大于長桁屈服應(yīng)力或臨界失穩(wěn)應(yīng)力，蒙皮應(yīng)力分布為波浪形，其峰值為長桁應(yīng)力，本文中的蒙皮應(yīng)力取其平均應(yīng)力。

當(dāng)拉應(yīng)力作用下的計(jì)算應(yīng)力超過材料比例極限時(shí)，按材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線進(jìn)行非線性修正，逐步迭代逼近求解。

由減縮系數(shù)法原理可知，虛擬材料與真實(shí)材料的應(yīng)變是相同的。因此，由應(yīng)變帶入材料應(yīng)力應(yīng)變曲線求得進(jìn)入非線性狀態(tài)的材料彈性模量，再除以虛擬材料的彈性模量得出此時(shí)的減縮系數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行內(nèi)力修正。依此法多次迭代后可求得正應(yīng)力分布。

考慮非線性因素的工程梁理論正應(yīng)力計(jì)算流程如圖1所示。

圖3 壁板材料的簡化應(yīng)力應(yīng)變曲線

圖4 點(diǎn)9和點(diǎn)13處的長桁應(yīng)力及蒙皮平均應(yīng)力

圖5 點(diǎn)21處長桁應(yīng)力隨載荷變化

圖1 考慮非線性因素的工程梁理論正應(yīng)力計(jì)算流程

圖2 某飛機(jī)翼盒剖面形狀示意圖

算例分析

某飛機(jī)翼盒剖面形狀如圖2所示，上下壁板各有14根長桁（含梁緣條），上壁板蒙皮厚度為3mm，下壁板蒙皮厚度為2mm。上壁板蒙皮受壓臨界失穩(wěn)應(yīng)力為181MPa。材料的彈性模量為70GPa，比例極限為280MPa，其簡化的應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖3所示。

對此模型施加-220KN*m至-280KN*m的彎矩Mz時(shí)，上壁板點(diǎn)9和點(diǎn)13處的長桁應(yīng)力及蒙皮平均應(yīng)力如圖4所示。由如4可見，點(diǎn)13處蒙皮處于線性受載區(qū)域，蒙皮平均應(yīng)力和長桁應(yīng)力是一致的。而點(diǎn)9處在載荷大于-230KN*m后蒙皮失穩(wěn)，進(jìn)入非線性受載區(qū)域，蒙皮平均應(yīng)力逐漸低于長桁應(yīng)力。

表1為上述載荷下各點(diǎn)內(nèi)力占上壁板總內(nèi)力比例的變化趨勢。由表中可見，隨著載荷增加，蒙皮進(jìn)入失穩(wěn)的高應(yīng)力區(qū)的內(nèi)力占比逐漸減少，而蒙皮沒有失穩(wěn)區(qū)域的內(nèi)力占比逐漸增大，結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性承載階段后的載荷會(huì)重新分配，失穩(wěn)區(qū)域分配到的內(nèi)力比線性計(jì)算時(shí)減少。

表1 不同彎矩各點(diǎn)內(nèi)力占上壁板總內(nèi)力比例

對于下壁板受拉情況，以21點(diǎn)處長桁為例，分析其應(yīng)力隨載荷變化，如圖5所示。如圖5可見，當(dāng)長桁應(yīng)力高于其比例極限后，其應(yīng)力隨載荷增加的增長率快速下降，呈現(xiàn)出明顯的非線性現(xiàn)象。

結(jié)語

提出了一種可以考慮受拉部件材料非線性和蒙皮局部受壓失穩(wěn)后的有效寬度等非線性因素的機(jī)翼加筋薄壁結(jié)構(gòu)計(jì)算的工程梁理論正應(yīng)力計(jì)算修正方法。利用減縮系數(shù)的概念，將各元件進(jìn)入非線性后的承載特性以減縮系數(shù)的形式反映至相應(yīng)的受載面積上，并利用迭代的方法進(jìn)行求解，實(shí)現(xiàn)了對于工程梁理論的修正，拓展了其應(yīng)用范圍。

10.3969/j.issn.101- 8972.2016.12.028