區(qū)域GPS高程擬合方法及實(shí)驗(yàn)對比分析

張丕亞,牛沖

(1.山東科技大學(xué) 測繪科學(xué)與工程學(xué)院,青島 266590;2.山東省地質(zhì)測繪院,濟(jì)南 250001)

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區(qū)域GPS高程擬合方法及實(shí)驗(yàn)對比分析

張丕亞1,牛沖2

(1.山東科技大學(xué) 測繪科學(xué)與工程學(xué)院,青島 266590;2.山東省地質(zhì)測繪院,濟(jì)南 250001)

在GPS測量應(yīng)用中,無法直接利用GPS大地高替代正常高,必須通過高程擬合進(jìn)行轉(zhuǎn)換。因此,如何利用GPS高程擬合求得正常高成為測繪應(yīng)用領(lǐng)域研究的一個重要方向。本文在論述常用GPS高程擬合理論模型基礎(chǔ)上,通過實(shí)例比較分析了幾種模型的適用性及可靠性,最后得出一些有益的結(jié)論。

GPS;高程擬合;常數(shù)擬合法;曲線擬合法;曲面擬合法

0　引　言

相較于傳統(tǒng)大地測量,GPS測量有著速度快、精度高、操作簡單等特點(diǎn),已經(jīng)越來越廣泛地應(yīng)用于實(shí)際測繪工作中[1]。但GPS測量采用的高程系統(tǒng)是大地高系統(tǒng),即以參考橢球面為基準(zhǔn)面,而我國目前采用的高程系統(tǒng)是正常高系統(tǒng),即以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面, 若能求出兩個水準(zhǔn)面之間的差異,即高程異常,就可以將GPS大地高轉(zhuǎn)換成正常高。

參考橢球面是一個理想化的規(guī)則球面,但是似大地水準(zhǔn)面由于受到重力的影響,是一個不規(guī)則的曲面,所以每點(diǎn)的高程異常值不同,因此精確求得高程異常成為GPS高程轉(zhuǎn)換的一個關(guān)鍵因素。在較大區(qū)域內(nèi)精確確定一點(diǎn)的高程異常比較復(fù)雜,通常需要結(jié)合重力資料、地形資料等,采用物理大地測量的理論方法解算求得高精度大地水準(zhǔn)面,但是由于重力資料難以獲得,所以在實(shí)際工作中難以實(shí)施[2]。當(dāng)測區(qū)范圍相對不大、地形起伏較小時,各方面影響因素較為接近,高程異常有一定的幾何相關(guān)性[3]。根據(jù)這個原理,可以建立相應(yīng)的函數(shù)模型,進(jìn)而擬合求得高程異常。GPS高程擬合的方法很多,如常數(shù)擬合法、多項(xiàng)式曲線擬合法、樣條曲線擬合法、Akima曲線擬合法、多項(xiàng)式曲面擬合法、多面函數(shù)擬合法、移動曲面擬合法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等[4-5]。本文在介紹常數(shù)擬合法、曲線擬合法、垂直平移法、曲面擬合法和多面函數(shù)擬合法等的基本原理基礎(chǔ)上,通過算例比較各方法的適用性和可靠性。

1　高程擬合的幾種方法

1.1常數(shù)擬合法

常數(shù)擬合法也稱加權(quán)平均擬合法,其基本原理是根據(jù)待擬合點(diǎn)周圍的若干已知點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)平均,求得高程異常。若測區(qū)有n個已知點(diǎn),其高程異常值為ξi(i=1,2,…,n),則待擬合點(diǎn)的高程異常為

(1)

式中: pi=1/(Di+ε)n(n=1,2,…)為周圍已知點(diǎn)高程異常對待擬合點(diǎn)高程異常影響的權(quán)重; Di為差值點(diǎn)到已知點(diǎn)的距離; ε一般取0.01.

1.2曲線擬合模型

當(dāng)GPS點(diǎn)成線狀分布時,可以通過數(shù)值擬合的方法根據(jù)已知點(diǎn)的平面坐標(biāo)和高程異常構(gòu)造插值函數(shù),擬合測線方向上的似大地水準(zhǔn)面曲線,然后據(jù)此內(nèi)插求得待擬合點(diǎn)的高程異常,進(jìn)而求出點(diǎn)的正常高[6]。

通常取一個m次的多項(xiàng)式作為插值函數(shù)來表示高程異常

(2)

各點(diǎn)的已知高程異常與擬合值殘差為

Ri=ξi(xi)-ξi.

(3)

令: L=[ξ1ξ2…ξn]T,β=[a1,a2,…,an]T,

β=(BTB)-1BTL.

(4)

1.3曲面擬合模型

曲面擬合法是最常用的方法之一,其基本思想是:當(dāng)GPS點(diǎn)成面狀分布時,可以認(rèn)為高程異常在一定范圍內(nèi)變化平緩,根據(jù)已知點(diǎn)的平面坐標(biāo)和高程異常擬合出測區(qū)似大地水準(zhǔn)面,然后通過內(nèi)插求得其它點(diǎn)的高程異常,進(jìn)而求得正常高[7]。

1) 垂直平移法

垂直平移法是最簡單的高程轉(zhuǎn)換方法,基本原理是利用若干個已知點(diǎn)的平均高程異常獲得其它點(diǎn)的高程異常,進(jìn)而推求正常高,其公式為

(5)

2) 多項(xiàng)式曲面擬合法

當(dāng)GPS測點(diǎn)成面狀區(qū)域分布時,常用的擬合方法是多項(xiàng)式曲面擬合法,包括二次曲面擬合法、三次曲面擬合法等。其中用的比較多的是二次曲面擬合法,其公式為

ξ(x,y)=a0+a1x+a2y+a3x2+

a4y2+a5xy.

(6)

總誤差方程式為

V=BX-L,

(7)

式中: V=[v1v2…vn]T;

X=[a0a1a2a3a4a5]T;

L=[ξ1ξ2…ξn]T;

根據(jù)最小二乘原理,可以求得其待定系數(shù),即:

X=(BTB)-1BTL.

(8)

3) 多面函數(shù)擬合法

多面函數(shù)擬合法的基本原理是:任何數(shù)學(xué)表面和任何不規(guī)則的圓滑表面,總可以利用一系列規(guī)則的數(shù)學(xué)表面的總和以任意精度逼近[8]。即在每個待擬合點(diǎn)上同所有的已知點(diǎn)建立函數(shù)關(guān)系,并將這些多面函數(shù)的值疊加起來,以獲得最佳的曲面擬合值。高程異常函數(shù)表達(dá)式為

(9)

式中:ai為待定系數(shù);Q(x,y,xi,yi)為核函數(shù);x、y和xi、yt分別為待擬合點(diǎn)和已知點(diǎn)的坐標(biāo)。核函數(shù)有多種形式,通常選取二次函數(shù)Q(x,y,xi,yi)=[(x-xi)2+(y-yi)2+δ]1/2,δ選取0.01.

令:

L=[ξ1ξ2…ξm]T,

X=[a1a2…an]T,

則根據(jù)最小二乘原理得

X=(BTB)-1BTL.

(10)

2　算例分析

2.1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

現(xiàn)有某區(qū)域無粗差且同精度的GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)17個(數(shù)據(jù)選自文獻(xiàn)[9]),其大地高、正常高、高程異常如表1所示。

表1　已知點(diǎn)的大地高、正常高和高程異常

2.2擬合結(jié)果

為對比分析,將1、2、3、4、5、6、7、8、9、10十個點(diǎn)作為已知點(diǎn)進(jìn)行擬合,將11、12、13、14、15、16、17七個點(diǎn)作為檢核點(diǎn)進(jìn)行檢核。通過MATLAB程序,分別采用常數(shù)擬合法、二次曲線擬合法、垂直平移法、二次曲面擬合法、多面函數(shù)法進(jìn)行擬合,各模型擬合結(jié)果如表2、表3所示。

表2　各模型擬合結(jié)果

表3　各模型殘差對比

2.3結(jié)果分析

由表2、表3可以看出,本算例中,二次曲面擬合法的殘差及中誤差明顯小于其它幾種方法,精度高于其它方法,擬合效果最為理想,達(dá)到四等水準(zhǔn)測量的要求。

常數(shù)擬合法是根據(jù)待擬合點(diǎn)周圍部分已知點(diǎn)的高程異常,加權(quán)平均求得該點(diǎn)的高程異常,能在一定程度上體現(xiàn)出地形因素對高程異常的影響;當(dāng)控制點(diǎn)成線狀分布時可采用曲線擬合法,而在成面狀分布地區(qū)則不適合,擬合效果較差;垂直平移法由于只是簡單地用已知點(diǎn)平均高程異常值替代待擬合點(diǎn)的高程異常,所以擬合效果并不理想;核函數(shù)選取、擬合點(diǎn)的分布情況及特征點(diǎn)數(shù)等對多面函數(shù)擬合法精度影響較大,擬合效果也不是很好。

3　結(jié)束語

隨著GPS技術(shù)的發(fā)展,其各種優(yōu)勢越來越明顯,在區(qū)域內(nèi)用其優(yōu)化甚至替代水準(zhǔn)測量有很大的可行性。根據(jù)以上對GPS高程擬合的論述并結(jié)合具體的實(shí)驗(yàn)分析,可以得到如下幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn):

1) 在地形起伏不大的區(qū)域范圍內(nèi),通過選取合適的數(shù)學(xué)模型,GPS高程擬合可以獲得比較高的精度,可極大減少水準(zhǔn)測量的工作量,提高工作效率。

2) 二次曲面擬合法所需已知點(diǎn)少,適合于高程變化比較平緩的區(qū)域,在實(shí)際工作中操作性較強(qiáng)。

3) 高程異常受多種因素影響,通過函數(shù)模型進(jìn)行擬合是一種純數(shù)學(xué)方法,模型誤差不可避免。實(shí)際應(yīng)用中,在模型以及計算數(shù)據(jù)選取等方面需綜合考慮各類因素的影響,應(yīng)多進(jìn)行比較、分析,盡可能提高擬合精度。

[1]陳安平,李紅偉.GPS高程擬合方法的比較研究[J].測繪地理信息,2013,38(3):32-35.

[2]雷曉霞.基于重力與GPS水準(zhǔn)組合法的大地水準(zhǔn)面精化研究[D].西安:長安大學(xué),2005:8-15.

[3]王巖,劉茂華,黨永超,等.小地區(qū)GPS高程擬合的方法研究與實(shí)施[J].測繪通報,2012(S):66-68.

[4]高原,張恒璟,趙春江,等.多項(xiàng)式曲面模型在GPS高程擬合中的應(yīng)用[J].測繪科學(xué),2011,36(3):179-181.

[5]王峰,王 冉,崔錦龍,等.GPS高程擬合方法及其擬合精度對比[J].全球定位系統(tǒng),2012,37(4):86-89.

[6]馬鴻煒,郭金運(yùn),李國偉,等.一種區(qū)域似大地水準(zhǔn)面模型擬合方法分析[J].海洋測繪,2014,34(1):8-11.

[7]雷偉偉,鄭紅曉.二次曲面擬合法在區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化中的應(yīng)用[J].測繪與空間地理信息,2008,31(6):38-40.

[8]張紅華,孫月文.GPS高程擬合方法及精度分析[J].測繪與空間地理信息,2014,37(2):132-134.

[9]李景衛(wèi),楊蔭奎,高建,等.GPS高程擬合中多面函數(shù)及二次曲面函數(shù)的比較與分析[J].山東冶金,2006,28(3):42-43.

Study and Comparison of GPS Elevation Fitting

ZHANG Piya1,NIU Chong2

(1.SchoolofGeomatics,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266590,China;2.GeologicalSurveryingandMappingInstituteofShandongProvince,Jinan250001,China)

In the GPS measurement applications,we can’t directly use the GPS geodetic height, it must be converted by height fitting. Therefore, how to use GPS elevation fitting seek normal height is an important direction for the application research of geomatics. This paper discusses the theoretical basis of common GPS elevation fitting model, through examples of a comparative analysis of the applicability and reliability of several models, and finally draw some useful conclusions.

GPS; elevation fitting; constantfitting; curve fitting; surface fitting

2016-03-00

P228.4

A

1008-9268(2016)03-0105-04

張丕亞(1992-),男,碩士生,主要研究方向?yàn)楝F(xiàn)代測量數(shù)據(jù)處理。

牛沖(1989-),男,工程師,主要從事工程測量、變形監(jiān)測等方面研究。

doi:10.13442/j.gnss.1008-9268.2016.03.022

聯(lián)系人： 張丕亞E-mail:zpy2011@163.com