干擾條件下空域及空時(shí)自相關(guān)矩陣特征值分布特性研究

戴鑫志,聶俊偉,魯祖坤,歐鋼

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院 衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)工程研究中心,長沙 410073)

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干擾條件下空域及空時(shí)自相關(guān)矩陣特征值分布特性研究

戴鑫志,聶俊偉,魯祖坤,歐鋼

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院 衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)工程研究中心,長沙 410073)

空域及空時(shí)自相關(guān)矩陣的特征值分布與干擾源的性質(zhì)密切相關(guān)。通過研究干擾與特征值分布特性的關(guān)系,可以分析得出干擾源的個(gè)數(shù)等信息,為后續(xù)處理提供先驗(yàn)信息。在信號的窄帶和寬帶模型下,從理論角度分析了空域及空時(shí)自相關(guān)矩陣特征值的分布特性,并通過仿真實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證。得到了窄帶模型下空域自相關(guān)矩陣特征值分布的具體形式,總結(jié)了信號寬帶模型下特征值分布規(guī)律,分析了利用特征值分布估計(jì)干擾源個(gè)數(shù)的可行性,結(jié)果表明:空域自相關(guān)矩陣大特征值的個(gè)數(shù)是對干擾個(gè)數(shù)的較好估計(jì),但其準(zhǔn)確度受到干擾源功率及其空間分布的影響。

干擾;自相關(guān)矩陣;特征值分布

0　引　言

由于導(dǎo)航衛(wèi)星遠(yuǎn)離地面接收機(jī),導(dǎo)航信號到達(dá)用戶接收機(jī)時(shí)已經(jīng)十分微弱,因此導(dǎo)航信號極易受到有意或無意的干擾。2012年韓國軍演時(shí),朝鮮對韓國實(shí)施了GPS干擾,不僅對軍演造成了影響,并且韓方稱其國內(nèi)幾百架次航班和多艘船舶偏離正常航線。2015年年初,我國邳州市某駕?？荚囉密嚨腉PS導(dǎo)航設(shè)備受到嚴(yán)重干擾,1000余名考生被迫停考,經(jīng)查是有人在考場周圍使用了干擾器所致。雖然上述例子中被干擾的均為GPS信號,但是信號易受干擾確實(shí)是目前所有衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的共同弱點(diǎn)[1]。面對復(fù)雜的干擾環(huán)境,天線陣抗干擾技術(shù)由于突出的性能,得到了廣泛應(yīng)用,它主要包括空域抗干擾和空時(shí)抗干擾兩種形式。

天線陣抗干擾中一些常用的算法與自相關(guān)矩陣的特征值分布密切相關(guān),比如常用的最小均方誤差(LMS)算法,該算法的參數(shù)設(shè)置以及收斂性能均受到自相關(guān)矩陣特征值的影響[2]。此外,空域自相關(guān)矩陣和空時(shí)自相關(guān)矩陣的特征值分布與干擾源的性質(zhì)有著密切的聯(lián)系。通過研究特征值分布,可以獲得干擾源的某些信息,比如通過空域自相關(guān)矩陣的特征值分布可以估計(jì)干擾源的個(gè)數(shù)[3]。國外的一些學(xué)者曾研究空時(shí)相關(guān)矩陣的特征值分布與多徑干擾的關(guān)系[4]。因此研究自相關(guān)矩陣的特征值分布,對于提升天線陣的抗干擾性能具有積極作用。

目前對空域及空時(shí)自相關(guān)矩陣特征值分布的研究較少,并且很少從理論的角度研究干擾與特征值分布的關(guān)系。本文分別在信號的寬帶和窄帶模型下,從理論角度研究了空域及空時(shí)自相關(guān)矩陣特征值分布的規(guī)律,分析了利用特征值分布估計(jì)干擾源個(gè)數(shù)的可行性,以及影響其準(zhǔn)確性的因素。最后利用仿真實(shí)驗(yàn),進(jìn)一步證明了結(jié)果的正確性。

1　空域和空時(shí)抗干擾模型

空域抗干擾技術(shù)采用天線陣接收信號,從空域特征區(qū)分信號和干擾,圖1示出了空域?yàn)V波器的基本模型[5]。

空時(shí)抗干擾技術(shù)同樣采用天線陣列接收信號,它利用了信號、干擾、噪聲不同的時(shí)域和空域特征完成干擾的抵消。圖2示出了空時(shí)抗干擾的硬件架構(gòu)[6]。

Rxx=E{xxH},

(1)

其中,Rxx為Hermitian矩陣[8]。

圖1　空域?yàn)V波器模型

圖2　空時(shí)抗干擾硬件架構(gòu)

2　干擾條件下空域及空時(shí)自相關(guān)矩陣的特征值分布

假設(shè)有用信號、干擾信號、噪聲不相關(guān)。則自相關(guān)矩陣可表示為

Rxx=Rss+Rjj+Rnn,

(2)

式中: Rss表示有用信號的自相關(guān)矩陣； Rjj表示干擾信號的自相關(guān)矩陣; Rnn表示噪聲的自相關(guān)矩陣。由于實(shí)際中有用信號的功率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于干擾信號和噪聲的功率,因此可以忽略Rss的影響,以下討論中均不考慮有用信號的影響。因?yàn)镽nn=σ2I,其中σ2為噪聲方差,I為單位矩陣?；谏鲜鼋Y(jié)論,有

Rxx=Rjj+σ2I.

(3)

2.1窄帶模型下空域自相關(guān)矩陣的特征值分布

假設(shè)載波頻率為w0的窄帶信號s(t)ejw0t入射到陣列天線上,根據(jù)窄帶信號模型[9],并假設(shè)第一個(gè)陣元為參考陣元,陣列天線接收到的信號為

s(t)=[s(t)s(t)e-jw0τ11…s(t)e-jw0τ1M]T,

(4)

式中,τ1j(j=1,2,…,M)表示信號達(dá)到陣元j時(shí)相對于參考陣元的時(shí)延。式(4)寫成矢量形式為

s(t)=vs(t),

(5)

式中, v為信號的導(dǎo)向矢量。因此干擾信號的自相關(guān)矩陣為

Rjj=E{[vs(t)][vs(t)]H}=p0vvH.

(6)

式中,p0為干擾的功率。利用線性代數(shù)的相關(guān)結(jié)論[10],可知矩陣的秩為rank(Rjj)=1,考慮Hermitian矩陣的性質(zhì),可知其特征值分布為:1個(gè)非零特征值,M-1個(gè)零特征值。

下面討論非零特征值的具體表達(dá)式。式(6)的具體表達(dá)式為

Rjj=

(7)

下面討論存在多個(gè)窄帶干擾信號時(shí)特征值分布的情況。為簡化模型,首先討論存在兩個(gè)干擾的情況。假設(shè)兩個(gè)窄帶干擾信號不相關(guān),參考式(7),得到干擾信號的自相關(guān)矩陣為

(8)

式中,w=e-jw0,pi(i=1,2)為干擾信號i的功率,τij(i=1,2,j=1,2,3,…,M)為第i個(gè)干擾到達(dá)第j個(gè)陣元時(shí)相對于參考陣元的時(shí)延。

利用線性代數(shù)知識[10],容易證明矩陣Rjj的秩為2.由于Rjj為hermitain矩陣,因此Rjj有兩個(gè)與干擾信號有關(guān)的不為零的特征值,其余特征值均為零。與上述的推導(dǎo)相似,可以證明:當(dāng)存在m(m≤M)個(gè)不相關(guān)的窄帶干擾時(shí),干擾信號的自相關(guān)矩陣具有m個(gè)與干擾有關(guān)的特征值,有M-m個(gè)零特征值。由于實(shí)際中干擾的功率一般遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于噪聲的功率,因此與干擾相關(guān)的特征值在數(shù)值上一般會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于只與噪聲相關(guān)的特征值。

Rxx=

(9)

(10)

從上式可以看出:多干擾條件下,特征值分布不僅受到干擾功率影響還受到干擾源的空間位置影響。因此如果利用大特征的個(gè)數(shù)估計(jì)干擾源個(gè)數(shù),其準(zhǔn)確性將會(huì)受到干擾源空間位置的影響。

2.2寬帶模型下空域相關(guān)矩陣的特征值分布

為了研究寬帶模型下特征值的分布規(guī)律,并簡化模型,假設(shè)天線陣為3元線陣,運(yùn)用與窄帶模型相似的推導(dǎo)方式,得到空域自相關(guān)矩陣

Rxx=

σ2I,

(11)

式中:p表示干擾信號的功率;τ1j(j=2,3)為信號到達(dá)陣元j時(shí)相對于參考陣元1的延時(shí);p1=E{s(t)sH(t-τ12)}=R(τ12),p2=E{s(t)sH(t-τ13)}=R(τ13),p3=E{s(t-τ12)sH(t-τ13)}=R(τ13-τ12);R(*)為信號的自相關(guān)函數(shù),I為單位矩陣。

解得Rxx的特征值為p-px3+σ2,p-px1+σ2,p-px2+σ2.其中x1,x2,x3為與矩陣特征方程有關(guān)的常數(shù),并且x1,x2接近于1,x3接近于-2.因此特征值的分布接近于3p+σ2,σ2,σ2.

上述推導(dǎo)的結(jié)論可以推廣至M陣元的情況?？梢缘贸?在寬帶模型下,信號帶寬對特征值分布有一定的影響,但是影響較小,寬帶模型下的特征值分布接近于窄帶模型下的特征值分布。因此,結(jié)合信號窄帶模型下空域自相關(guān)矩陣的特征值分布可以得出:空域自相關(guān)矩陣中較大特征值的個(gè)數(shù)是對干擾源個(gè)數(shù)的較好估計(jì)。不過同時(shí)也可以看出可估計(jì)的干擾源個(gè)數(shù)至多為陣元個(gè)數(shù),考慮制造復(fù)雜度、工藝、成本等因素,實(shí)際中天線陣陣元個(gè)數(shù)往往較少,因此利用這種方法可估計(jì)的干擾源個(gè)數(shù)較少。

2.3窄帶模型下空時(shí)相關(guān)矩陣的特征值分布

考慮窄帶干擾信號s(t)ejw0t,應(yīng)用圖2中的空時(shí)抗干擾模型,假設(shè)延時(shí)抽頭的延時(shí)為ΔT.首先考慮天線陣有兩個(gè)陣元和一階延時(shí),并以陣元1為參考陣元。則輸入天線陣的干擾信號為

s(t)=[s(t)s(t)e-jw0τs(t-ΔT)e-jwΔTs(t

-ΔT)e-j(wΔT+w0τ)],

(12)

式中:τ為信號達(dá)到陣元2時(shí)相對參考陣元的延時(shí);w為接收機(jī)中頻頻率。干擾信號的自相關(guān)矩陣為

(13)

式中:p表示信號的功率;p1=E{s(t)sH(t-ΔT)}=R(ΔT).

求解Rjj的特征值,解得四個(gè)特征值為:2p+2p1,2p-2p1,0,0.相應(yīng)的空時(shí)自相關(guān)矩陣的特征值分布為:2p+2p1+σ2,2p-2p1+σ2,σ2,σ2.當(dāng)增加天線陣陣元個(gè)數(shù)而抽頭數(shù)保持不變時(shí),運(yùn)用相同的推導(dǎo)方法可以得到新天線陣的特征值分布情況,結(jié)果是相似的,特征值分布為kp+kp1+σ2,kp-kp1+σ2,σ2,…,σ2,k為天線陣陣元個(gè)數(shù)。使用典型窄帶干擾信號計(jì)算p1,發(fā)現(xiàn)p1的值非常接近p,因此此時(shí)空時(shí)自相關(guān)矩陣的特征值中只有一個(gè)較大的特征值,而其余特征值均較小。當(dāng)增加天線陣的時(shí)域抽頭時(shí),特征值的分布更為復(fù)雜,從上述的推導(dǎo)容易知道非零特征值均與信號的功率和信號的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)。

2.4寬帶模型下空時(shí)相關(guān)矩陣的特征值分布

與窄帶模型相似,假設(shè)入射干擾信號為s(t)ejw0t,只是此時(shí)信號為寬帶信號。為了簡化模型,假設(shè)天線陣為兩陣元,并且為一階延時(shí)。在寬帶模型下,天線陣輸入的干擾信號為

s(t)=[s(t)s(t-τ)e-jw0τs(t-ΔT)e-jwΔTs(t-ΔT-τ)e-j(w0τ+wΔT)].

(14)

干擾信號的自相關(guān)矩陣為

(15)

式中:p為干擾信號的功率,p1=R(τ),p2=R(ΔT),p3=R(ΔT+τ),p4=R(ΔT-τ).解得矩陣特征值為

(p3-p4)2]0.5},

(p3-p4)2]0.5},

(p3-p4)2]0.5},

(p3-p4)2]0.5}.

(16)

上述特征值的解析式比較復(fù)雜,帶入特殊值進(jìn)行計(jì)算,可以比較直觀的看出特征值分布情況?？紤]到τ?ΔT,因此p3

3　仿真實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)分析

利用MATLAB仿真了上述幾種情況下,空域和空時(shí)自相關(guān)矩陣的特征值分布。仿真時(shí)信號中心頻點(diǎn)采用北斗B3頻點(diǎn)(1 268.52MHz),信號帶寬20M,依據(jù)干擾信號帶寬小于信號帶寬的10%為窄帶干擾信號的原則,窄帶干擾信號采用單頻信號和1M帶寬的高斯白噪聲信號,寬帶干擾信號采用20M帶寬的高斯白噪聲信號。圖3所示的是在不同的陣元個(gè)數(shù)下(從2陣元線陣到5陣元線陣),輸入窄帶高斯(1M帶寬)干擾信號時(shí),空域自相關(guān)矩陣的特征值分布情況,可以看出當(dāng)陣元個(gè)數(shù)增多時(shí),唯一一個(gè)較大的特征值隨陣元增加近似呈線性的增大,這與最大特征值近似等于陣元個(gè)數(shù)與干擾功率的乘積的結(jié)論是一致的。圖4所示的是輸入不同個(gè)數(shù)的窄帶干擾,陣元個(gè)數(shù)為5時(shí),空域自相關(guān)矩陣特征值的分布情況,可以看出大特征值的個(gè)數(shù)與干擾信號的個(gè)數(shù)是一致的,這也說明了理論推導(dǎo)的正確性。

圖3　不同陣元個(gè)數(shù)時(shí)的特征值分布

圖4　不同干擾個(gè)數(shù)時(shí)的特征值分布

為了驗(yàn)證存在多個(gè)干擾時(shí),信號的空間位置對特征值分布的影響,假定一個(gè)干擾信號的俯仰角和方位角均為45°,另一個(gè)干擾信號的俯仰角為45°,其方位角從45°逐漸變化到315°,圖5是利用理論推導(dǎo)的結(jié)果式(10)畫出的圖像。圖6示出了仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。

圖5　理想情況下特征值分布

圖6　仿真情況下特征值分布

對比圖5和圖6可以看出,雖然由于誤差的存在使得仿真條件下得到的特征值分布和理論推導(dǎo)的特征值分布存在一定的差異,但仍然可以明顯的看出特征值的變化趨勢是相同的,說明了上述理論推導(dǎo)的正確性。也說明了在多干擾的條件下,干擾源的空間位置對特征值分布有較大的影響,通過特征值分布估計(jì)干擾個(gè)數(shù)可能會(huì)出現(xiàn)誤判。

表1示出了高斯寬帶(20M帶寬)和高斯窄帶(1M帶寬)干擾信號入射到不同陣元個(gè)數(shù)的空域?yàn)V波器,得到的特征值分布情況。天線陣為均勻直線陣,整個(gè)過程保持干擾功率不變。

表1　不同信號模式下空域自相關(guān)矩陣特征值分布

從表1的數(shù)據(jù)可以看出,當(dāng)輸入寬帶干擾信號時(shí),特征值的分布并沒有發(fā)生明顯的變化。說明了信號寬帶模型下的特征值分布接近于窄帶模型下的特征值分布。也說明了利用空域自相關(guān)矩陣的特征值分布估計(jì)干擾個(gè)數(shù)是一種較好的估計(jì)方式。

表2示出利用空時(shí)處理得到的不同干擾模式下的仿真結(jié)果。天線陣均采用均勻直線陣,延時(shí)階數(shù)為4.窄帶干擾采用單頻干擾信號,寬帶干擾采用20M帶寬的高斯干擾。由于主要分析大特征值,因此表中部分小特征值未列出。

表2　不同干擾模式下空時(shí)自相關(guān)矩陣特征值的分布

從上表的數(shù)據(jù)可以看出特征值的分布和理論推導(dǎo)基本上是一致的。輸入窄帶信號時(shí),空時(shí)自相關(guān)矩陣的特征值衰減速度較快,只有一個(gè)較大的特征值。但是輸入寬帶信號時(shí),會(huì)同時(shí)出現(xiàn)幾個(gè)大的特征值,利用大特征值估計(jì)干擾個(gè)數(shù)會(huì)出現(xiàn)較大誤差。圖7示出了在輸入不同個(gè)數(shù)的窄帶干擾時(shí)空時(shí)自相關(guān)矩陣特征值的分布情況,可以看出其大特征值的個(gè)數(shù)和干擾個(gè)數(shù)是一致的。

圖7　不同窄帶干擾個(gè)數(shù)下空時(shí)自相關(guān)矩陣特征值分布

雖然采用空時(shí)自相關(guān)矩陣特征值分布不能估計(jì)寬帶干擾源個(gè)數(shù),但也具有一定的意義,因?yàn)閷?shí)際中天線陣陣元個(gè)數(shù)往往較少,利用空域自相關(guān)矩陣估計(jì)干擾個(gè)數(shù)受到天線陣陣元個(gè)數(shù)限制,而相同陣元個(gè)數(shù)情況下,空時(shí)自相關(guān)矩陣能估計(jì)的窄帶干擾源個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于空域自相關(guān)矩陣。需要指出的是,當(dāng)陣元個(gè)數(shù)為M,時(shí)域抽頭階數(shù)為N時(shí),使用工程中常用的QR分解方法計(jì)算矩陣特征值,空域自相關(guān)矩陣特征值計(jì)算的復(fù)雜度為ο(M3),而空時(shí)自相關(guān)特征值計(jì)算的復(fù)雜度為ο((MN)3),可見其計(jì)算量較大。

4　結(jié)束語

在信號的窄帶模型和寬帶模型下,本文從理論上分析了空域和空時(shí)自相關(guān)矩陣特征值分布的特性,并且利用仿真實(shí)驗(yàn)證明了理論推導(dǎo)的正確性。推導(dǎo)出窄帶模型下空域自相關(guān)矩陣特征值的數(shù)學(xué)表達(dá)式,分析了雙干擾條件下干擾源空間分布對特征值分布的影響。通過空域自相關(guān)矩陣的特征值分布可以估計(jì)干擾源個(gè)數(shù),但干擾源個(gè)數(shù)的估計(jì)受到陣列自由度以及干擾源空間位置分布的影響。在窄帶干擾信號的條件下,空時(shí)自相關(guān)矩陣的特征值分布也能夠估計(jì)干擾源個(gè)數(shù),并且在不增加陣元個(gè)數(shù)的前提下可估計(jì)干擾源個(gè)數(shù)大大提高,但是由于矩陣階數(shù)較高,使用常規(guī)方法計(jì)算特征值分布的計(jì)算復(fù)雜度較大。

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Study of Eigenvalue Distribution of Spatial and Spatial Temporal Correction Matrix Under Interference

DAI Xinzhi, NIE Junwei,LU Zukun,OU Gang

(SchoolofElectronicScienceandEngineering,NationalUniversityofDefenseandTechnology,Changsha410073,China)

The characteristics of eigenvalue distribution of spatial and spatial temporal correction matrix are closely related to the interference. Through analyzing the relationship between eigenvalues distribution and interference, we can obtain some information of interference such as the numbers of interference source, and the priori information obtained can be used for the following processing. This paper analyzed the characteristics of eigenvalue distribution of spatial and spatial temporal correction matrix in the narrowband and wideband signal model, and proved the conclusions through simulation. The mathematical expressions of eigenvalue distribution of spatial correction matrix are obtained in narrowband signal model and the characteristics of eigenvalue distribution in wideband signal model are summarized. This paper also analyzed the possibility of estimating the numbers of interference source with the eigenvalue distribution. And the results show that the numbers of larger eigenvalue of spatial correction matrix is a good estimate of the numbers of interference source, but its accuracy is influenced by the spatial distribution of interference.

Jamming; correlation matrix; eigenvalue distribution

2015-06-10

P288.4

A

1008-9268(2016)03-0044-07

戴鑫志(1992-),男,碩士生,主要從事GNSS抗干擾研究。

聶俊偉(1983-),男,博士,講師,主要從事GNSS抗干擾研究。

魯祖坤(1988-),男,博士生,主要從事GNSS抗干擾研究。

歐鋼(1969-),男,教授,博士生導(dǎo)師,主要從事衛(wèi)星導(dǎo)航信息處理算法及工程技術(shù)實(shí)現(xiàn)方面的研究。

doi:10.13442/j.gnss.1008-9268.2016.03.010

聯(lián)系人： 戴鑫志 E-mail: daixinzhi163@163.com

文獻(xiàn)[7]中詳細(xì)的介紹了空域和空時(shí)抗干擾模型的輸入和輸出關(guān)系?？沼蚣翱諘r(shí)自相關(guān)矩陣的表示形式相同,即