基于單調(diào)性視角下的函數(shù)綜合題破解策略

江蘇省丹陽市第五中學(xué)　(212300)

孔幫新

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基于單調(diào)性視角下的函數(shù)綜合題破解策略

江蘇省丹陽市第五中學(xué)(212300)

孔幫新

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，是研究變量數(shù)學(xué)的工具，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是歷年高考考查的重點(diǎn).而函數(shù)單調(diào)性則是函數(shù)性質(zhì)的核心和靈魂，是函數(shù)試題的“心臟”.幾乎所有的函數(shù)綜合試題都與函數(shù)單調(diào)性緊密聯(lián)系.函數(shù)單調(diào)性還與不等式、參數(shù)的范圍、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何密切相關(guān).下面筆者談?wù)剰暮瘮?shù)單調(diào)性的視角破解函數(shù)綜合題的策略，不到之處請批評指正.

一、以數(shù)馭形，構(gòu)造函數(shù)，研究幾何性質(zhì)

例1(2014年蘇北四市調(diào)研測試20題)

設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx(a∈R)的圖像為曲線C，點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)是曲線上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)N，試問曲線C在點(diǎn)N處的切線是否平行于直線AB，并說明理由.

解決本問題的關(guān)鍵是將線線平行判斷轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)是否有零點(diǎn).轉(zhuǎn)化策略和求導(dǎo)數(shù)是工具.許多函數(shù)試題最終都轉(zhuǎn)化為用函數(shù)單調(diào)性解決問題.

構(gòu)造函數(shù)的基本原則是求導(dǎo)數(shù)、找零點(diǎn)、判斷導(dǎo)函數(shù)值的符號方便，且具有比較明顯的幾何特征.

二、分析特征，合理放縮，證明不等式

例2(2013年高考全國新課標(biāo)卷第21題)

已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)m≤2時，證明f(x)>0.

本題將證明不等式轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)的單調(diào)性，再次顯示了函數(shù)單調(diào)性的威力.

三、合理轉(zhuǎn)化，分類討論，巧求參數(shù)范圍

例3(2014年高考山東卷第20題)

(1)當(dāng)k≤0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點(diǎn)，求k的取值范圍.

分析：求函數(shù)單調(diào)區(qū)間可通過求導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)數(shù)值在各區(qū)間的正負(fù)得到，如含參數(shù)則須分類討論以便確定符號.f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點(diǎn)，即f′(x)在(0,2)有兩個零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化研究f′(x)在(0,2)上的單調(diào)性和極值點(diǎn)的位置，根據(jù)f′(x)的單調(diào)性確定f′(x)在(0,2)的零點(diǎn).

(2)由(1)知，當(dāng)k≤0時,函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在極值點(diǎn)；當(dāng)k>0時,設(shè)g(x)=ex-kx,x∈[0,+∞)，因?yàn)間′(x)=ex-k=ex-elnk，當(dāng)00，y=g(x)單調(diào)遞增，故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在兩個極值點(diǎn)；

四、巧設(shè)函數(shù)，簡化運(yùn)算，破解恒成立問題

例4(2013年高考天津第20題)

已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0，其中a>0.

(1)求a的值；

(2)若對任意的x∈[0,+∞)有f(x)≤kx2成立，求實(shí)數(shù)k的最小值.

(2)當(dāng)k≤0時,取x=1有f(1)=1-ln2>0，故k≤0不合題意.當(dāng)k>0時,令g(x)=f(x)-kx2，即g(x)=x-ln(x+1)-kx2，

解后反思：恒成立問題其實(shí)是求新的函數(shù)g(x)=f(x)-kx2的最大值為0時實(shí)數(shù)k的范圍，也即運(yùn)用導(dǎo)數(shù)借助單調(diào)性，求出函數(shù)最值.因?yàn)樾潞瘮?shù)含參數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，找極值點(diǎn)并判斷導(dǎo)數(shù)的符號是難點(diǎn).本題如按常規(guī)思路分離變量構(gòu)造函數(shù)，則求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)及判斷函數(shù)值的正負(fù)號就非常繁.

總之，縱觀函數(shù)綜合題解法，可總結(jié)為以下步驟：

首先，弄清問題的條件有哪些，結(jié)論求什么？如判斷函數(shù)單調(diào)性，求極值(最值)，比較函數(shù)值的大小，求零點(diǎn)個數(shù)，證明不等式等等均與函數(shù)單調(diào)性緊密聯(lián)系；

其次，把所求結(jié)論轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)造新函數(shù)或從原函數(shù)出發(fā)，求導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，通常函數(shù)中含有參數(shù)需要分類討論以判斷導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間的符號；

最后，結(jié)合函數(shù)在給定區(qū)間上的大致圖像形狀，數(shù)形結(jié)合，尋找結(jié)論.