再談數(shù)學(xué)知識在生物學(xué)解題中的應(yīng)用

祝遠(yuǎn)超

(湖北省天門市岳口高級中學(xué) 431702)

生物學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科。它與很多學(xué)科都有著直接或間接的聯(lián)系。因此，在解答生物學(xué)試題的過程中有時必須應(yīng)用相關(guān)學(xué)科的知識，特別是數(shù)學(xué)。

1 排列組合在生物學(xué)解題中的應(yīng)用

例1 (用排列組合求雜交后代基因型和表型的種類數(shù)及某種個體占的比例)：已知A與a、B與b、C與c 3對等位基因自由組合，基因型分別為AaBbCc、AabbCc的兩個個體進行雜交。下列關(guān)于雜交后代的推測，正確的是( )。

A.基因型有18種，AaBbCc個體占的比例為1/16

B.基因型有12種，aaBbcc個體占的比例為1/16

C.表現(xiàn)型有6種，Aabbcc個體占的比例為1/8

D.表現(xiàn)型有8種，aaBbCc個體占的比例為1/16

解析：解答此類試題的方法較多，如棋盤法、分枝法等，但最簡單的方法莫過于分解組合法，即先求每對基因雜交的結(jié)果，然后將其自由組合，如下：

Aa×Aa→1/4AA、1/2Aa、1/4aa，即3種基因型，2種表型；Bb×bb→1/2Bb、1/2bb，即2種基因型，2種表型；Cc×Cc→1/4CC、1/2Cc、1/4cc，即3種基因型，2種表型。據(jù)排列組合的知識可得，雜交后代基因型的種類數(shù)為3×2×3=18種，表型的種類數(shù)為2×2×2=8種，故B、C均錯。雜交后代中AaBbCc占的比例為1/2×1/2×1/2=1/8，aaBbCc占的比例為1/4×1/2×1/2=1/16，參考答案：D。

針對性訓(xùn)練1：基因型分別為ddEeFf和DdEeff的兩個個體進行雜交，在3對等位基因各自獨立遺傳的條件下，下列關(guān)于雜交后代的推測，正確的是( )。

A.基因型有8種，ddEeFf個體占的比例為1/8

B.基因型有12種，DdEeff個體占的比例為1/8

C.表現(xiàn)型有6種，DdEeFf個體占的比例為1/16

D.表現(xiàn)型有8種，ddEeff個體占的比例為1/16

參考答案：B。

例2 (用排列組合計算食物鏈的條數(shù))：圖示某生態(tài)系統(tǒng)中食物網(wǎng)的圖解，其中食物鏈的條數(shù)是( )。

A.6 B.7 C.8 D.9

解析：由圖可知，蜘蛛有2種食物(甲蟲和葉狀蟲)，蜥蜴只有一種天敵(蛇)。由排列組合的知識可知，同時含有蜘蛛和蜥蜴的食物鏈條數(shù)為2×1=2條，同理可得：同時含有蜘蛛和知更鳥的食物鏈條數(shù)為2×2=4條，同時含有葉狀蟲和蜜雀的食物鏈條數(shù)為1×2=2條，故下圖中食物鏈的條數(shù)為2+4+2=8。參考答案：C。

點撥：①上述方法不僅用到了排列組合知識，還用到了一種重要的方法——“捆綁法”，即分別將蜘蛛和蜥蜴、蜘蛛和知更鳥、葉狀蟲和蜜雀“捆綁”在一起；②此法與常規(guī)方法——逐條計數(shù)法(一條一條地數(shù))相比，不僅簡單、快捷，而且準(zhǔn)確率較高(稍微仔細(xì)一點，一般不會出錯)。

思維警示：用“捆綁法”計算食物鏈的條數(shù)時，不同“捆綁”對象之間均不能有捕食關(guān)系，如上述蜥蜴、知更鳥、蜜雀兩兩之間均無捕食關(guān)系。

針對性訓(xùn)練2：圖示一個草原生態(tài)系統(tǒng)的營養(yǎng)結(jié)構(gòu)，則該食物網(wǎng)包含了( )條食物鏈。

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

解析：由圖可知，放養(yǎng)的牲畜有兩種食物和一種天敵，由排列組合的知識可知，含有放養(yǎng)的牲畜的食物鏈有2×1=2條，同理可得，含有兔的食物鏈有2×2=4條，含有鼠的食物鏈有2×2=4條，含有食草昆蟲的食物鏈分別有2×1=2條，故圖中共有2+4+4+2=12條食物鏈，參考答案：C。

例3 (用排列組合計算DNA分子中堿基的排列順序數(shù))：由50個脫氧核苷酸構(gòu)成的雙鏈DNA分子，按其堿基對的排列順序不同，可分為多少種( )。

A．504B．450C．425D．254

解析：由題意可知，該DNA分子含有25個堿基對(或脫氧核苷酸對)，其中每個堿基對都有A-T或T-A或C-G或G-C 4種可能。由排列組合的知識可知，其堿基對的排列順序數(shù)為4×4×……4(共25個4相乘)=425。參考答案：C。

點撥：①若一個DNA分子中含有n個堿基對(或脫氧核苷酸對)，則其堿基對的排列順序數(shù)最多有4n種；②若是單鏈DNA分子，則n代表單鏈中的堿基(或脫氧核苷酸)的數(shù)目。

思維警示：①4n是理論上的最大值；②若題中告訴了(或能求出)DNA分子中各種堿基(或堿基對)的具體數(shù)目，則結(jié)果不能用4n表示。

針對性訓(xùn)練3：含有2000個堿基的雙鏈DNA分子，其每條鏈上的堿基排列方式最多有( )種。

A．42000B．41000C．22000D．21000

參考答案：B。

例4 (用排列組合歸納探究性實驗預(yù)期結(jié)果的種類)：現(xiàn)有一種植物種子，已知其萌發(fā)受水分、溫度和氧氣的影響，但不知其萌發(fā)是否與光有關(guān)?，F(xiàn)欲探究光對該種子萌發(fā)的影響，請依據(jù)實驗的方法步驟，預(yù)測可能的實驗結(jié)果，并分析得出相應(yīng)的結(jié)論。

材料和用品：數(shù)量充足的鋪有濾紙的培養(yǎng)皿、無菌水、表面消毒過的種子等。

方法步驟：①向培養(yǎng)皿中倒入適量的水，將等量的種子分別放入A、B兩組培養(yǎng)皿中；②將A組置于有光照的環(huán)境中，B組置于黑暗環(huán)境中，在培養(yǎng)過程中，使兩組所處溫度、水分、空氣狀況等相同，且適宜。

請寫出可能的實驗結(jié)果及相應(yīng)的結(jié)論：

解析：A組種子可能萌發(fā)(A1)，也可能不萌發(fā)(A2)，B組種子可能萌發(fā)(B1)，也可能不萌發(fā)(B2)。將其自由組合，結(jié)果為：①若A組萌發(fā)，B組也萌發(fā)(A1、B1)，則光對該種植物種子的萌發(fā)無影響；②若A組萌發(fā)，B組不萌發(fā)(A1、B2)，則光是該種植物種子萌發(fā)的必要條件之一；③若A組不萌發(fā)，B組萌發(fā)(A2、B1)，則光抑制該種植物種子的萌發(fā)。

理論上還有第4種可能：若A組不萌發(fā)，B組也不萌發(fā)(A2、B2)，但它不符合生物學(xué)原理，應(yīng)舍棄，故應(yīng)只寫上述3種情況。

2 函數(shù)知識在生物學(xué)解題中的應(yīng)用

例5 (一次函數(shù))：在“植物→昆蟲→鳥”營養(yǎng)結(jié)構(gòu)中，若能量傳遞效率為10%，以鳥類同化的總能量中從昆蟲獲得的總能量為x軸，植物供能總量為y軸，繪制的相關(guān)曲線是( )。

解析：設(shè)鳥類同化的總能量為k，則鳥類通過“植物→昆蟲→鳥”獲得總能量x需消耗植物的量為x÷10%÷10%=100x，通過“植物→鳥”獲得總能量(k-x)需消耗植物的量為(k-x)÷10%=10(k-x)，故y=100x+10(k-x)，化簡得y=90x+10k(x>0，k>0)。由函數(shù)知識可知，它是y關(guān)于x的一次函數(shù)，其圖象的特點是：①是一條直線；②在y軸上的截距為10k(k>0)；③y隨x的增大而增大(因斜率為90>0)。符合這些特點的曲線只有D，參考答案為D。

針對性訓(xùn)練4：在“草→昆蟲→鳥”營養(yǎng)結(jié)構(gòu)中，假設(shè)動物性食物所占比例為m，若以鳥體重增加的重量為x軸，至少消耗草的量為y軸，繪制的相關(guān)曲線是( )。

解析：當(dāng)能量傳遞效率為20%時，消耗草的量最少。鳥通過“草→蟲→鳥”增重mx時至少消耗草的量為mx÷20%÷20%=25mx，通過“草→鳥” 增重(1-m)x時至少消耗草的量為(1-m)x÷20%=5(1-m)x，故y=25mx+5(1-m)x，化簡得y=(20m+5)x(x>0，0

例函數(shù)，其圖象的特點是：①是一條直線；②經(jīng)過原點；③y隨x的增大而增大(因斜率20m+5>0)。符合這3個特點的曲線只有C，參考答案為C。

例6 (二次函數(shù))：在一個玻璃容器內(nèi)，裝入一定量的符合小球藻生活的營養(yǎng)液，接種少量的小球藻，每隔一段時間測定小球藻的個體數(shù)量，繪制成的曲線如圖所示。圖A、B、C、D中能正確表示小球藻種群增長速率隨時間變化趨勢的曲線是( )。

解析：由上圖可知，小球藻種群數(shù)量呈“S”型增長?！癝”型增長曲線是根據(jù)方程Nt= K/(1+ea-rt)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型(t為時間，Nt為種群大小，K是環(huán)境容納量，e為常數(shù)，a表示曲線對原點的相對位置，r是物種的潛在增殖能力，特定種群的r和K都為定值)。將該方程求導(dǎo)得dN/dt=rN(1-N/K)[1](邏輯斯諦方程，dN/dt為種群增長速率，N為種群數(shù)量，其余各參數(shù)的含義同上)，將其變形得dN/dt=-r/K[(N-K/2)2- K2/4]，由函數(shù)知識可知，此方程是dN/dt(因變量)關(guān)于N(自變量)的二次函數(shù)，坐標(biāo)曲線為拋物線，其特征如下：①開口方向向下(因二次項系數(shù)為-r/K<0)；

②對稱軸為N=K/2(由上述方程可知)；

③存在最大值rK/4(當(dāng)N=K/2時，-r/ K[(N-K/2)2- K2/4]=rK/4)；

④與橫坐標(biāo)的交點為N=0和N=K[當(dāng)N=0或K時，rN(K-N)/K =0]。

由所述4個特征可知，參考答案為D。

例7 (非初等函數(shù))：科學(xué)家在研究基因的圖距時，若某測交觀察到兩個基因座之間重組值為27.5%，則實際圖距應(yīng)為多少？

解析：根據(jù)泊松分布的概率密度函數(shù)f(x)=mxe-m/x!(其中x=0，1，2，…，m=分布的平均數(shù))可知，某兩個基因間不發(fā)生交換(零次交換)的概率f(0)=m0e-m/0!=e-m。其次，還要考慮至少發(fā)生一次交換的減數(shù)分裂的比例為1與0次交換類型比例的差。因為在許多細(xì)胞中，同一染色體上某兩個基因之間發(fā)生交換的平均數(shù)必然很小，所以交換數(shù)的分布可以用泊松分布的各項表示，故作圖函數(shù)可表示為RF=1/2(1-e-m)(RF為重組率)。將題中數(shù)據(jù)代入作圖函數(shù)式可得0.275=1/2(1-e-m)，化簡得到e-m=0.45，解得m=0.8。說明在這兩個基因座之間每個減數(shù)分裂中平均有0.8次交換。因為每次交換只包括4條染色單體中的兩條非姐妹染色單體，故由m再轉(zhuǎn)換成真實圖距時應(yīng)乘以1/2，即真實的圖距為0.8×1/2=40 cM(cM為圖距單位“厘摩”，1 cM=1%重組值去掉%的數(shù)值)。

3 方程在生物學(xué)解題中的應(yīng)用

例8 已知氨基酸的平均相對分子質(zhì)量為128，測得某蛋白質(zhì)的相對分子質(zhì)量為5646，則組成該蛋白質(zhì)的氨基酸數(shù)和肽鏈數(shù)分別為( )。

A．51、1 B．51、2 C．52、1 D．52、2

解析：設(shè)組成該蛋白質(zhì)的氨基酸數(shù)為n，肽鏈數(shù)為m，根據(jù)氨基酸的質(zhì)量之和=蛋白質(zhì)的質(zhì)量+脫去水的質(zhì)量及脫去的水分子數(shù)=氨基酸數(shù)-肽鏈數(shù)可得，128n=5646+18(n-m)，化簡得18m+110n=5646，若m=1，則n=2814/55≈51.16，舍棄(因n為正整數(shù))；若m=2，則n=51，故答案為B。

例9 有一多肽鏈，分子式為C55H70O19N10，其徹底水解后，只得到下列4種氨基酸(R基均不含N)：谷氨酸(C5H9O4N)，苯丙氨酸(C9H11O2N)，甘氨酸(C2H5O2N)，丙氨酸(C3H7O2N)。則該多肽鏈徹底水解可產(chǎn)生多少個甘氨酸？( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析：設(shè)此多肽鏈徹底水解可產(chǎn)生谷氨酸a個、苯丙氨酸b個、甘氨酸c個、丙氨酸d個，則根據(jù)C、H、O、N原子守恒可分別得①、②、③、④式：

解得c=1，參考答案為A。

思維警示：用原子守恒法解題時，脫水縮合所脫去的水中H和O的個數(shù)很容易被忽略。即H、O守恒的方程式很容易出錯。

針對性訓(xùn)練5：一條多肽鏈的分子式為C22H34O13N6，其徹底水解后，只得到下列3種氨基酸：谷氨酸(C5H9O4N)，甘氨酸(C2H5O2N)，丙氨酸(C3H7O2N)。那么該多肽鏈徹底水解之后可產(chǎn)生多少個丙氨酸？( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

參考答案：A。