針對統(tǒng)計概率題　教你如何得滿分

陳鎖林　趙志林

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針對統(tǒng)計概率題教你如何得滿分

陳鎖林趙志林

統(tǒng)計與概率部分考題一般難度不大，雖然少數(shù)考題能力要求較高，不過分?jǐn)?shù)應(yīng)該是很容易拿到手的，但我們從近幾年中考閱卷發(fā)現(xiàn)，這部分題目的得分率并不高，同學(xué)們出現(xiàn)的問題主要是：會而不對、對而不全、書寫畫圖不規(guī)范、關(guān)鍵步驟缺少、答非所問、不答等，失掉了不該失的分，實在令人惋惜.

那么，面對統(tǒng)計與概率的考題，如何得滿分呢？

其實很簡單，在中考閱卷時，為了讓大家多得分，常采用人性化的給分原則，即在題目所考查的知識點中，每個點都事先給定了分?jǐn)?shù)，你答出幾點，就得多少分，反之，你少幾點，就會少得分，這種方法叫“分步踩點給分”.下面就以實例說明.

例1（2015·鎮(zhèn)江）活動1：在一只不透明的口袋中裝有標(biāo)號為1，2，3的3個小球，這些球除標(biāo)號外都相同，充分?jǐn)噭?，甲、乙、丙三位同學(xué)以丙→甲→乙的順序依次從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，計算甲勝出的概率.（注：丙→甲→乙表示丙第一個摸球，甲第二個摸球，乙最后一個摸球）

活動2：在一只不透明的口袋中裝有標(biāo)號為1，2，3，4的4個小球，這些球除標(biāo)號外都相同，充分?jǐn)噭?，請你對甲、乙、丙三名同學(xué)規(guī)定一個摸球順序：_______→_______→_______，他們按這個順序從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，則第一個摸球的同學(xué)勝出的概率等于_______，最后一個摸球的同學(xué)勝出的概率等于_______.

猜想：在一只不透明的口袋中裝有標(biāo)號為1，2，3，…，n（n為正整數(shù)）的n個小球，這些球除標(biāo)號外都相同，充分?jǐn)噭?，甲、乙、丙三名同學(xué)從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，猜想：這三名同學(xué)每人勝出的概率之間的大小關(guān)系.

你還能得到什么活動經(jīng)驗？（寫出一個即可）

【思維切入】（1）畫出樹狀圖，通過計算判斷出甲勝出的概率是多少即可.

（2）首先對甲、乙、丙三名同學(xué)規(guī)定一個摸球順序，在此以丙→甲→乙為例，然后畫出樹狀圖，判斷出第一個摸球的丙同學(xué)和最后一個摸球的乙同學(xué)勝出的概率各等于多少即可.

（3）首先根據(jù)（1）（2），猜想這三名同學(xué)每人勝出的概率之間的大小關(guān)系為：P（甲勝出）=P（乙勝出）=P（丙勝出），然后總結(jié)出得到的活動經(jīng)驗為：抽簽是公平的，與順序無關(guān).

【解答】（1）如圖1，

圖1

甲勝出的概率為：

（2）對甲、乙、丙三名同學(xué)規(guī)定一個摸球順序：丙→甲→乙，畫樹狀圖，如圖2，

圖2

（3）這三名同學(xué)每人勝出的概率之間的大小關(guān)系為：P（甲勝出）=P（乙勝出）=P（丙勝出）.

得到的活動經(jīng)驗為：抽簽是公平的，與順序無關(guān).（答案不唯一）（7分）

【踩點得分提示】本題滿分為7分.閱卷時，我們把這7分細(xì)化到三問，即活動一2分，活動二3分，猜想2分.這道題對同學(xué)們的要求還是比較高的，需要大家能從活動一的解答中獲得提示，在解決活動二時，先定摸球順序，再畫圖、計算、判斷，得到正確結(jié)論.對于第三問的猜想，不但要求大家對知識有深刻的理解，還要能根據(jù)上面兩個活動正確猜想，需要有一定的歸納能力、數(shù)學(xué)論證能力、完整書面表達(dá)能力等.答題時，同學(xué)們除了要注意解題是否規(guī)范、書寫是否完整等問題外，還要注意：解題過程中所畫的樹狀圖要清晰，活動二的結(jié)論要填到題目中的空格內(nèi)，第三問猜想的結(jié)論要精準(zhǔn)，對活動經(jīng)驗的總結(jié)要簡潔明了、符合數(shù)學(xué)原理.另外，本題選用畫樹狀圖法將極大方便問題的解決.

統(tǒng)計類考題一般會出現(xiàn)相關(guān)圖表，而概率類問題一般需要我們制作圖表來分析、解決問題，學(xué)會讀圖、用圖、制圖就是解決此類問題的鑰匙.下面，我們舉幾個例子來學(xué)習(xí)如何利用圖表來解題.

例2（2015·南京）某工程隊有14名員工，他們的工種及相應(yīng)每人每月工資如下表所示：

工種　人數(shù)　每人每月工資/元電工　5　7 000木工　4　6 000瓦工　5　5 000

現(xiàn)該工程隊進(jìn)行了人員調(diào)整：減少木工2名，增加電工、瓦工各1名，與調(diào)整前相比，該工程隊員每月工資的方差_______（填“變小”、“不變”或“變大”）.

【思維切入】從圖表中我們發(fā)現(xiàn)，人員的變化并沒有使平均數(shù)發(fā)生變化，所以根據(jù)方差的概念，我們只要考慮變化前后數(shù)據(jù)與平均數(shù)差值平方的變化情況即可.

【解答】∵減少木工2名，增加電工、瓦工各1名，∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，但是每個數(shù)據(jù)減去平均數(shù)后平方和增大，則該工程隊員每月工資的方差變大.故答案為：變大.

【踩點得分提示】本題考查同學(xué)們對平均數(shù)和方差概念的理解.在解決本題時，并不需要求出方差的具體數(shù)值再進(jìn)行比較，而是體會方差隨整體數(shù)據(jù)在平均數(shù)上下的變化情況.正確解答本題一是讀懂表格，用增減法判斷出平均數(shù)不變；二是通過讀表格，發(fā)現(xiàn)相對平均數(shù)來說，“大”數(shù)據(jù)（電工）和“小”（瓦工）數(shù)據(jù)都有所增加，所以離散程度變大，從而方差變大.

例3（2015·鄂州）為了解某社區(qū)居民的用電情況，隨機(jī)對該社區(qū)10戶居民進(jìn)行調(diào)查，下表是這10戶居民2015年4月份用電量的調(diào)查結(jié)果：

居民（戶）　1　2　3　4月用電量（度/戶）　30　42　50　51

那么關(guān)于這10戶居民月用電量（單位：度），下列說法錯誤的是（）.

A.中位數(shù)是50度B.眾數(shù)是51度

C.平均數(shù)是43.5度D.極差是21度

【思維切入】首先是要讀懂表格，表格的第一行表示的是用電量為第二行各度數(shù)的戶數(shù)，而不是表示的第幾戶，接著可以根據(jù)統(tǒng)計的有關(guān)概念來解決問題.

【解答】共計10戶，中位數(shù)應(yīng)是從大到小或從小到大排列的第5戶50度和第6戶50度的平均數(shù)，所以中位數(shù)是50度，故A正確；眾數(shù)是51度，故B正確；極差是21度，故D正確.而平均數(shù)應(yīng)是46.8，故C錯誤.

【踩點得分提示】本題主要是考查同學(xué)們在正確閱讀圖表的基礎(chǔ)上，利用統(tǒng)計概念解決問題，關(guān)鍵是讀懂“居民（戶）”表示的意義.

例4（2015·孝感）2015年1月，市教育局在全市中小學(xué)中選取了63所學(xué)校，從學(xué)生的思想品德、學(xué)業(yè)水平、學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)、身心發(fā)展和興趣特長五個維度進(jìn)行了綜合評價.評價小組在選取的某中學(xué)七年級全體學(xué)生中隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，了解他們每天在課外用于學(xué)習(xí)的時間，并繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖.

根據(jù)上述信息，解答下列問題：

（1）本次抽取的學(xué)生人數(shù)是________，扇形統(tǒng)計圖中的圓心角α等于_________，補(bǔ)全統(tǒng)計直方圖.

（2）被抽取的學(xué)生還要進(jìn)行一次50米跑測試，每5人一組進(jìn)行.在隨機(jī)分組時，小紅、小花兩名女生被分到同一個小組，請用列表法或畫樹狀圖求出她倆在抽道次時抽在相鄰兩道的概率.

【思維切入】對比直方圖和扇形統(tǒng)計圖，樣本的各組數(shù)據(jù)是一一對應(yīng)的，3～4小時這組即是問題的突破口，根據(jù)本組人數(shù)和占比即可求出樣本容量；α的度數(shù)可以根據(jù)2～3小時這組在樣本中的占比求得；小紅、小花抽在相鄰兩道的概率通過列表或者畫樹狀圖來求得.

【解答】（1）6÷20%=30，（30-3-7-6-2）÷30×360°=12÷30×360°=144°，扇形統(tǒng)計圖中的圓心角α等于144°.

補(bǔ)全統(tǒng)計直方圖如圖所示：

（2）設(shè)豎列為小紅抽取的跑道，橫排為小花抽取的跑道，根據(jù)題意列表如下：

記小紅和小花抽在相鄰兩道這個事件為A，

【踩點得分提示】本題考查了列表法和畫樹狀圖法求概率，頻數(shù)分布直方圖，扇形統(tǒng)計圖.首先要正確地識圖，清楚直方圖和扇形統(tǒng)計圖之間的對應(yīng)關(guān)系，找到問題的突破點是解題的關(guān)鍵.

總而言之，因為考點多、分值分散，失掉1分會嚴(yán)重影響答題的得分率，所以做統(tǒng)計概率題，踩點得分很重要，特別是讀圖畫圖時，記住把題中信息在圖中標(biāo)出或畫出，把圖表中信息寫出來，想到多少寫多少，這樣不但可方便自己解題，特別是萬一遇上一個沒把握全解出來的問題，還可讓閱卷老師從中尋找得分點、踩點給分.

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市宜城中學(xué)、江蘇省鎮(zhèn)江新區(qū)教育發(fā)展中心）