“圓”來(lái)如此簡(jiǎn)單
——2015年江蘇無(wú)錫中考卷第26題思路解析

邵艷

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“圓”來(lái)如此簡(jiǎn)單
——2015年江蘇無(wú)錫中考卷第26題思路解析

邵艷

研習(xí)2015年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)卷，常常為有些試題的精巧構(gòu)思、苦心經(jīng)營(yíng)而感動(dòng).比如2015年江蘇無(wú)錫卷第26題沒(méi)有圖形，但是求解時(shí)卻對(duì)幾何圖形中的線段、線段中點(diǎn)、角平分線、平行四邊形（包括菱形）、圓、直角三角形、軸對(duì)稱等知識(shí)全面覆蓋，是一道不可多得的好題，下面為同學(xué)們講解該題，希望同學(xué)們有所收獲.

（2015·無(wú)錫，10分）已知：平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)分別為O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.

（1）是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點(diǎn)P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）當(dāng)∠AOC與∠OAB的平分線的交點(diǎn)Q在邊BC上時(shí)，求m的值.

【思路講解】

（1）由B、C坐標(biāo)特征知道B、C兩點(diǎn)均在直線y=2上；問(wèn)題又明確指出∠OPA= 90°，則可以確認(rèn)點(diǎn)P應(yīng)該在以O(shè)A為直徑的圓上.如圖1，以O(shè)A為直徑的圓（圓心為點(diǎn)M）交直線y=2于點(diǎn)P、P′（想一想，為什么會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)？因?yàn)椤袽的半徑為2.5，而直線y=2到x軸的距離為2），選取其中一個(gè)交點(diǎn)P研究，連接PM，作PH⊥OM于H點(diǎn)，在Rt△PHM中，由勾股定理可得HM=1.5，所以P（1，2），點(diǎn)P、P′關(guān)于直線x=2.5對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性得P′（4，2）.

圖1

接著來(lái)分析邊BC的運(yùn)動(dòng)范圍，如圖2，設(shè)線段BC在直線y=2上從左側(cè)平移而來(lái)，當(dāng)端點(diǎn)B接觸到點(diǎn)P時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P有可能出現(xiàn)在邊BC上，此時(shí)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)m=1；

隨著B(niǎo)C不斷右移，當(dāng)點(diǎn)C到達(dá)P′時(shí)，點(diǎn)P′還可能出現(xiàn)在邊BC上，此時(shí)點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)m-5=4，即m=9.

離開(kāi)P′時(shí)，點(diǎn)P、P′就都不可能出現(xiàn)在邊BC上了.就是說(shuō)當(dāng)1≤m≤9時(shí)，邊BC上總存在點(diǎn)P，使∠OPA=90°.

（2）首先解讀強(qiáng)化條件“當(dāng)∠AOC與∠OAB的平分線的交點(diǎn)Q在邊BC上”，這說(shuō)明OQ⊥AQ（理由是兩直線平行，同旁內(nèi)角的平分線互相垂直）.也就是說(shuō)上一問(wèn)中的點(diǎn)P、P′就可能是第（2）問(wèn)中的Q點(diǎn).于是構(gòu)造圖3分析：

圖圖22

圖3

當(dāng)點(diǎn)Q落在點(diǎn)P（1，2）上時(shí)，此時(shí)容易得出Q為BC中點(diǎn)，于是點(diǎn)B坐標(biāo)為（3.5，2），即m=3.5；

如圖4，當(dāng)點(diǎn)Q′落在點(diǎn)P′（4，2）上時(shí)，同樣可求出點(diǎn)B坐標(biāo)為（6.5，2），即m=6.5.

綜上，m=3.5或6.5.

圖4

【點(diǎn)評(píng)】一般情況下，存在性問(wèn)題如果涉及90°的角時(shí)，常常要和直角三角形的外接圓聯(lián)系到一起.這是由于在圓的學(xué)習(xí)中，有多個(gè)概念或定理涉及90°.比如：圓周角定理推論中直徑所對(duì)的圓周角為直角；在圓中，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；直角三角形的外接圓是以斜邊為直徑的圓等等.（作者單位：江蘇省南通市通州區(qū)西亭初中）