動態(tài)規(guī)劃在鋁行業(yè)儲存與生產(chǎn)的應(yīng)用

申培萍 張夢想 張 瑩

(河南師范大學(xué) 河南 新鄉(xiāng) 453000)

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動態(tài)規(guī)劃在鋁行業(yè)儲存與生產(chǎn)的應(yīng)用

申培萍 張夢想 張 瑩

(河南師范大學(xué) 河南 新鄉(xiāng) 453000)

文章對鋁行業(yè)中生產(chǎn)和存儲問題為例說明了動態(tài)規(guī)劃在鋁企業(yè)生產(chǎn)與儲存中的具體應(yīng)用，并證明其有效性。

動態(tài)規(guī)劃;多階段決策;最優(yōu)化

鋁工業(yè)作為基礎(chǔ)性原材料工業(yè)，在經(jīng)濟(jì)發(fā)展和工業(yè)進(jìn)步起著至關(guān)重要的作用，為了保證鋁產(chǎn)品的一系列生產(chǎn)，就要保證采購量和庫存量達(dá)成一個(gè)平衡狀態(tài)。因此本文主要對鋁企業(yè)的采購與庫存環(huán)節(jié)進(jìn)行研究，提出切實(shí)可行的采購和庫存策略，從而保證生產(chǎn)達(dá)到企業(yè)優(yōu)化的目的。

一、基本目標(biāo)

要達(dá)到三個(gè)基本的目標(biāo)：①庫存檢查的時(shí)間點(diǎn)。②每次進(jìn)貨的訂貨量。③進(jìn)貨的時(shí)間點(diǎn)。

二、基本原理

有一個(gè)合理的檢查周期T、最大儲存量G、訂貨量H，儲存量g。在檢查庫存時(shí)，如果H>g，就需要采購原材料生產(chǎn)，如果H≤G-g，則不需要采購生產(chǎn)。以儲存為媒介，連接起采購—儲存—銷售三者之間的動態(tài)關(guān)系，儲存又和生產(chǎn)密不可分，所以分析這兩個(gè)就可以估計(jì)整體的關(guān)系。以時(shí)間順序排列的一組數(shù)據(jù)，引入時(shí)段因素。每一個(gè)階段都需要進(jìn)行決策，而且各階段之間互有聯(lián)系，所以本階段的決策不僅會影響本階段，而且影響下一階段，從而影響整體的結(jié)果。所以決策時(shí)不僅要考慮本次階段的影響，更要考慮整體的影響，做出對整體來說是最優(yōu)的決策。

三、應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃實(shí)例

生產(chǎn)與庫存最有問題。設(shè)某工廠調(diào)查了解市場情況，根據(jù)往年預(yù)測在今后四個(gè)時(shí)期市場對產(chǎn)品的去求見下表：

k(階段)1234dk(需求量)2324

假設(shè)在任意階段，生產(chǎn)每批鋁固定消耗3(千元)，如果不生產(chǎn)，則為0。生產(chǎn)每單位產(chǎn)品的需要的固定費(fèi)用為1(千元)，任何一個(gè)階段的最大產(chǎn)能不大于6個(gè)單位。并且任意期間每單位產(chǎn)品的庫存費(fèi)為0.5(千元)，同時(shí)規(guī)定的開始和期末均無產(chǎn)品庫存。如何制定計(jì)劃,在滿足訂貨量及假設(shè)的情況下,使所花費(fèi)的總成本費(fèi)用最小。

(一)符號說明及分析：將本問題劃分為四個(gè)時(shí)段，時(shí)段變量設(shè)為k=1,2,3,4 即：①sk為狀態(tài)變量，表示第k階段末的庫存量，由已知得s0=s4=0。②xk決策變量，表示第k階段的生產(chǎn)量，dk表示第k階段的需求量。③sk+1=sk+xk-dk為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。④vk(sk,xk)為階段指標(biāo)函數(shù)，表示第k階段的總成本，它由第k階段的生產(chǎn)成本ck(xk)和第k階段的儲存費(fèi)hk(sk)兩個(gè)部分組成，最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)為fk(sk)。

考慮k=4，因?yàn)橐?階段底存儲量為0，本階段需求量為4個(gè)單位，所以本階段產(chǎn)能應(yīng)為x4=4-s4，由于受限于最大存儲量為3個(gè)單位，所以s4取值為0,1,2,3。

(二)模型的建立：該問題可看作混合整數(shù)規(guī)劃中求解多階段生產(chǎn)規(guī)劃，實(shí)際上，這就是動態(tài)優(yōu)化問題。多階段生產(chǎn)計(jì)劃屬于離散型優(yōu)化問題，可以把它拆解為遞推關(guān)系的很多小問題，動態(tài)規(guī)劃模型主要針對的就是這類問題。

由題可知，動態(tài)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型為：

hk(sk)=0.5sk，所以：vk(sk,xk)=ck(xk)+hk(sk)

基本方程為：

當(dāng)k=3時(shí)，先分析狀態(tài)變量s3的變化區(qū)間，它與庫存最大量決定s3={0,1,2,3}。再剖析決策變量xk的取值范圍，為滿足本階段需求，產(chǎn)能x3至少為d3-s3=2-s3，如果庫存量s3>2，則u3應(yīng)取0。為滿足期末存儲量為零，x3應(yīng)小于等于d3+d4-s3=6-s3，另外x3還受限于存儲量3個(gè)單位，即應(yīng)小于等于d3+3-s3=5-s3，同時(shí)還受限于最大產(chǎn)能為6個(gè)單位的限制，總之有 max(0,2-s3)≤x3≤min(6,5-s3,6-s3)的整數(shù)。

f3(s3)=min[C(x3)+E(s3)+f4(s3+x3-d3)]

我們對s3=0,1,2,3分別求f3(s3)的值。

得第4階段初庫存為0，于是3，4階段費(fèi)用最小為12(千元),第3階段最優(yōu)產(chǎn)量為2個(gè)單位,根據(jù)這就可以類推可得：

當(dāng)k=2時(shí)，有f2(s2)=min[C(x2)+E(s2)+f3(s2+x2-d2)]

max(0,d2-s2)≤x2≤min(6,d2+3-s2,d2+d3+d4-s2)的整數(shù)。

上述經(jīng)過計(jì)算的結(jié)果如下：

從而可得，總體最小費(fèi)用為f1(0)=21(千元)，第1階段最符合要求的產(chǎn)能為2個(gè)單位。而需求量d1=2，因此第2階段一開始的儲存量為0，當(dāng)s2=0列可得第2階段最佳產(chǎn)量為5單位，同理，還可得出第3，4階段的最佳產(chǎn)能。

整體的最佳生產(chǎn)計(jì)劃為：第1階段產(chǎn)能為2個(gè)單位，第2階段產(chǎn)能為5個(gè)單位，第3階段不需要生產(chǎn)，第4階段產(chǎn)能為4單位。

四、總結(jié)

綜上所述，此類生產(chǎn)儲存問題的方程可以寫為：

式中opt可根據(jù)求為max或min，vk(sk,xk)為狀態(tài)變量sk、決策變量xk時(shí)所對應(yīng)的第k階段的指數(shù)函數(shù)。

本文系：河南師范大學(xué)2015年大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目，項(xiàng)目名稱：關(guān)于企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃最優(yōu)化模型的研究；項(xiàng)目編號：20150209

申培萍(1964-)，女，博士，河南師范大學(xué)教授；張夢想(1995-)，男，河南師范大學(xué)；張瑩(1996-)，女，河南師范大學(xué)。