高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中常用的化歸思想方法研究

◇ 江蘇 吉佩軍

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中常用的化歸思想方法研究

◇ 江蘇 吉佩軍

化歸思想是指在研究數(shù)學(xué)問題的過程中,將原問題通過變形使之轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的、具體的、簡(jiǎn)單的問題,從而使問題得以快速有效解決.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師要抓住問題本質(zhì),有效滲透化歸思想方法,從而幫助學(xué)生掌握解題技巧,提升學(xué)生遷移能力和解題能力.對(duì)此,筆者從自身教學(xué)實(shí)踐入手,分析高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中常用的化歸思想,以供參考借鑒.

1 巧借特殊化法,嘗試特例,出其不意

特殊化是數(shù)學(xué)解題中一種重要化歸思想方法,它是將亟待解決的問題化歸為一種特殊形式,然后從特殊形式中尋找原問題的結(jié)論及解決方法.許多數(shù)學(xué)問題存在著一定的特殊性,借助特殊化將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為可變?cè)氐奶厥庵?、特殊函?shù)、特殊位置等,往往可以使問題迎刃而解.

取a＝b＝c,則∠A＝∠B＝∠C＝60°,可得

2 利用構(gòu)造法,建立模型,化解難題

構(gòu)造法,即在解題過程中,根據(jù)題設(shè)已知條件和結(jié)論的特殊性,構(gòu)造出符合題意的數(shù)學(xué)模型,將未知化為已知,從而使問題得以快速有效解決.比如,在不等式證明問題中借助構(gòu)造法構(gòu)造輔助函數(shù),可將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,再利用函數(shù)性質(zhì)求解.

證明 設(shè)u＝x＋1/x,則f(u)＝u＋1/u.因?yàn)閤＋1/x≥2,則u≥2.設(shè)2≤α≤β,則

因?yàn)?≤α≤β,所以αβ＞1,α－β＜0.所以f(a)－ f(β)＜0,f(x)在[2,＋∞)上單調(diào)遞增,因此

又如,在解某些函數(shù)最值問題時(shí),我們可以根據(jù)題意中的幾何意義,借助構(gòu)造法構(gòu)造幾何圖形,引導(dǎo)學(xué)生充分利用幾何圖形的直觀性解題,往往可以達(dá)到事半功倍的效果.

圖1

fmin(x)故f(x)最小值為

3 妙用換元法,變形轉(zhuǎn)換,化難為易

換元法,即在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,通過設(shè)元、轉(zhuǎn)化、變形,將陌生問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的問題.換元法是數(shù)學(xué)解題中較為常見的思想方法,靈活巧妙地運(yùn)用換元法對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換,可以簡(jiǎn)化解題過程、提高學(xué)生解題效率.在平時(shí)解題教學(xué)中,教師要立足實(shí)際,巧借換元法,化繁為簡(jiǎn)、化難為易.

例4 已知a2＋b2＝4,x2＋y2＝9,求ax＋by的最大值.

一般地,若題目中存在a2＋b2＝r2(r≥0),可設(shè)a＝rcosα,b＝rsinα進(jìn)行三角換元,將原問題轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問題,然后再運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)對(duì)問題進(jìn)行求解.

由a2＋b2＝4,可設(shè)a＝2cosα,b＝2sinα;由x2＋y2＝9,可設(shè)x＝3cosβ,y＝3sinβ.

于是有ax＋by＝6cosacosβ＋6sinasinβ＝6cos(a－β)≤6,當(dāng)且僅當(dāng)a－β＝2kπ(k∈Z)時(shí),上式中等號(hào)成立.

故ax＋by的最大值為6.

化歸思想方法的巧妙運(yùn)用,對(duì)于發(fā)展學(xué)生思維潛能、提升學(xué)生遷移運(yùn)用、分析問題以及解決問題的能力發(fā)揮著積極的促進(jìn)作用.在平時(shí)解題教學(xué)中,教師要結(jié)合典型例題,有效滲透化歸思想方法,從而幫助學(xué)生掌握解題方法、提升學(xué)生解題能力.

江蘇省建湖縣第二中學(xué))