基于共軛理論的漸開線齒廓精確的設(shè)計(jì)方法

劉新宇

(上海汽車集團(tuán)股份有限公司技術(shù)中心捷能公司，上海201804)

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基于共軛理論的漸開線齒廓精確的設(shè)計(jì)方法

劉新宇

(上海汽車集團(tuán)股份有限公司技術(shù)中心捷能公司，上海201804)

漸開線齒廓設(shè)計(jì)，一直采用理論的幾何方法獲得，由于它忽略了實(shí)際載荷的影響，齒輪齒廓往往偏離實(shí)際的動(dòng)力學(xué)嚙合軌跡。因此，它很難獲得精確的傳動(dòng)和良好的噪音效果。根據(jù)齒輪傳動(dòng)的數(shù)學(xué)理論和齒輪動(dòng)力學(xué)物理模型，提出了一種基于共軛傳動(dòng)理論的精確齒形設(shè)計(jì)方法。此法完全模擬實(shí)際載荷下的力學(xué)邊界，通過計(jì)算齒輪副的共軛嚙合軌跡線，獲得最佳齒廓曲線，從而大大提高了嚙合傳動(dòng)的精確性和平穩(wěn)性，減少齒輪振動(dòng)能量、獲得良好的NVH性能。

齒廓嚙合振動(dòng)噪聲變換矩陣共軛傳遞誤差

0　引言

對(duì)于齒輪噪音，其產(chǎn)生的機(jī)理：由于齒輪制造誤差、熱處理不均勻變形、輪齒受力變形、殼體受力彈性位移以及軸系撓度變形等誤差，造成齒廓嚙合線偏離設(shè)計(jì)軌跡而產(chǎn)生動(dòng)態(tài)的周期性的嚙合干涉[1](圖1)。所以，齒輪振動(dòng)和噪音的表現(xiàn)形式在兩方面：1)輪齒頂部和根部齒廓偏移，產(chǎn)生典型的齒頂與齒根嚙入、嚙出振動(dòng)，噪音表現(xiàn)為聲音低沉、易辨識(shí)；2)齒廓偏移造成嚙合干涉出現(xiàn)中高頻次摩擦，聲音頻率高，通常稱之為齒輪嘯叫，即gear whine[2]。

消除齒輪的振動(dòng)和噪音，根本方法是減少齒面嚙合干涉，避免產(chǎn)生高能量、高頻率的摩擦噪音。正確無干涉的齒輪嚙合如圖2所示。在齒輪設(shè)計(jì)和制造領(lǐng)域里，為消除嚙合干涉采取齒形修形： K線修形法確定漸開線齒廓的形狀；或者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式：e=δi+xmax[3]確定。從解決方法來說，這種修形方法可以減少嚙合干涉。但從理論上分析，它在齒廓上存在曲率干涉界限點(diǎn)[4]，無法消除漸開線曲率突變產(chǎn)生的嚙合振動(dòng)，設(shè)計(jì)很難獲得精準(zhǔn)的齒廓線，從而減小振動(dòng)及噪音。而且需要經(jīng)過多次修正，周期較長，對(duì)刀具損耗較高，增加成本。

圖1　干涉嚙合　　　　　圖2　非干涉嚙合

針對(duì)上述方法存在曲率干涉的局限性，根據(jù)漸開線的展成特性和齒輪副的嚙合原理，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，結(jié)合齒輪系力學(xué)物理模型，提出了一種精確齒廓設(shè)計(jì)，即齒廓共軛法。此法包含齒輪共軛嚙合方程和力學(xué)物理模型兩方面內(nèi)容。

1　齒輪的數(shù)學(xué)模型：共軛齒廓嚙合方程

針對(duì)傳統(tǒng)修形方法的缺點(diǎn)，導(dǎo)入共軛漸開線的齒輪數(shù)學(xué)模型，引入嚙合方程。圖3有三個(gè)坐標(biāo)系σ、σ(1)、σ(2)，其中σ為固定坐標(biāo)系，σ(1)、σ(2)分別為齒輪1、2以各自旋轉(zhuǎn)中心的轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系。其中，齒廓Γ(1)在σ(1)的方程式[5]為：

r(1)=x1(u)i1+y1(u)r(1)j1

式中：u—參數(shù)變量。

圖3　齒輪空間運(yùn)動(dòng)

r(2)=M21r(1)

(1)

φ(u，t)=nv(12)=0

(2)

式中：M21—由σ(1)到σ(2)的變換矩陣；n—嚙合接觸點(diǎn)漸開線曲線法矢；v(12)—嚙合點(diǎn)處齒廓1與齒廓2的相對(duì)(切向)速度。

(3)

(4)

2　齒輪嚙合的物理模型

齒面嚙合過程中包含滾動(dòng)和滑動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)[6]，滾動(dòng)是齒輪傳遞扭矩的圓周運(yùn)動(dòng)；而滑動(dòng)則是齒面間的附加阻力，它轉(zhuǎn)變?yōu)闊崃?、磨損、效率損失等。嚙合方程(2)矢量積為零，其物理意義是嚙合滑動(dòng)摩擦功積分為零，即：

圖4　平面漸開線嚙合

根據(jù)物理學(xué)功能原理：如圖4，當(dāng)齒輪嚙合過程中，齒廓接觸法向應(yīng)力與齒廓切向滑移保持正交，法向力在齒廓嚙合軌跡方向做功為零(作用力與位移方向垂直)，這時(shí)振動(dòng)最小，齒輪傳動(dòng)精確、平穩(wěn)，噪音最小。但實(shí)際的齒輪制造，由于齒輪機(jī)床運(yùn)動(dòng)矢量誤差、夾具工裝定位誤差、刀具輪廓誤差、齒輪熱處理變形誤差、產(chǎn)品裝配誤差、以及承載條件下的系統(tǒng)變形等因素，造成了實(shí)際齒形與理論齒廓偏移，嚙合干涉，出現(xiàn)振動(dòng)和嚙合噪音。

顧客互動(dòng)指顧客和員工的交流在多大程度上是雙向的、參與式的以及共同解決問題的。本研究采用Bonner[22]對(duì)顧客互動(dòng)的測量量表，根據(jù)調(diào)研情境進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，包括雙向性、參與和共同解決問題3方面的內(nèi)容，共10個(gè)題項(xiàng)。如“我會(huì)向顧客提供很多反饋信息”(雙向性)，“顧客和員工之間有著很多面對(duì)面的互動(dòng)”(參與)，“解決方案是由顧客和員工共同開發(fā)制定的”(共同解決問題)。

3　平行軸齒輪副共軛齒廓的計(jì)算

圖5

我們以平面齒輪副為例，在不同的嚙合條件下，研究嚙合方程結(jié)果的敏感因素。如圖5所示的一對(duì)齒輪，嚙合節(jié)點(diǎn)為固定坐標(biāo)系σ原點(diǎn)，回轉(zhuǎn)中心O1、O2分別為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系σ1、σ2的原點(diǎn)。根據(jù)傳動(dòng)理論，確定：

ω(1)=ω1k1

ω(2)=-ω2k2=-ω2k1

ω(12)=(ω1+ω2)k1

ξ=O1O2=aj=常量

v(12)=[ω2(acosφ1-y1)-ω1y1]i1+[ω1x1+ω2(x1-asinφ1)]j1

(5)

(6)

假設(shè)漸開線齒廓Γ(1)在坐標(biāo)系σ(1)的方程為r(1)=x1(u)i1+y1(u)j1，兩坐標(biāo)系中心距a=r1+r2，根據(jù)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系平移轉(zhuǎn)換，從σ(1)到σ(2)的變換矩陣為：

(7)

通過方程式Γ(1)代入(5)，可以求出：

x2=x1cos(φ1+φ2)-y1sin(φ1+φ2)+asinφ2

y2=x1sin(φ1+φ2)+y1cos(φ1+φ2)-acosφ2

所以，共軛齒廓Γ(2)的方程為：

r(2)=[x1cos(φ1+φ2)-y1sin(φ1+φ2)+→←asinφ2]i1+[xsin(φ1+φ2)+y1cos(φ1+φ2)-→

(8)

從式(8)知道，中心距對(duì)共軛齒廓Γ(2)的影響較為敏感。當(dāng)然，還可以考慮齒形剛度變形、熱處理、制造誤差等[7]，將這些實(shí)際過程中的因素考慮進(jìn)來，先確定齒輪副其中一個(gè)齒廓的形狀，然后利用共軛齒輪的嚙合方程求解出另外一個(gè)的齒輪的精確齒廓線。

4　案例分析與方法驗(yàn)證

解決案例：某車型搭載6速手動(dòng)變速箱，2檔加速齒輪嘯叫，其在不同轉(zhuǎn)速下，其噪音值結(jié)果如圖6曲線。

圖6

通過對(duì)原始齒輪參數(shù)的研究，發(fā)現(xiàn)齒輪的輪廓形狀參數(shù)只是根據(jù)理想嚙合狀態(tài)設(shè)計(jì)的，它沒有考慮承載條件下的中心距位移偏差，齒形線不是共軛齒廓(此案例輪齒剛度、熱處理誤差參數(shù)非敏感因素)，所以在傳遞扭矩時(shí)出現(xiàn)嘯叫。為此，通過CAE分析各載荷下的中心距a的位移變化如表1所示。最后，選取嘯叫最明顯的70%～80%Tmax工況的位移代入式(8)，求解共軛齒廓，具體形狀如圖7。

表1

LoadCasesCAE系統(tǒng)變形/μm100%Tmax23.790%Tmax21.380%Tmax18.970%Tmax16.560%Tmax14.050%Tmax11.640%Tmax9.2

圖7　主動(dòng)齒廓形狀

由圖6可以看出，原始齒廓在發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速①1 300 rpm、②2 000 rpm、③2 600 rpm噪音峰值非常大。而共軛齒廓與之原始齒形對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)：通過共軛法，可以改善AB、BC、CD段的齒形，使?jié)u開線更平順、光滑，曲率變化減小，壓力角變小。這樣齒輪嚙合干涉減小，傳動(dòng)更精確、平穩(wěn)，齒面接觸應(yīng)力下降，振動(dòng)能量變小。

我們進(jìn)一步將共軛精確齒廓導(dǎo)入齒輪動(dòng)力學(xué)模型用MASTA軟件求解二檔的傳遞誤差TE[8]，接觸應(yīng)力和殼體(軸承座處)振動(dòng)進(jìn)行CAE分析，優(yōu)化效果明顯，與之前的分析趨勢一致，詳見圖8。實(shí)車噪音評(píng)估，主觀感受二檔噪音明顯降低,嚙合聲音柔和、平順，駕乘人員無抱怨；客觀測試數(shù)據(jù)聲壓值降低8～12 dB，見圖6。

圖8

5　分析結(jié)論

從上面的計(jì)算結(jié)果來看，對(duì)于齒輪設(shè)計(jì)，中心距對(duì)齒廓輪廓的影響顯而易見，它決定了齒輪齒廓線的實(shí)際有效嚙合區(qū)域和齒輪副的嚙合接觸線。由此，得出如下結(jié)論：

1)齒廓設(shè)計(jì)是影響和決定齒輪噪音、振動(dòng)的主要因素，是改善變速箱振動(dòng)的主要方向，也是采取TPA分析法降低汽車車內(nèi)噪音的重要、關(guān)鍵路徑[9-10]。

2)齒輪嚙合模型是共軛齒廓設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)理論，利用共軛方程可以求解出更精確齒廓形狀，獲得動(dòng)態(tài)嚙合低振動(dòng)、低噪音NVH性能。

3)共軛齒廓設(shè)計(jì)，必須建立齒輪動(dòng)力學(xué)模型，通過CAE計(jì)算齒輪剛度、軸系及殼體的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)變形以及制造誤差，作為齒輪嚙合輸入的基本變量，才能獲得精確的齒輪副齒廓形狀。

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[10]龐劍.汽車噪音與振動(dòng)-理論與實(shí)踐[M].北京理工大學(xué)出版社，2008.

The accurate design of involute gear profile based on conjugation theory

LIU Xinyu

Traditionally, the design of involute gear profile was done by theoretical geometry method. Such method ignores the influence of actual load, and results in the gear profile deflecting from the actual dynamic meshing path. Therefore, this kind of design can hardly achieve accurate transmission and is noisy. In this study, on the basis of mathematical theories and dynamic models, we put forward a method to accurately design the gear profile based on conjugation theory. By simulating the load boundary and calculating the conjugate meshing path of the gear pair, we obtained the optimum gear profile. This method greatly improved the accuracy and stability of gear drive, reduced vibration energy of the gear, and achieved excellent NVH. This method has been validated in production, and is widely applied in the design of gears.

gear profile，mesh，vibration noise，transformation matrix，conjugate，transmission error

TH132.41

A

1002-6886(2016)04-0070-04

劉新宇(1976-)，男，湖南大學(xué)本科畢業(yè)，工程師，研究方向?yàn)槠囎兯傧涞难邪l(fā)設(shè)計(jì)。

2016-03-09