隨機(jī)-認(rèn)知不確定性的相關(guān)性分析模型及可靠性計(jì)算方法

鄭　靜　姜　潮　倪冰雨　范　松

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙,410082

?

隨機(jī)-認(rèn)知不確定性的相關(guān)性分析模型及可靠性計(jì)算方法

鄭靜姜潮倪冰雨范松

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙,410082

針對(duì)工程中同時(shí)存在隨機(jī)和認(rèn)知不確定性的問(wèn)題，提出了一種考慮相關(guān)性的概率-證據(jù)混合不確定性模型及相應(yīng)的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法。首先引入樣本相關(guān)系數(shù)來(lái)描述概率變量之間、證據(jù)變量之間以及概率和證據(jù)變量之間的相關(guān)性，通過(guò)一個(gè)轉(zhuǎn)換矩陣將原問(wèn)題中相關(guān)的變量轉(zhuǎn)換為相互獨(dú)立的變量，并構(gòu)建了一個(gè)等效的概率-證據(jù)混合可靠性模型。然后將其轉(zhuǎn)化為一系列概率-區(qū)間混合可靠性分析模型，并總結(jié)了嵌套優(yōu)化分析迭代格式來(lái)求解失效概率區(qū)間。最后提供了三個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證該方法的有效性。

混合可靠性；隨機(jī)不確定；認(rèn)知不確定；樣本相關(guān)系數(shù)

0　引言

工程實(shí)際中經(jīng)常存在著與材料特性、邊界條件和載荷等有關(guān)的各種不確定性[1]，隨著對(duì)產(chǎn)品可靠性、安全性、穩(wěn)定性要求的提高，基于不確定性的設(shè)計(jì)與分析方法得到了廣泛的研究與應(yīng)用。不確定性通?？煞譃殡S機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性[2-3]。隨機(jī)不確定性(又稱統(tǒng)計(jì)不確定性或客觀不確定性)主要描述系統(tǒng)內(nèi)在的變化，通常用概率模型進(jìn)行描述，目前已發(fā)展出一些成熟的可靠性分析方法，如一次二階矩(FORM)[4-5]、二次二階矩(SORM)[6]、蒙特卡羅仿真[7]、基于可靠性的優(yōu)化設(shè)計(jì)(RBDO)[8-9]等。認(rèn)知不確定性(又稱主觀不確定性)主要源于信息不完備、認(rèn)識(shí)水平局限和知識(shí)缺乏，可用非概率模型來(lái)進(jìn)行描述。目前用于解決認(rèn)知不確定性的常用方法有證據(jù)理論(或Dempster-Shafer理論)[10-11]、可能性理論[12]、模糊理論[13]和凸模型理論[14-15]等。

證據(jù)理論是一種較為一般的不確定性理論，能靈活處理各類認(rèn)知不確定性，在某些特殊情況下可等效于概率理論、可能性理論、模糊理論和凸模型理論等。近年來(lái)證據(jù)理論在結(jié)構(gòu)可靠性分析方面得到了越來(lái)越多的關(guān)注，也取得了一系列的研究成果。Helton等[16]通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)函數(shù)研究了證據(jù)理論在工程可靠性中的應(yīng)用，并探討了其優(yōu)缺點(diǎn)。Tonon[17]通過(guò)分析不同參數(shù)類型，應(yīng)用證據(jù)理論討論了在認(rèn)知不確定的情況下機(jī)械系統(tǒng)對(duì)于不確定參數(shù)的響應(yīng)。Guo等[18]提出了一種考慮權(quán)重平衡的證據(jù)理論，用于識(shí)別結(jié)構(gòu)多損傷位置。Mourelatos等[19]提出了一種基于證據(jù)理論的高效可靠性優(yōu)化方法(EBDO)。Simon等[20]介紹了貝葉斯網(wǎng)絡(luò)在可靠性分析中的應(yīng)用，并利用證據(jù)理論來(lái)處理可靠性問(wèn)題中的認(rèn)知不確定性。Jiang等[21]采用證據(jù)變量均勻化的方法，提出了一種高效的可靠性分析方法。Bai等[22]比較了三種代理模型在證據(jù)理論可靠性分析中的準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性。

在實(shí)際工程問(wèn)題的結(jié)構(gòu)中可能同時(shí)存在著隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性，此時(shí)用單一的概率模型或者證據(jù)模型來(lái)描述所有變量，都會(huì)影響結(jié)構(gòu)可靠性分析的精確度，因此建立概率-證據(jù)混合不確定性分析模型十分必要。目前，已有少量概率-證據(jù)混合可靠性分析的研究成果出現(xiàn)。Du等[23-24]建立了一個(gè)統(tǒng)一分析框架來(lái)解決隨機(jī)不確定和認(rèn)知不確定同時(shí)存在的問(wèn)題，并在此基礎(chǔ)上提出了一種靈敏度分析方法。Tao等[25]針對(duì)同時(shí)包含隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性的多目標(biāo)系統(tǒng)提出了一種新型可靠性分析方法。Li等[26]基于概率模型和證據(jù)模型，通過(guò)構(gòu)建二級(jí)極限狀態(tài)方程及相應(yīng)的可靠性分析方法求解了同時(shí)包含隨機(jī)不確定性及認(rèn)知不確定性結(jié)構(gòu)的失效概率。但是，目前的隨機(jī)-認(rèn)知不確定混合可靠性分析模型主要是針對(duì)獨(dú)立變量，而在實(shí)際工程問(wèn)題中，變量之間可能是相關(guān)的，且相關(guān)性經(jīng)常對(duì)結(jié)構(gòu)的可靠性具有重要影響。直接假設(shè)變量之間相互獨(dú)立則可能會(huì)導(dǎo)致較大的計(jì)算誤差，使得結(jié)果不符合結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)的高精度要求。因此，本文提出了一種考慮相關(guān)變量的混合不確定模型，以求解該類可靠性分析問(wèn)題。

1　證據(jù)理論基本原理

D-S證據(jù)理論(Dempster-Shafer theory of evidence/evidential theory)是在Dempster提出的“上下概率”及其合成規(guī)則的基礎(chǔ)之上，由Shafer進(jìn)一步發(fā)展起來(lái)的。建立證據(jù)理論的數(shù)學(xué)模型首先應(yīng)確立識(shí)別框架Θ，將命題的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)集合的研究。識(shí)別框架指人們能認(rèn)識(shí)到的所有可能結(jié)果的集合，類似于概率模型中的采樣空間，由有限的元素組成。令2Θ表示識(shí)別框架Θ的冪集，由Θ包含的所有可能的不同命題組成。證據(jù)理論利用基本可信度分配BPA(basic probability assignment)來(lái)表示對(duì)某一命題A的信任程度。BPA為一個(gè)滿足如下三條性質(zhì)的映射M:

M(A)≥0,?A∈2X

(1)

(2)

M(φ)=0

(3)

其中，M(A)>0的集合A叫作M的焦元。M(A)反映了對(duì)命題A本身信度的大小，類似于隨機(jī)模型中的概率密度函數(shù)[19]。當(dāng)同一識(shí)別框架上具有多個(gè)不同來(lái)源的證據(jù)時(shí)，需根據(jù)Dempster-Shafer合成法則[10](簡(jiǎn)稱D-S合成法則)對(duì)證據(jù)進(jìn)行合成以形成對(duì)命題的總支持度。

由于信息的缺乏，證據(jù)理論無(wú)法獲得命題A的精確概率，因此使用區(qū)間測(cè)度來(lái)描述命題的真實(shí)程度。區(qū)間測(cè)度下界Pbel(A)和上界Ppl(A)分別稱為可信度和似真度，其定義如下：

(4)

(5)

可見(jiàn)，Pbel(A)是完全支持命題A的基本可信度之和，Ppl(A)則是完全或者部分支持命題A的基本可信度之和。這兩個(gè)測(cè)度構(gòu)成的區(qū)間[Pbel(A)，Ppl(A)]稱為命題A的信任區(qū)間。

2　概率-證據(jù)相關(guān)性分析模型

在統(tǒng)計(jì)理論中，線性相關(guān)系數(shù)是描述兩個(gè)隨機(jī)變量之間相關(guān)程度最簡(jiǎn)單且常用的度量方法[27]。對(duì)于隨機(jī)變量X1和X2，其相關(guān)系數(shù)ρX1X2定義如下:

(6)

式中，Var(X1)和Var(X2)分別表示變量X1與X2的方差；Cov(X1,X2)表示變量X1和X2的協(xié)方差。

相關(guān)系數(shù)ρX1X2反映了兩個(gè)變量X1和X2的線性相關(guān)程度，對(duì)于特定的總體來(lái)說(shuō)，相關(guān)系數(shù)是客觀存在的特定數(shù)值。但是，一般很難觀測(cè)到總體的所有樣本，因此人們通常通過(guò)已有的樣本觀測(cè)值來(lái)估計(jì)變量之間的樣本相關(guān)系數(shù)。rX1X2=rX2X1表示X1和X2之間的樣本相關(guān)系數(shù):

(7)

k=1,2,…,w

(8)

可見(jiàn)，樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算并不依賴于變量的分布形式，因此對(duì)于不同的不確定性變量，只要已知樣本的信息，就可以得到變量之間的樣本相關(guān)系數(shù)。故隨機(jī)變量之間、證據(jù)變量之間以及隨機(jī)變量與證據(jù)變量之間的相關(guān)性都可以用統(tǒng)一的形式來(lái)描述。將樣本相關(guān)系數(shù)的概念拓寬到概率-證據(jù)混合不確定性問(wèn)題中，能有效處理多種不確定變量之間的相關(guān)性。如果有m維隨機(jī)向量X=(X1,X2,…,Xm)和n維證據(jù)向量Y=(Y1,Y2,…,Yn)，則任意兩個(gè)變量之間的樣本相關(guān)系數(shù)可由式(7)獲得，最終可建立(X,Y)的樣本相關(guān)系數(shù)矩陣如下：

rXY=

(9)

3　結(jié)構(gòu)可靠性分析

假設(shè)一結(jié)構(gòu)中含m維隨機(jī)向量X=(X1,X2,…,Xm)和n維證據(jù)向量Y=(Y1,Y2,…,Yn)，考慮如下的極限狀態(tài)方程:

g=g(X,Y)

(10)

3.1仿射坐標(biāo)變換

樣本相關(guān)系數(shù)矩陣rXY可進(jìn)行如下分解

rXY=ATA

(11)

根據(jù)Cholesky分解[29]可知，有且僅有唯一的上三角矩陣滿足上述分解：

(12)

通過(guò)矩陣A將原變量轉(zhuǎn)化為V=(V1,V2,…,Vm+n)，即

V=A(X,Y)

(13)

故

(X,Y)TrXY(X,Y)=(A-1V)TrXY(A-1V)=

VT[(A-1)TrXYA-1]V

(14)

(A-1)TrXYA-1=(A-1)TATAA-1=I

(15)

可見(jiàn)，轉(zhuǎn)換后V=(V1,V2,…,Vm+n)為相互獨(dú)立的變量，且轉(zhuǎn)換后的變量可由原變量線性表示出:

(16)

(17)

(18)

(19)

3.2失效概率求解

(20)

由全概率公式，結(jié)構(gòu)失效概率可按下式計(jì)算[23-24]：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

3.3嵌套優(yōu)化分析

根據(jù)3.2節(jié)所述，首先將概率-證據(jù)混合可靠性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列概率-區(qū)間混合可靠性問(wèn)題，對(duì)于每一個(gè)概率-區(qū)間混合問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造一高效的序列迭代格式[30]進(jìn)行求解，每次迭代依次進(jìn)行概率分析和區(qū)間分析，最終使內(nèi)外層同時(shí)達(dá)到穩(wěn)定解。

U(k+1)=U(k)+αd(k)

(31)

其中，α為迭代步長(zhǎng)，由最小化價(jià)值函數(shù)v確定；d(k)為搜索方向：

(32)

(33)

(34)

其中，h為常數(shù)。

(35)

4　算例分析與應(yīng)用

4.1數(shù)學(xué)算例

考慮如下的極限狀態(tài)方程:

(36)

其中，X1、X2為概率變量；Y1為證據(jù)變量。變量的分布類型和分布參數(shù)如表1所示。

表1　變量的分布類型和分布參數(shù)(數(shù)學(xué)算例)

注:在正態(tài)分布中，參數(shù)1為均值，參數(shù)2為標(biāo)準(zhǔn)差，在證據(jù)變量中，參數(shù)1為證據(jù)變量子區(qū)間，參數(shù)2為相應(yīng)的BPA值。

假設(shè)通過(guò)樣本求得的樣本相關(guān)系數(shù)矩陣為

(37)

通過(guò)求解不同閾值c下的結(jié)果，可以得到對(duì)應(yīng)的Pbel和Ppl，可靠性分析結(jié)果如圖1與表2所示。從圖表中可見(jiàn)，隨著閾值的升高，Pbel和Ppl的值從0增加到1.0，且Pbel和Ppl函數(shù)曲線均為連續(xù)的曲線，而不是僅存在證據(jù)變量時(shí)所呈現(xiàn)的階梯曲線，表明由于輸入變量中概率變量的存在，可靠性不再發(fā)生階躍突變，而是隨c值連續(xù)變化。

圖1　可靠性分析結(jié)果曲線(數(shù)學(xué)算例)

閾值c436439442445448451可信度0.00000.00000.00000.00010.00140.0095似真度0.00000.00000.00030.00290.01690.0643閾值c454457460463466469可信度0.04160.12630.28280.49660.71600.8800似真度0.17260.35050.57090.77680.91520.9780閾值c472475478481484可信度0.96460.99310.99910.99991.0000似真度0.99630.99961.00001.00001.0000

本算例中分析了三種情況，每種情況中僅有其中一組變量之間存在相關(guān)性，而其他變量之間均相互獨(dú)立。假設(shè)樣本相關(guān)系數(shù)在[-1,1]之間變化，得出三組在不同樣本相關(guān)系數(shù)情況下結(jié)構(gòu)失效概率的變化曲線，如圖2所示。整體而言，Pbel和Ppl的值隨相關(guān)系數(shù)變化而有明顯的變化，可見(jiàn)該數(shù)學(xué)算例中變量之間的相關(guān)性對(duì)可靠性分析結(jié)果有著較明顯的影響。在圖2a中，rX1X2從-0.9變化到0.9，Ppl值從0.4306降至0.4153，Pbel值從0.0572降至0.0335，失效概率上下界均沒(méi)有明顯變化。在圖2b和圖2c中，隨著樣本相關(guān)系數(shù)的變化，失效概率有較明顯的變化。由圖2b可見(jiàn)，隨著rX1Y1由-0.9變化到0，Ppl從0.6184降至0.4213，減小了31.9%；隨著rX1Y1由0變化到0.9，Ppl從0.4213緩慢至到0.4427，增大了5.1%；Pbel值在不同rX1Y1的情況下有微小的波動(dòng)。圖2c中Ppl值的變化呈U字形；Pbel值在不同rX2Y1的情況下變化較小，基本維持在一個(gè)穩(wěn)定值。從這三個(gè)圖中可以看到，該算例中不同的變量之間的相關(guān)性對(duì)可靠性分析結(jié)果有不同幅度的影響，且變量X2和Y1之間的相關(guān)性對(duì)可靠性的結(jié)果影響最為顯著。

(a)樣本相關(guān)系數(shù)rX1X2與失效概率Pf的關(guān)系

(b)樣本相關(guān)系數(shù)rX1Y1與失效概率Pf的關(guān)系

(c)樣本相關(guān)系數(shù)rX2Y1與失效概率Pf的關(guān)系圖2　失效概率與變量之間相關(guān)性的關(guān)系(數(shù)學(xué)算例)

4.2懸臂梁

圖3　懸臂梁

如圖3所示，懸臂梁長(zhǎng)度為L(zhǎng)，橫截面寬度為b，高度為h，懸臂梁的頂端承受作用力Fx和Fy。懸臂梁的幾何尺寸L、b、h為概率變量，外力Fx、Fy為證據(jù)變量，其分布類型及取值如表3所示。當(dāng)材料的許用應(yīng)力σ與懸臂梁固定端處最大應(yīng)力的差值小于閾值c時(shí)結(jié)構(gòu)失效，即

(38)

注:在正態(tài)分布中，參數(shù)1為均值，參數(shù)2為標(biāo)準(zhǔn)差;在證據(jù)變量中參數(shù)1為證據(jù)變量子區(qū)間，參數(shù)2為相應(yīng)的BPA值。

在該懸臂梁結(jié)構(gòu)中，假設(shè)各個(gè)相關(guān)變量之間的樣本相關(guān)系數(shù)rbh=0.3,rbL=0.1,rhL=rFxFy=0.2，改變閾值c，得到對(duì)應(yīng)的Pbel和Ppl如圖4所示。與圖1相比，Pbel函數(shù)和Ppl函數(shù)曲線之間的間距較小，可見(jiàn)與上一數(shù)學(xué)算例相比，本算例中認(rèn)知不確定性對(duì)可靠性分析結(jié)果的影響較小。

圖4　可靠性分析結(jié)果曲線(懸臂梁)

另外，為分析變量之間的相關(guān)性對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的影響，分別考慮了僅有橫截面寬度b與高度h之間以及外力Fx與Fy之間存在相關(guān)性的兩種情況，如圖5所示。從圖5中的變化曲線可看出，變量之間的相關(guān)性對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性有著一定的影響。圖5a中，隨著樣本相關(guān)系數(shù)rbh的變化，失效概率Pf的變化趨勢(shì)呈拋物線狀：即Ppl值先減后增，先從0.3403降至0.1574，下降幅度為53.7%，而后又增至0.3181，上升幅度為102.1%；Pbel值亦先增后減，先從0.3142降至0.1182，減小了62.4%，而后又增至0.2901，增大了145.4%。圖5b中，Ppl及Pbel的變化趨勢(shì)呈X形，失效概率的變化微小，其波動(dòng)值最大分別為0.0207與0.0158。在該算例中，結(jié)構(gòu)的失效概率隨變量之間相關(guān)性的不同而有所不同，且寬度b與高度h之間的相關(guān)性對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的影響較大。

(a)樣本相關(guān)系數(shù)rbh與失效概率Pf的關(guān)系

(b)樣本相關(guān)系數(shù)rFxFy與失效概率Pf的關(guān)系圖5　失效概率與變量之間相關(guān)性的關(guān)系(懸臂梁)

4.3轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)

如圖6所示的轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)常常用于結(jié)構(gòu)機(jī)構(gòu)中，在高速單張紙印刷機(jī)的輸紙系統(tǒng)、回轉(zhuǎn)柱塞泵、葉片泵和旋轉(zhuǎn)式發(fā)動(dòng)機(jī)等機(jī)器上都有應(yīng)用，在實(shí)際工況中，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行可靠性分析有重要的工程意義。在轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)中，構(gòu)成移動(dòng)副的構(gòu)件1和2的長(zhǎng)度是不定的，曲柄3和機(jī)架4的長(zhǎng)度可以測(cè)量。轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)變速功能的機(jī)構(gòu)是主動(dòng)件做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，從動(dòng)件做變速轉(zhuǎn)動(dòng)，從而滿足特定的工藝動(dòng)作要求。主動(dòng)件曲柄3繞軸A的整周勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿1和連桿5驅(qū)動(dòng)切削頭6上固定的插刀，完成往復(fù)切削運(yùn)動(dòng)(切削行程較慢，回程較快)。轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿1的BE段長(zhǎng)度為l1，曲柄3的長(zhǎng)度為l3，機(jī)架4的長(zhǎng)度為l4，連桿5為空心圓管，其長(zhǎng)度為l5，偏心距的長(zhǎng)度為e，桿件材料的彈性模量為E，屈服強(qiáng)度σ=350 MPa，在做變速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滑塊6受到外部集中力F=250 kN作用，具體輸入?yún)?shù)如表4所示?；瑝K與地面之間的摩擦因數(shù)μ=0.018。

圖6　轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)

不確定變量參數(shù)1參數(shù)2分布類型l1(mm)1001正態(tài)l5(mm)3001正態(tài)d1(mm)300.5正態(tài)d2(mm)500.5正態(tài)e(mm)[100,120][120,140][140,150]0.20.50.3證據(jù)

注:在正態(tài)分布中，參數(shù)1為均值，參數(shù)2為標(biāo)準(zhǔn)差;在證據(jù)變量中參數(shù)1為證據(jù)變量子區(qū)間，參數(shù)2為相應(yīng)的BPA值。

主動(dòng)件曲柄3繞軸A的整周勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿1和連桿5重合時(shí)，連桿5所受力最大，此時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力為最大值：

(39)

考慮空心連桿5的強(qiáng)度失效，其極限狀態(tài)方程可以表示為

G=σ-σmax

(40)

圖7　可靠性分析結(jié)果曲線(轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿機(jī)構(gòu))

在該轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿算例中，假設(shè)變量l1與l5以及d1與d2的樣本相關(guān)系數(shù)rl1l5= 0.1,rd1d2= 0.2，而其他變量之間均相互獨(dú)立，求得不同閾值c對(duì)應(yīng)的Pbel和Ppl，如圖7所示。圖中Pbel和Ppl函數(shù)曲線之間存有較大的間距，說(shuō)明該算例中認(rèn)知不確定對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性影響較大。

為分析變量之間相關(guān)性對(duì)該轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿結(jié)構(gòu)的影響，現(xiàn)分別考慮轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿l1與連桿l5以及連桿l5與偏心距e之間具有相關(guān)性的兩種情況，失效概率隨樣本相關(guān)系數(shù)的變化趨勢(shì)如圖8所示。圖8a中失效概率Pf值在rl1l5變化過(guò)程中基本保持不變，波動(dòng)值不大于0.0003。圖8b中失效概率Pf值的變化相對(duì)較明顯：隨著rl5e從-0.9變化到0.9，Ppl值總體呈增長(zhǎng)趨勢(shì)，且增長(zhǎng)的速率由慢變快；Pbel值也緩慢從0.0066增至0.0233。

(a)樣本相關(guān)系數(shù)rl1l5與失效概率Pf的關(guān)系

(b)樣本相關(guān)系數(shù)rl5e與失效概率Pf的關(guān)系圖8　失效概率與變量之間相關(guān)性的關(guān)系(轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿機(jī)構(gòu))

5　結(jié)論

本文針對(duì)同時(shí)存在隨機(jī)和認(rèn)知不確定性的問(wèn)題，提出了一種考慮相關(guān)性的概率-證據(jù)混合不確定性模型及相應(yīng)的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法。該方法通過(guò)引進(jìn)樣本相關(guān)系數(shù)定義變量之間的相關(guān)性，并進(jìn)行仿射變換，將原問(wèn)題等效轉(zhuǎn)換為獨(dú)立變量的可靠性問(wèn)題進(jìn)行求解。三個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了本文提出的可靠性分析方法能有效處理同時(shí)存在隨機(jī)和認(rèn)知不確定性的問(wèn)題。算例的結(jié)果分析表明，在很多情況下，變量之間的相關(guān)性對(duì)可靠性有較明顯的影響，且不同變量之間的相關(guān)性對(duì)可靠性結(jié)果的影響不同。因此，為了提高隨機(jī)-認(rèn)知混合可靠性分析的精度，考慮變量之間的相關(guān)性非常重要。

[1]Guo J, Du X P.Sensitivity Analysis with Mixture of Epistemic and Aleatory Uncertainties[J]. AIAA Journal,2007, 45(9): 2337-2349.

[2]Rowe W D.Understanding Uncertainty[J]. Risk Analysis, 1994,14(5):743-750.

[3]Helton J C. Uncertainty and Sensitivity Analysis in the Presence of Stochastic and Subjective Uncertainty[J]. Journal of Statistical Computation and Simulation，1997,57(1/4):3-76.

[4]Hasofer A M, Lind N C. Exact and Invariant Second-moment Code Format[J]. Journal of the Engineering Mechanics Division, 1974, 100(1): 111-121.

[5]Rackwitz R, Fiessler B. Structural Reliability under Combined Random Load Sequences[J]. Computers & Structures, 1978, 9(5): 489-494.

[6]Breitung K W. Asymptotic Approximation for Multinormalintegrals[J]. Journal of Engineering Mechanics, 1984, 110(3): 357-366.

[7]Rubinstein R Y, Kroese D P. Simulation and the Monte-Carlo Method[M]. 2nd ed. New York: Wiley,2007.

[8]Du X P, Chen W. Sequential Optimization and Reliability Assessment Method for Efficient Probabilistic Design[J]. Journal of Mechanical Design, 2004, 126(2):225-233.

[9]Liang J H, Mourelatos Z P, Nikolaidis E. A Single-Loop Approach for System Reliability-based Design Optimization[J]. Journal of Mechanical Design, 2007, 129(12):1215-1224.

[10]Shafer G. A Mathematical Theory of Evidence[M]. Princeton, NJ:Princeton University Press,1976.

[11]Dempster A P.Upper and Lower Probabilities Induced by a Multivalued Mapping[J].The Annals of Mathematical Statistics, 1967,38(2): 325-339.

[12]Klir G J. Generalized Information Theory: Aims, Results, and Open Problems[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2004, 85(1): 21-38.

[13]Zadeh L A. Fuzzy Sets[J]. Information and Control, 1965, 8(3): 338-353.

[14]Ben-haim Y, Elishakoff I. Convex Models of Uncertainty in Applied Mechanics[M]. Amsterdam: Elsevier, 1990.

[15]Qiu Z P, Yang D, Elishakoff I. Probabilistic Interval Reliability of Structural Systems[J]. International Journal of Solids and Structures, 2008, 45(10):2850-2860.

[16]Helton J C,Oberkampf W L.Alternative Representations of Epistemic Uncertainty[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2004,85(1/3):1-10.

[17]Tonon F.Using Random Set Theory to Propagate Epistemic Uncertainty through a Mechanical System[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2004,85(1/3):169-181.

[18]Guo H Y, Zhang L. A Weighted Balance Evidence Theory for Structural Multiple Damage Localization[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2006, 195(44): 6225-6238.

[19]Mourelatos Z P, Zhou J. A Design Optimization Method Using Evidence Theory[J]. Journal of Mechanical Design, 2006,128(4): 901-908.

[20]Simon C, Weber P, Evsukoff A. Bayesian Networks Inference Algorithm to Implement Dempster Shafer Theory in Reliability Analysis[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2008, 93(7): 950-963.

[21]Jiang C, Zhang Z, Han X.A Novel Evidence-theory-based Reliability Analysis Method for Structures with Epistemic Uncertainty[J]. Computers & Structures, 2013, 129:1-12.

[22]Bai Y C, Han X, Jiang C, Liu J.Comparative Study of Metamodeling Techniques for Reliability Analysis Using Evidence Theory[J]. Advances in Engineering Software,2012, 53:61-71.

[23]Du X P. Uncertainty Analysis with Probability and Evidence Theories[C]//ASME 2006 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference. Philadelphia,2006: 1025-1038.

[24]Du X P. Unified Uncertainty Analysis by the First Order Reliability Method[J]. Journal of Mechanical Design, 2008, 130(9): 091401.

[25]Tao Y R, Han X, Duan S Y, et al.Reliability Analysis for Multidisciplinary Systems with the Mixture of Epistemic and Aleatory Uncertainties[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering,2014,97(1):68-78.

[26]Li G J, Lu Z Z, Lu Z Y, et al.Regional Sensitivity Analysis of Aleatory and Epistemic Uncertainties on Failure Probability[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2014, 46(2): 209-226.

[27]Barlow R E, Proschan F.Statistical Theory of Reliability and Life Testing: Probability Models[R]. New York: Holt, Rinehart, and Winston,1975.

[28]Iversen G R, Gergen M,Gergen M M.Statistics: the Conceptual Approach[M]. Berlin:Springer Science & Business Media,1997.

[29]Pozrikidis C. Numerical Computation in Science and Engineering[M]. New York: Oxford University Press,1998.

[30]Du X P. Interval Reliability Analysis[C]//ASME 2007 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference. Las Vegas, 2007: 1103-1109.

[31]Zhang Y, Kiureghian A D.Two Improved Algorithms for Reliability Analysis[M]. New York:Springer U.S., 1995.

[32]Jiang C, Li W X, Han X, et al.Structural Reliability Analysis Based on Random Distributions with Interval Parameters[J].Computers & Structures, 2011, 89(23): 2292-2302.

(編輯王旻玥)

An Aleatory and Epistemic Mixed Uncertainty Model Considering Parametric Correlation and Its Reliability Analysis

Zheng JingJiang ChaoNi BingyuFan Song

State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Hunan University,Changsha,410082

A probability and evidence hybrid uncertainty model considering parametric correlation was proposed and a corresponding reliability analysis method for problems with both aleatory and epistemic uncertainties was studied.Firstly,sample correlation coefficients were introduced to describe the correlation among probability variables,evidence variables as well as probability and evidence variables. Correlated parameters were transformed into independent ones through a matrix transformation and an equivalent probability-evidence hybrid model was built. Then the hybrid model was transformed into a series of probability-interval models in subspaces and a nested optimization analysis iterative format was summarized to obtain the failure probability interval. At last, three numerical examples were provided to verify the validity of the proposed method.

hybrid reliability;aleatory uncertainty;epistemic uncertainty;sample correlation coefficient

2015-03-18

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11172096，51222502)；霍英東基金資助項(xiàng)目(131005)；湖南省杰出青年基金資助項(xiàng)目(14JJ1016)

TB114.3DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.07.013

鄭靜，女，1990年生。湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院博士研究生。主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)。姜潮，男，1978年生。湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。倪冰雨，男，1989年生。湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院博士研究生。范松，男，1989年生。湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院碩士研究生。