零點(diǎn)定理的推廣及其應(yīng)用

俞瑩磊

[摘 要] 零點(diǎn)定理是微分學(xué)中一個(gè)重要的定理，在理論與實(shí)際生活中都普遍地能夠應(yīng)用到，就零點(diǎn)定理的推廣及應(yīng)用來(lái)了解零點(diǎn)定理的獨(dú)特魅力。

[關(guān) 鍵 詞] 零點(diǎn)定理；推廣；應(yīng)用

[中圖分類號(hào)] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2016）24-0068-02

零點(diǎn)定理是微分學(xué)中一個(gè)重要的定理，它的一個(gè)重要的應(yīng)用是研究函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題。它有兩個(gè)很重要的約束條件。由于零點(diǎn)定理有兩個(gè)約束條件，因此導(dǎo)致零點(diǎn)定理有時(shí)得不到充分的利用。本文將從零點(diǎn)定理及幾何意義入手，對(duì)零點(diǎn)定理的推論進(jìn)行探討，將其推廣與在理論和實(shí)際中應(yīng)用，學(xué)以致用，將零點(diǎn)定理的價(jià)值充分展現(xiàn)。

一、零點(diǎn)定理及幾何意義

1.零點(diǎn)定理：一般情況下我們?cè)O(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號(hào)[（即f（a）·f（b）<0），那么在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)ξ（a<ξ

2.幾何意義：因?yàn)閒（x）在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，因此f（x）的圖像是一條連續(xù)不斷的連續(xù)曲線。當(dāng)f（a）和f（b）異號(hào)，且曲線的兩個(gè)端點(diǎn)f（a）和f（b）一個(gè)在平面直角坐標(biāo)系x軸上方，一個(gè)在x軸下方，所以這條曲線必然至少經(jīng)過(guò)x軸一次。

二、零點(diǎn)定理的推廣

零點(diǎn)定理本身具有一定的局限性，首先該討論的函數(shù)在閉區(qū)間上是連續(xù)的，其次該函數(shù)在閉區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值必須是異號(hào)的。將其推廣可以得到更好地運(yùn)用，以下是對(duì)零點(diǎn)定理的推廣。

推論1（介值定理）：零點(diǎn)定理是介值定理的一種特殊情況。我們假設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）≠f（b），那么，對(duì)于f（a）與f（b）之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少會(huì)有一點(diǎn)ξ，使得f（ξ）=C。

推論2：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，P，p分別為f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，則對(duì)于任何C，p

三、零點(diǎn)定理的應(yīng)用

零點(diǎn)定理的應(yīng)用十分廣泛，不僅在理論中可以用到，在實(shí)際生活中也是極為普遍的，學(xué)知識(shí)的極高境界就是學(xué)以致用，將學(xué)到的知識(shí)運(yùn)用到生活中去，使復(fù)雜的事情簡(jiǎn)單化。以下幾個(gè)例子介紹了零點(diǎn)定理在理論與實(shí)際生活中的應(yīng)用。

（一）理論中的應(yīng)用

綜上所述：函數(shù)f（x）圖像上有且只有3個(gè)零點(diǎn)，即2x3+3x2-12x-10=0有且只有三個(gè)實(shí)根。

（二）生活中的應(yīng)用

案例1.巧分不規(guī)則土地

問(wèn)題的提出：老人有兩個(gè)兒子，還有一塊不規(guī)則的土地，他想要把這塊地分給他的兩個(gè)兒子，但是必須過(guò)土地上的任意一點(diǎn)才能分，問(wèn)老人如何才能過(guò)這個(gè)任意點(diǎn)將這塊土地平分。這個(gè)題目看似很難辦到，可是如果利用高等數(shù)學(xué)中的零點(diǎn)定理是可以做到的。

分析：此問(wèn)題的難點(diǎn)就是老人的土地是不規(guī)則的，可以根據(jù)建模的思想將這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

通過(guò)題目的條件，我們可以知道在一個(gè)不規(guī)則的平面上有一條沒(méi)有交叉點(diǎn)的封閉曲線，A點(diǎn)是曲線所圍圖形上任意一點(diǎn)。那這道題看似是分土地，實(shí)際則是求證過(guò)A點(diǎn)一定存在一條直線，可以將這圖形的面積分成等面積的兩份。

證明：經(jīng)過(guò)P點(diǎn)作任意一條直線L，可將曲線所圍圖形分成兩個(gè)部分，兩個(gè)部分的面積可分別記為S1、S2，建立平面直角坐標(biāo)系。

如果兩塊面積S1=S2，則L即為可以將土地平分的直線；如果S1≠S2，則假設(shè)S1>S2（將L與x軸正向的夾角記為θ0），證明如下。

P點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)，將L按照逆時(shí)針的方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，土地的面積S1、S2就能連續(xù)地隨著角θ0的變化而變化，可記為S1（θ）、S2（θ），并設(shè)f（θ）=S1（θ）-S2（θ）。

函數(shù)f（θ）在[θ0，θ0+π]上是連續(xù)的，并且在端點(diǎn)是異號(hào)的，則：

f（θ0）=S1（θ0）-S2（θ0）>0，

f（θ0+π）=S1（θ0+π）-S2（θ0+π）=S2（θ0）-S1（θ0）<0.

根據(jù)零點(diǎn)定理，必存在一點(diǎn)ξ∈[θ0，θ0+π]，使得f（ξ）=0，即S1（ξ）=S2（ξ）。過(guò)P點(diǎn)作直線，使之與x軸的夾角成ξ，該直線即為所求直線。

案例2.放桌子問(wèn)題

問(wèn)題的提出：有一個(gè)桌子，四只腳一樣長(zhǎng)，桌子的四只腳的連線時(shí)一個(gè)正方形，將它放在凹凸不平的光滑的曲面地上，怎樣能使它的四只腳在落地時(shí)一起放穩(wěn)。

分析：首先先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)桌子的四只腳分別為PQRS，其四只腳的交點(diǎn)為O，將點(diǎn)O設(shè)為原點(diǎn)，對(duì)角線PR設(shè)為X軸。桌子在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的任一的位置對(duì)應(yīng)P1Q1R1S1，由對(duì)角線P1R1和x軸的夾角α唯一確定。在不同的位置，桌子腳P、R與地面的距離之和為f（α），Q、S兩腳與地面距離和為g（α）。我們發(fā)現(xiàn)在任意位置，桌子總會(huì)有3只腳同時(shí)落地，即對(duì)任意的α，f（α）與g（α）總有一個(gè)為零。我們?cè)O(shè)g（α）=0，并將生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：

設(shè)f（α），g（α）都是α的連續(xù)函數(shù)，g（α）=0，且對(duì)任意，f（α）·g（α）=0.存在α0∈（0，），使得f（α0）·g（α0）=0。

證明：將桌子轉(zhuǎn)動(dòng)角度，使得對(duì)角線互換，由此可得：g（0）=0且f（0）>0；f（）=0且g（）>0.令h（α0）=f（α0）-g（α0），且h（α）在[0，]上是連續(xù)的，同時(shí)滿足h（0）>0且h（）<0。

根據(jù)零點(diǎn)定理，必然存在α0∈（0，）使h（α0）=0，即f（α0）=g（α0），因?yàn)閒（α0）·g（α0）=0，所以f（α0）=g（α0）=0，此時(shí)桌子四腳同時(shí)落地的放穩(wěn)。

本文將零點(diǎn)定理進(jìn)行了推廣并列舉了幾個(gè)理論上和實(shí)際生活中的例子，我們不僅看到了零點(diǎn)定理在數(shù)學(xué)上的理論價(jià)值，更發(fā)現(xiàn)了零點(diǎn)定理在生活中的應(yīng)用，這樣的方式有助于我們靈活地運(yùn)用有關(guān)定理解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

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