點吸收波浪能轉(zhuǎn)換裝置的非線性動力學分析?

鄭中強, 黃　鵬, 高大曉, 董曉剛, 常宗瑜??

(1.中國海洋大學工程學院，山東 青島 266100； 2.海洋工程山東省重點實驗室，山東 青島 266100)

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點吸收波浪能轉(zhuǎn)換裝置的非線性動力學分析?

鄭中強1,2, 黃鵬1, 高大曉1, 董曉剛1, 常宗瑜1,2??

(1.中國海洋大學工程學院，山東 青島 266100； 2.海洋工程山東省重點實驗室，山東 青島 266100)

摘要：點吸收式波浪能轉(zhuǎn)換系統(tǒng)是最有效的波浪能利用裝置之一，為提高能量利用性能該裝置中的能量輸出系統(tǒng)(Power Take-Off，簡稱為PTO)常設(shè)計有非線性環(huán)節(jié)。本文考慮了PTO中的非線性阻尼和非線性剛度等因素，對點吸收式波浪能轉(zhuǎn)換裝置的動力學進行了研究。根據(jù)流體動力學軟件獲取了浮體在波浪作用下的水動力參數(shù)，建立了PTO中包含中非線性阻尼和非線性剛度的動力學方程，采用Runge-Kutta法對其時域響應(yīng)進行了求解，并分析了波幅和不同非線性剛度系數(shù)對能量俘獲寬度的影響，研究表明選擇合理的立方剛度非線性系數(shù)可以增加能量俘獲寬度，提高能量利用率。

關(guān)鍵詞：點吸收波浪能轉(zhuǎn)換裝置; 能量輸出系統(tǒng)(PTO); 非線性動力學; Runge-Kutta; 能量俘獲寬度

引用格式：鄭中強, 黃鵬, 高大曉, 等. 點吸收波浪能轉(zhuǎn)換裝置的非線性動力學分析[J].中國海洋大學學報(自然科學版), 2016, 46(7):111-116.

ZHENG Zhong-qiang, HUANG Peng, GAO Da-xiao,et al.Nonlinear dynamic analysis of point absorber wave energy converter[J].Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(7):111-116.

波浪能量利用在近年來得到了迅速發(fā)展[1]，各國相繼開發(fā)出多種波浪能轉(zhuǎn)換裝置[2-4]。比較典型的裝置類型包括鴨式、振蕩水柱式、點吸收式、擺式等。點吸收式波浪能轉(zhuǎn)換裝置由于其結(jié)構(gòu)與波浪直接接觸獲得能量，因此能量轉(zhuǎn)換效率較高，并且可在不同水深條件(特別是超過40 m的深水區(qū))下工作[5]。

Falnes[6]綜述了各種型式的波浪能轉(zhuǎn)換裝置。Price等[7]詳細討論了浮子式波浪能轉(zhuǎn)換裝置的俘獲寬度的性質(zhì)，并研究了能量輸出中的控制對俘獲寬度的影響。Yeung等[8]推導了柱狀浮體的水動力系數(shù)，并通過模型試驗獲取了波浪能轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換效率。Eriksson等[9]研究了頻域內(nèi)振蕩浮子與線性發(fā)電機間的耦合運動，定性討論了系統(tǒng)能量俘獲寬度的影響因素。程正順[10]在線性理論下對浮子式波浪能轉(zhuǎn)換裝置進行了頻域分析和時域分析。劉春元等[11]提出了1種將動子(永磁體)置于外部，永磁體采用準Halbach結(jié)構(gòu)的圓筒型永磁直線電機，增大了功率密度，從而可以獲取更多的波浪能。滕斌等[12]在時域模型中對非線性活塞模型進行了計算分析。

為提高波浪能利用性能，在實際的點吸收波浪能利用裝置的能量輸出系統(tǒng)(PTO)中往往會設(shè)計一些非線性環(huán)節(jié)。本文主要考慮了能量輸出系統(tǒng)(PTO)中非線性阻尼和非線性剛度等非線性因素，建立整個系統(tǒng)的動力學模型，并用數(shù)值積分法進行了求解，并通過比較分析波幅和不同彈簧非線性剛度系數(shù)對能量俘獲寬度的影響。

1　數(shù)學模型

1.1 系統(tǒng)組成

圖1為點吸收波浪能轉(zhuǎn)換裝置示意圖，該裝置由相對運動的浮體、錨鏈、液壓或發(fā)電裝置組成。在波浪力的作用下，浮子跟隨波浪做上下的往復(fù)運動，從而跟定子之間產(chǎn)生相對運動，切割磁力線，完成由波浪能向電能的轉(zhuǎn)換過程。圖2為點吸收波浪能轉(zhuǎn)換裝置簡化模型，其發(fā)電機利用一個質(zhì)量-阻尼-彈簧組成的能量輸出系統(tǒng)來表示。

1.2 系統(tǒng)簡化數(shù)學模型

點吸收式裝置的尺度與波浪尺度相比很小，利用波浪的垂蕩運動吸收波浪能[13]。假設(shè)流體為無旋不可壓的理想流體，僅考慮波浪能裝置在規(guī)則波作用下浮子的垂蕩運動，根據(jù)牛頓第二定律，建立系統(tǒng)的動力學方程：

圖1　點吸收波浪能轉(zhuǎn)換裝置示意圖

圖2　點吸收波浪能轉(zhuǎn)換裝置簡化模型

(1)

一階波浪力Fe(t)可以表示為

Fe(t)=AF1(ω)sin(ωt+φ)。

(2)

式中：A為規(guī)則波的波幅；ω(ω=2π/T)為波浪的頻率；F1(ω)為波浪力系數(shù)；φ為波浪力系數(shù)對應(yīng)的相位角。

能量輸出系統(tǒng)的作用力FP(t)為

FP(t)=Fc(t)-Fk(t)。

(3)

式中：Fc(t)為阻尼力；Fk(t)為彈簧恢復(fù)力。

阻尼力Fc(t)為

(4)

式中：cP為能量輸出系統(tǒng)的阻尼系數(shù)；C為系統(tǒng)達到最大阻尼力時的速度。

彈簧恢復(fù)力Fk(t)為

Fk(t)=kPz(t)+kPNz3(t)。

(5)

式中：kP為能量輸出系統(tǒng)的線性剛度系數(shù)；kPN為能量輸出系統(tǒng)的立方剛度系數(shù)。

波浪能轉(zhuǎn)換裝置在一段時間[t0,t]內(nèi)的平均輸出功率PP為

(6)

波浪能量輸運是指單位時間內(nèi)穿過垂直于波浪傳播方向的單位寬度截面的能量，根據(jù)線性波理論，頻率為ω的規(guī)則波的波浪能量輸運為[14]

(7)

式中：d為水深；ω和kw滿足色散關(guān)系。該系統(tǒng)在規(guī)則波條件下的能量俘獲寬度CW為

CW=PP/Pw。

(8)

2　數(shù)值模擬及結(jié)果分析

本文考慮的振動浮子外形為圓柱體，假定圓柱體吃水為df=2m，半徑為r=4m，水深為d=40m，則其靜水垂蕩恢復(fù)力系數(shù)為k=ρgAw=5.05×105N/m，利用AQWA軟件可計算出圓柱體的各水動力系數(shù)。對于本文僅考慮柱體的垂蕩運動，假定達到最大阻尼力時的速度C=1.2m/s，阻尼系數(shù)為cP=300 000N·s/m，非線性阻尼力與浮子的運動速度間關(guān)系曲線如圖3所示[10，12]，另外假定能量輸出系統(tǒng)的線性剛度系數(shù)為kP=50 000 N/m。

圖3　非線性阻尼力

為了研究非線性剛度對能量俘獲寬度的影響，立方剛度系數(shù)kPN分別為-100 、0、100 N/m3時，假定規(guī)則波的波幅分別為1、2和3 m時，考慮其規(guī)則波的頻率ω為0.6和0.8 rad/s，其相關(guān)的水動力學系數(shù)如表1所示。

表1　振動浮子的水動力學系數(shù)

在波浪頻率為0.6 rad/s條件下，當立方剛度系數(shù)kPN為-100 N/m3時，圖4a、b和c分別給出了在不同波幅規(guī)則波作用下該波浪能轉(zhuǎn)換裝置的阻尼力，浮子的垂蕩位移以及輸出能量功率圖；當立方剛度系數(shù)kPN為0時，圖5a、b和c分別給出了在不同波幅規(guī)則波作用下該波浪能轉(zhuǎn)換裝置的阻尼力，浮子的垂蕩位移以及輸出能量功率圖；當立方剛度系數(shù)kPN為100 N/m3時，圖6a、圖6b和圖6c分別給出了在不同波幅規(guī)則波作用下該波浪能轉(zhuǎn)換裝置的阻尼力，浮子的垂蕩位移以及輸出能量功率圖。圖7和8分別給出了不同波幅和不同立方剛度系數(shù)下波浪能俘獲寬度的曲線圖。

(a.阻尼力隨時間變化曲線；b.垂蕩位移隨時間變化曲線 c.輸出功率隨時間變化曲線a.Time history of damping force；b.Time history of heave displacement of buoy；c.Time history of power output)

圖4當立方剛度系數(shù)kPN為-100 N/m3時，

不同波幅規(guī)則波作用下系統(tǒng)的響應(yīng)曲線

Fig.4Cubic stiffness coefficient kPN=-100 N/m3,the response of system in different wave amplitudes

(a.阻尼力隨時間變化曲線；b.垂蕩位移隨時間變化曲線；c.輸出功率隨時間變化曲線a.Time history of damping force；b.Time history of heave displacement of buoy；c.Time history of power output)

圖5當立方剛度系數(shù)kPN為0 N/m3時，

不同波幅規(guī)則波作用下系統(tǒng)的響應(yīng)曲線

Fig.5Cubic stiffness coefficient kPN=0 N/m3,the response of system in different wave amplitude

通過對上述結(jié)果的統(tǒng)計分析結(jié)果見表2所示，當激勵頻率為ω=0.8 rad/s時，可以獲得具體數(shù)值如表3所示。根據(jù)以上仿真結(jié)果和表2～3可以得到：

(1)當沒有立方剛度系數(shù)時，若規(guī)則波幅值較小，則浮子垂蕩速度也比較小，從而阻尼力未達到最大值范圍內(nèi)，此時浮子垂蕩位移、阻尼力和輸出功率與規(guī)則波的波幅成正比，且在同頻率規(guī)則波作用下的能量俘獲寬度不變；若規(guī)則波的波幅增加，則浮子垂蕩速度也增加，到一定程度后，阻尼力達到最大值范圍內(nèi)，此時浮子垂蕩位移、阻尼力和輸出功率與規(guī)則波的波幅不在成正比關(guān)系，浮子垂蕩位移較線性時變大，而能量輸出功率變小，且在同頻率規(guī)則波作用下的能量俘獲寬度變小。

(2)當立方剛度系數(shù)為負值時，若規(guī)則波幅值較小，則浮子垂蕩速度也比較小，從而阻尼力未達到最大值范圍內(nèi)，但浮子垂蕩位移、阻尼力、輸出功率與規(guī)則波的波幅也不在保持正比關(guān)系，相對于沒有立方剛度系數(shù)的情況，在同波幅的規(guī)則波作用下的能量俘獲寬度變大；若規(guī)則波的波幅增加，則浮子垂蕩速度也增加，到一定程度后，阻尼力達到最大值范圍內(nèi)，在同頻率規(guī)則波作用下的能量俘獲寬度變小，而在同波幅的規(guī)則波作用下的能量俘獲寬度也變大。

(a.阻尼力隨時間變化曲線；b.垂蕩位移隨時間變化曲線；c.輸出功率隨時間變化曲線a.Time history of damping force；b.Time history of heave displacement of buoy；c.Time history of power output)

圖6當立方剛度系數(shù)為100 N/m3時，不同波幅規(guī)則

波作用下系統(tǒng)的響應(yīng)曲線

Fig.6Cubic stiffness coefficient kPN=100 N/m3,the response of system in different wave amplitudes

圖7　能量俘獲寬度隨波幅變化曲線

圖8　能量俘獲寬度隨立方剛度系數(shù)變化曲線

(3)當立方剛度系數(shù)為正值時，若規(guī)則波幅值較小，則浮子垂蕩速度也比較小，從而阻尼力未達到最大值范圍內(nèi)，但浮子垂蕩位移、阻尼力、輸出功率與規(guī)則波的波幅也不在保持正比關(guān)系，相對于沒有立方剛度系數(shù)的情況，在同波幅的規(guī)則波作用下的能量俘獲寬度變小；若規(guī)則波的波幅增加，則浮子垂蕩速度也增加，到一定程度后，阻尼力達到最大值范圍內(nèi)，在同頻率規(guī)則波作用下的能量俘獲寬度變小，而在同波幅的規(guī)則波作用下的能量俘獲寬度也變小。

表2　當頻率為0.6rad/s時，不同立方剛度系數(shù)和波幅規(guī)則波模擬結(jié)果

表3　當頻率為0.8 rad/s時，不同立方剛度系數(shù)和波幅規(guī)則波模擬結(jié)果

3　結(jié)語

本文建立了直接驅(qū)動的點吸收波浪能轉(zhuǎn)換裝置的數(shù)學模型，考慮了該裝置能量輸出系統(tǒng)(PTO)中非線性阻尼和非線性剛度等非線性因素，并進行時域仿真分析?？紤]了在不同頻率、不同波幅規(guī)則波作用下，研究了波幅和非線性彈簧剛度系數(shù)對能量俘獲寬度的影響。研究表明選擇合理的立方剛度非線性系數(shù)可以增加能量俘獲寬度，提高能量利用率。

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責任編輯陳呈超

基金項目：? 國家自然科學基金項目(051175484)；新世紀人才計劃項目(NCET-12-0500)；青島市基礎(chǔ)研究計劃項目(12-1-4-1-(17)-jch)資助

收稿日期：2014-06-12；

修訂日期：2015-10-12

作者簡介：鄭中強(1986-)，男，博士。E-mail:zhengzhongqiang@hotmail.com ??通訊作者： E-mail:zongyuchang@ouc.edu.cn.

中圖法分類號：P743.2

文獻標志碼：A

文章編號：1672-5174(2016)07-111-06

DOI:10.16441/j.cnki.hdxb.20140197

Nonlinear Dynamic Analysis of Point Absorber Wave Energy Converter

ZHENG Zhong-Qiang1,2, HUANG Peng1, GAO Da-Xiao1, DONG Xiao-Gang1, CHANG Zong-Yu1,2

(1. College of Engineering Ocean University of China; 2. The Key Lab of Ocean Engineering of Shandong Province, Qingdao 266100, China)

Abstract:Point absorber wave energy converter (WEC) is one of the most effective wave energy harness devices. Nonlinear factors are applied to improve the power absorption properties in damping and spring of its Power Take-off (PTO). Considering the nonlinear factors in Power Take-off(PTO), this paper studies the dynamic of point absorber wave energy converter with nonlinear damping and nonlinear stiffness. The motion equation of the system is developed with hydrodynamic parameters, which are obtained from fluid dynamics software. The equation is solved in time domain by applying Runge-Kutta method. The effects of nonlinear factors on power capture width are analyzed in different wave amplitudes and wave frequencies. The research shows that suitable coefficient of cubic nonlinear stiffness can increase the power capture width and be beneficial to power absorption.

Key words:point absorber wave energy converter; power take-off (PTO); nonlinear dynamics; runge-kutta method; power capture width

Supported by The National Natural Science Foundation of China (51175484)，The Program for Excellent University Talents in New Century (NCET-12-0500), The Program for Basic Research of Qingdao(12-1-4-1-(17)-jch).