不等式恒成立問題的解題策略

胡鵬（安徽省固鎮(zhèn)縣石湖中學(xué)）

不等式恒成立問題的解題策略

胡鵬
（安徽省固鎮(zhèn)縣石湖中學(xué)）

不等式恒成立問題是數(shù)學(xué)中常見的問題，在高考中頻頻出現(xiàn)，是高考中的一個難點問題.此類題型綜合性較強(qiáng)，常涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用，因此成為歷年高考的一個熱點.題中所涉及的未知數(shù)、參數(shù)數(shù)目有多個，處理時常常陷入困境之中，本文通過幾個具體例題，探討該類問題的基本的解題策略.

典例分析：

1.變“輔元”為“主元”

例1.不等式x2-2ax+1＞0在區(qū)間a∈［1，2］上恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

解析：我們可以用改變主元的辦法，將a視為主變元，將x視為參數(shù)，即將原不等式化為-2ax+x2+1＞0，則令f（a）=-2ax+x2+1，則1≤a≤2時f（a）＞0恒成立即解得x＞2+

點評：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：x及a，而我們都習(xí)慣把x看成是一個變量a作為常數(shù).本題可以轉(zhuǎn)換視角，可將a視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在［1，2］內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.此類題本質(zhì)上是利用了一次數(shù)在閉區(qū)間上的圖像是一條線段，故只需保證該線段兩端點均在x軸上方（或下方）即可.此類題型借用一次函數(shù)的性質(zhì)變“輔元”為“主元”.

對于一次函數(shù)有：f（x）=kx+b，x∈［m，n］有：f（x）＞0恒成立恒成立

2.利用一元二次函數(shù)的判別式

例2.關(guān)于x的不等式ax2-2ax+3＞0在區(qū)間R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解：（1）a=0時，滿足題意。

綜上所述0≤a＜3

點評：對于一元二次函數(shù)有：f（x）=ax2+bx+c＞0（a≠0，x∈R）有

3.利用函數(shù)的最值（或值域）

例3.關(guān)于x的不等式x2-2ax+1＜0在區(qū)間［1，2］上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解法一：令f（x）=x2-2ax+1，開口向上，對稱軸x=a，

點評：此題屬于含參數(shù)二次函數(shù)的問題，在求最值時，對于軸變區(qū)間定的情形，需要根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置進(jìn)行分類討論.對于二次函數(shù)在R上恒成立問題常采用判別式法，而對于二次函數(shù)在某一區(qū)間上恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在此區(qū)間上的最值問題.

4.參變量分離

例3.關(guān)于x的不等式x2-2ax+1＜0在區(qū)間［1，2］上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解法二：原不等式可化為2ax＞x2+1進(jìn)一步可化為即在區(qū)間［1，2］上單調(diào)遞增，要使不等式恒成立只需即

點評：將所求變量與其他變量分離開，通過研究式中另外一個變量的已知范圍來確定所求變量的范圍.若所求變量為a，則根據(jù)a＞f（x）恒成立恒成立此題一般性解法是利用對稱軸的位置進(jìn)行討論，其解題過程復(fù)雜性顯而易見.而將參數(shù)從恒成立不等式中分離出來，可以避免較為復(fù)雜的討論.

5.數(shù)形結(jié)合

解析：設(shè)y1=x（4-x），則（x-2）2+y21=4（y1≥0），它表示的是圓心為（2，0），半徑為2的半圓（如圖所示）.

另設(shè)y2=ax，它的幾何意義是一條經(jīng)過原點，斜率為a的直線，將兩者圖像畫在同一坐標(biāo)系下，根據(jù)不等式的幾何意義，要使得半圓恒在直線l的上方（包括相交），當(dāng)且僅當(dāng)a≤0時才成立，所以a的取值范圍就是a≤0.

點評：本題是數(shù)形結(jié)合思想中的“形”中覓“數(shù)”，“數(shù)”上構(gòu)“形”的充分體現(xiàn).由表達(dá)式結(jié)構(gòu)特征，能讓我們聯(lián)系到用其幾何意義去處理.

總結(jié)：恒成立問題的解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問題向基本類型轉(zhuǎn)化。正確選用函數(shù)法、主輔元轉(zhuǎn)化法、最值法、變量分離法、數(shù)形結(jié)合等解題方法求解。

·編輯謝尾合