帶常利率和相依結(jié)構(gòu)更新風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率

蓋維丹

摘要研究了一類(lèi)具有常利率及相依結(jié)構(gòu)的Sparre Andersen模型， 模型中假設(shè)理賠間隔時(shí)間決定下一次理賠額的分布情況. 對(duì)一般分布情形， 利用推廣后的調(diào)節(jié)系數(shù)方程與遞歸更新技巧， 得到了此模型的最終破產(chǎn)概率上界的估計(jì). 最后以理賠額和理賠間隔時(shí)間都服從指數(shù)分布的情況下的實(shí)例分析來(lái)說(shuō)明該模型的有效性.

關(guān)鍵詞概率論；破產(chǎn)概率； 調(diào)節(jié)系數(shù)方程； Sparre Andersen模型； 相依結(jié)構(gòu)

中圖分類(lèi)號(hào) O211.4；F224 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

AbstractWe consider the Sparre Andersen model modified by the inclusion of constant interest force with a dependent setting where the time between two claim occurrences determines the distribution of the next size. And for the general claim sizes， the upper bound for the ultimate ruin probability is obtained by recursive techniques and adjustment coefficient equation in dependence environment. Finally， numerical experiments are presented to illustrate the validity of the model when the claim and interclaim time are exponential distribution.

Key wordsprobability theory； ruin probability； adjustment coefficient equation； Sparre Andersen model； dependence structure

1引言

近年來(lái)， 破產(chǎn)理論作為保險(xiǎn)精算學(xué)的主要研究課題， 已經(jīng)得到飛速的發(fā)展. 然而， 大部分文獻(xiàn)僅在理賠額與理賠時(shí)間間隔獨(dú)立的條件下進(jìn)行研究.如王后春（2013） 利用微分分析方法， 分析了一類(lèi)兩個(gè)索賠計(jì)數(shù)過(guò)程分別是獨(dú)立的廣義Erlang（2）過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型， 并得到了破產(chǎn)概率滿足的一個(gè)積分微分方程及邊界條件[1]. 現(xiàn)實(shí)中， 平穩(wěn)獨(dú)立條件顯然過(guò)于苛刻， 為避免此類(lèi)限制， 保險(xiǎn)精算的理論研究者開(kāi)始在風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程中引入各種不同形式的相依結(jié)構(gòu). 謝杰華等（2007） 利用Laplace變換方法， 考慮一類(lèi)具有時(shí)間相依索賠的風(fēng)險(xiǎn)模型， 模型中包含了兩種索賠： 主索賠和由它引起的副索賠， 并且副索賠可能推遲發(fā)生， 得到了該風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率計(jì)算公式[2]； 張大偉等（2014） 通過(guò)運(yùn)用Laplace 變換函數(shù)及連續(xù)形式的DicksonHipp 算子等一系列方法， 研究了保費(fèi)收入過(guò)程是復(fù)合泊松過(guò)程和聚合理賠過(guò)程中理賠間隔時(shí)間和個(gè)別理賠額之間具有Boudreault中所描述的相依結(jié)構(gòu)的一類(lèi)更新風(fēng)險(xiǎn)模型， 推導(dǎo)出了該模型GerberShiu 函數(shù)及其Laplace變換函數(shù)的顯示表達(dá)式[3]； 趙明清等（2011）通過(guò)引進(jìn)輔助模型方法， 討論了具有兩種副索賠的離散相依風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)前盈余和破產(chǎn)概率的求解方法[4]； 高珊（2008） 通過(guò)更新論證的方法， 分析了一類(lèi)相依雙險(xiǎn)種分別為Elang（2）過(guò)程及p稀疏過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了罰金折現(xiàn)期望滿足的積分微分方程 [5]； 谷蕊（2009） 通過(guò)鞅方法， 給出了常利率下理賠額與理賠間隔相依的風(fēng)險(xiǎn)模型的生存概率的具體表達(dá)式和破產(chǎn)概率的上界[6]. 在大災(zāi)難保險(xiǎn)和人壽保險(xiǎn)等險(xiǎn)種中， 理賠額與理賠時(shí)間間隔相依的模型比經(jīng)典的Possion風(fēng)險(xiǎn)模型更能貼近實(shí)際. 例如， 對(duì)保險(xiǎn)公司而言， 一般大額索賠發(fā)生的時(shí)間間隔比小額索賠的間隔更長(zhǎng).

擬在[6]模型的基礎(chǔ)上， 利用推廣的調(diào)節(jié)系數(shù)方程， 在只考慮Sparre Andersen模型的情況下， 得到其破產(chǎn)概率的上界估計(jì).

2具有常利率及相依結(jié)構(gòu)的

Sparre Andersen模型

考慮在Sparre Andersen風(fēng)險(xiǎn)模型中， 帶有常利率δ的保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程Uδt，t>0時(shí)， t時(shí)刻的盈余可表示為

Uδt=ueδ t+cδt-∫t0eδt-vdSv，

其中u≥0為初始盈余， c>0為單位時(shí)間內(nèi)收取的保費(fèi)， δt為連續(xù)支付年金在t時(shí)刻的累積值， 即

（δ）|=∫t0eδvdv=eδt-1δδ>0，

tδ=0.

St為到t時(shí)刻的累積理賠額，St=∑Nti=1Xi， 其中Nt為計(jì)數(shù)過(guò)程，是到達(dá)t時(shí)刻的理賠總次數(shù)，假設(shè)Xi，i=1， 2，…是一獨(dú)立同分布的理賠額序列.

5結(jié)語(yǔ)

考慮了常利率下具有相依結(jié)構(gòu)的Sparre Andersen模型，通過(guò)推廣的調(diào)節(jié)系數(shù)方程及遞歸技術(shù)得到此模型的最終破產(chǎn)概率上界， 并且發(fā)現(xiàn)結(jié)果與條件獨(dú)立情況下的結(jié)論相近. 結(jié)果表明破產(chǎn)概率上界也滿足更為一般的Lundberg不等式. 相較于獨(dú)立情況， 相依問(wèn)題的研究更具有實(shí)際意義. 通過(guò)實(shí)例分析， 討論在指數(shù)情形下各參數(shù)對(duì)破產(chǎn)概率的影響. 對(duì)于觀察時(shí)為非指數(shù)分布等其它情形， 可以進(jìn)一步使用其他分布來(lái)研究.

參考文獻(xiàn)

[1]王后春. 兩險(xiǎn)種廣義Erlang（2）風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 2013， 30（5）： 661-672.

[2]謝杰華，鄒娓. 一類(lèi)具有時(shí)間相依索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J]. 中國(guó)科學(xué)院研究生院學(xué)報(bào)， 2008， 25（3）： 313-319.

[3]張大偉， 王傳玉， 方顥. 保費(fèi)收入服從復(fù)合泊松過(guò)程的一類(lèi)相依更新風(fēng)險(xiǎn)模型研究[J]. 貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)（ 自然科學(xué)版），2014，32（2）：57-61.

[4]趙明清，張偉. 具有兩種副索賠的離散相依風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)問(wèn)題[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2011，28（2）： 44-48.

[5]高珊. 一類(lèi)相依風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問(wèn)題[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)， 2008， 38（22）： 40-45.

[6]谷蕊. 基于相依風(fēng)險(xiǎn)模型的若干研究[D].蘭州： 蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 2009.

[7]J CAI， D DICKON. Upper bounds for ultimate ruin probabilities in the Sparre Anderson model with interest[J]. Insurance： Mathematics and Economic. 2003， 32（1）： 61-71.