淺談平面幾何證明中的輔助線

鄭海彬

引言

輔助線的添法靈活多變，其作用主要在于溝通“條件”和“結(jié)論”。具體問(wèn)題具體分析，本人通過(guò)在實(shí)際問(wèn)題中操練、總結(jié)，認(rèn)為添加輔助線的方法主要有如下幾種：（1）從圖形考慮（2）從要證明的結(jié)論考慮；（3）從添輔助線的作用考慮。

一、三角形

三角形作輔導(dǎo)線一般遵循如下三個(gè)原則：

第一，在三角形中，已知一條中線，常把延長(zhǎng)一倍構(gòu)成全等三角形或平行四邊形，或把一邊延長(zhǎng)一倍造中位線，或取另一邊的中點(diǎn)作成中位線。

第二，在三角形中，若已知兩條或三條中線時(shí)，則常聯(lián)結(jié)兩個(gè)中點(diǎn)作成中位線或延長(zhǎng)某一中線到它的三分之一處，使之與重心、兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形。

第三，在等腰三角形中。常引底邊上的高或頂角的平分線；在直角三角形中，則常引斜邊上的中線或高。

如下例，為常用的輔助線做法：

1.延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形

例1 如圖，已知△ABC中，AD是△ABC的中線，AB=8，AC=6，求證：1

分析：延長(zhǎng)AD至A′，使A′D=AD，聯(lián)結(jié)BA′.根據(jù)“SAS”易證△A′BD≌△ACD，得A′B=AC。這樣將AC轉(zhuǎn)移到△A′BA中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理可解。

2.引平行線構(gòu)造全等三角形

例2 如圖，已知△ABC中，AB=AC，D在AB上，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=CE，DE與BC交于點(diǎn)F.求證：DF=EF。

分析：此題輔助線作法較多，如：①作DG∥AE交BC于G；②作EH∥BA交BC的延長(zhǎng)線于H；再通過(guò)證三角形全等得DF=EF。

3.作連線構(gòu)造等腰三角形

例3 如圖，已知Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE⊥AB，垂足為D，交BC于E。

求證：BD=DE=CE。

分析：聯(lián)結(jié)DC，證△ECD是等腰三角形。

4.利用翻折，構(gòu)造全等三角形

例4 如圖，已知△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于D.求證：AC=AB+BD。

分析：將△ADB沿AD翻折，使B點(diǎn)落在AC上點(diǎn)B′處，再證BD=B′D=B′C，易得△ADB≌△ADB′，△B′DC是等腰三角形，于是結(jié)論可證。

5.作三角形的中位線

例5 如圖，已知四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M、N。求證：∠BME=∠CNE。

分析：聯(lián)結(jié)AC并取中點(diǎn)O，再聯(lián)結(jié)OE、OF.則OE∥AB，OF∥CD，故∠OEF=∠BME，∠OFE=∠CNE。

又OE=AB，OF=CD，且OE=OF，故∠OEF=∠OFE，可得證。

二、梯形

在梯形中，作輔導(dǎo)線一般遵循如下三個(gè)原則：

第一，常過(guò)頂點(diǎn)作高或與腰平行的線段；

第二，若已知各邊中點(diǎn)，則作中位線；

第三，在解決有關(guān)梯形知識(shí)的問(wèn)題中，往往通過(guò)作輔助線構(gòu)造三角形、平行四邊形，利用三角形、平行四邊形知識(shí)來(lái)解決。

1.將一般梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊三角形或平行四邊形來(lái)解決

例6 如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=75°，∠D=30°，求證：AD=DC-AB。

分析：利用結(jié)論中線段之差，不妨將AB轉(zhuǎn)化，故可以從以下入手：

（1）過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，利用兩底角度來(lái)解決。

（2）延長(zhǎng)DA，CB交于點(diǎn)M，利用兩底角度來(lái)解決。

2.將等腰梯形轉(zhuǎn)化為特殊三角形或平行四邊形來(lái)解決

例7 如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C？熏AB與CD不平行，且AB=CD。

求證：四邊形ABCD是等腰梯形。

分析：為使AB和CD轉(zhuǎn)化到同一三角形中，需過(guò)A或D作另一腰的平行線；也可延長(zhǎng)BA、CD交于M，由等腰三角形證平行解決問(wèn)題。

例8 如圖，在等腰梯形ABCD中DB=DC，AC⊥BD于M。

求證：CM=（AB+DC）。

分析：為使AB、CD轉(zhuǎn)化到同一三角形中利用直角三角形斜邊中線來(lái)解決，故過(guò)B作BE∥AC、BF⊥DE，利用Rt△BCM≌Rt△CFB，問(wèn)題可得到解決。

三、圓

在圓中，作輔導(dǎo)線一般遵循如下原則：

第一，常作直徑所對(duì)的圓周角，垂直于弦的半徑（或直徑）；

第二，若兩圓相切，則常作它的公切線和連心線；

第三，若兩圓相交，則常作它們的公共弦。

此外，還可根據(jù)共圓條件作一些輔助圓。

1.常作直徑所對(duì)的圓周角，垂直于弦的半徑（或直徑）

例9 已知，AD是⊙O的直徑，AB、AC為弦，且AD平分∠BAC。求證：AB=AC。

分析：過(guò)點(diǎn)O分別作OF⊥AC，OE⊥AB，又∵AD平分∠BAC，故OE=OF，可得AB=AC。

2.若兩圓相切，則常作它的公切線和連心線

例10 如圖，⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線AB交⊙O1于A，交⊙O2于B，過(guò)B作直線交AO的延長(zhǎng)線于C，且BC⊥AC。

求證：CB為⊙O2的切線。

分析：B是BC與⊙O2的交點(diǎn)，也是結(jié)論中的切點(diǎn)。要證BC是⊙O2的切線，只要證O2B⊥BC即可。聯(lián)結(jié)O2B，而⊙O1與⊙O2也相切于點(diǎn)P，把O1、O2連起來(lái)，從而通過(guò)證O2B∥O1A來(lái)得到結(jié)論。

3.若兩圓相交，則常作它們的公共弦

例11 ⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O2的切線CF交⊙O1于C，直線CB交⊙O2于D。直線DA交⊙O1于E，聯(lián)結(jié)CE。

求證：△CAE是等腰三角形。

分析：要證△CAE是等腰三角形，可通過(guò)證兩角相等，即∠E=∠CAE。聯(lián)結(jié)AB，發(fā)現(xiàn)四邊形AECB是⊙O1的內(nèi)接四邊形。而∠ABD是一個(gè)非常關(guān)鍵的角，它既是內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角，也是弦切角∠FAD所夾的弧對(duì)的圓周角，即∠ABD=∠E，∠ABD=∠FAD。找到了這些關(guān)系，也就解決了問(wèn)題。

四、結(jié)論

1.從要證明的結(jié)論考慮

（1）要證線段的和、差、倍、分或比較大小時(shí)，常用延長(zhǎng)或截取方法進(jìn)行等量代換。

（2）要證線段、角相等時(shí)，常找全等形進(jìn)行等量代換。

（3）要證四條線段成比例時(shí)，常作平行線找相似形。

（4）要證面積相等時(shí)，常平移變換找等積形。

2.從添輔助線的作用考慮

（1）作平行線有利于造成線段、角相等，有利于造成相似形、平行四邊形、全等形、等積形。

（2）作垂線有利于造成平行線、直角三角形。

（3）作圓有關(guān)線段和角，有利于用圓的有關(guān)性質(zhì)和有關(guān)定理。

總之，添加輔助線方法之多，沒(méi)有人能通熟，但萬(wàn)變不離其宗，明白其規(guī)律原理，再加上一般的方法，即可舉一反三，推而廣之。