矩形壓電陶瓷超聲換能器的彎曲振動

唐一璠， 林書玉

(陜西師范大學 物理學與信息技術學院, 陜西 西安 710119)

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矩形壓電陶瓷超聲換能器的彎曲振動

唐一璠， 林書玉*

(陜西師范大學 物理學與信息技術學院, 陜西 西安 710119)

利用等效彈性法分析了矩形陶瓷超聲換能器在不同條件下的彎曲振動，分別對四邊簡支條件下的特征頻率和邊界自由與邊界固定條件下的特征頻率進行曲線擬合,得出矩形壓電陶瓷超聲換能器在邊界自由與邊界固定條件下彎曲振動特征頻率的擬合公式。利用有限元分析軟件Comsol對得到的擬合公式進行驗證，驗證結果表明邊界自由與邊界固定條件下矩形壓電陶瓷超聲換能器的特征頻率與擬合公式計算出的特征頻率有很好的一致性。

壓電陶瓷； 彎曲振動； 特征頻率； 有限元分析

PACS: 43.35.+d

超聲換能器是進行能量轉換的器件，它能夠實現(xiàn)機械能與電能的相互轉換。壓電陶瓷超聲換能器在水聲換能器、空氣超聲換能器及壓電陶瓷濾波器中有非常廣泛的應用,同時也被應用于石油聲波測井中,用來獲取地層的橫波等信息[1-2]。隨著超聲技術的快速發(fā)展，對超聲換能器提出了新的要求，要求超聲換能器和輻射器具有大輻射面、大功率、多頻等功能[3-5]。

研究壓電陶瓷振子各種振動模式是設計壓電換能器的基礎[6-7]。彎曲振動是一種間接產生的振動模式,彎曲振動同時存在伸長和縮短這兩種形變,比扭轉振動和縱向振動更復雜。在實際應用中，不能簡單地認為壓電陶瓷振子都工作于單一的振動模式，事實上壓電陶瓷振子的振動模式是不同方向振動模式之間的相互作用[8-9]。

對于圓盤薄板壓電陶瓷超聲換能器的彎曲振動，國內外學者已經進行了比較系統(tǒng)的理論研究，瓦奈脫(Wollett)應用瑞利(Rayleigh)法對彎曲圓盤換能器的工作特性進行了研究,所得結果較為簡單且與實際測試結果符合良好,因此具有較高的實用價值[10]。但是，對于矩形壓電陶瓷換能器的研究，因為找不到滿足邊界條件的解，所以矩形壓電陶瓷超聲換能器彎曲振動的研究并不完善。文獻[11]曾經對矩形陶瓷超聲換能器進行過研究，但是發(fā)現(xiàn)在自由邊界條件下得到的特征頻率方程式的解只能算出i=0，j≠0或j=0，i≠0的特征頻率，當i和j同時不為零時特征頻率方程式的解與實驗結果不符。對于四邊簡支矩形壓電陶瓷超聲換能器的彎曲振動，可以給出其精確解，但是對于邊界自由和邊界固定的彎曲振動，找不到滿足邊界條件的解。

等效彈性法是研究彈性體耦合振動的一種分析方法,即對于材料均勻的彈性體,在不考慮剪切形變，只考慮伸縮形變的條件下其振動能夠看成由兩個相垂直的縱向振動和徑向振動耦合而成，并且在不同方向的振動可以看作有不同的等效彈性常數， 即等效楊氏模量。在此條件下，該耦合振動由兩個一維振動來表示，而從整體看，這兩個等效振動則是通過耦合系數構成整個彈性體的耦合振動。本文利用等效彈性法理論[12]對矩形陶瓷超聲換能器在不同條件下的彎曲振動進行了研究，利用矩形壓電陶瓷超聲換能器四邊簡支的精確解，得出了不同尺寸下的特征頻率，再利用有限元分析方法Comsol對邊界自由與邊界固定條件下的矩形壓電陶瓷超聲換能器進行了模擬, 并利用四邊簡支的特征頻率分別對邊界自由與邊界固定條件下彎曲振動的特征頻率進行曲線擬合,得出矩形壓電陶瓷超聲換能器邊界自由與邊界固定條件下彎曲振動特征頻率的兩個擬合公式。

1　彎曲振動矩形陶瓷超聲換能器的共振頻率方程以及位移分布

圖1為矩形壓電陶瓷振子與矩形薄板幾何示意圖，其中L、W、H分別為長度、寬度、厚度。極化方向相反時可以用串聯(lián)的方式，反之可以用并聯(lián)的方式接入電源。對于串聯(lián)型矩形壓電陶瓷超聲換能器，當上板電極為正、下板電極為負時，通過逆壓電效應，上片伸長下片縮短，產生凸形彎曲形變；反之產生凹形彎曲形變。

圖1　矩形壓電陶瓷振子的幾何示意圖

在以下分析中，只考慮薄板的長度及寬度遠大于厚度的情況，根據彈性力學中薄板的小饒度彎曲振動理論，其應變可表示為

(1)

(2)

(3)

上式中u=u(x，y，z)為板的橫向位移，同時矩形壓電陶瓷超聲換能器的壓電方程可寫為

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

此時薄板的彎曲振動可以等效為繞x軸和y軸的兩個獨立的彎曲振動，此時板的橫向位移可以近似用(9)式表示，即

u=u(x,y,t)=ux(x)uy(y)exp(jωt)。

(9)

1.1矩形薄板繞y軸的彎曲振動

在長度方向的應力可以表示為

(10)

在x為常數的截面上，由σx產生的彎矩可表示為

(11)

其中W為矩形板的寬度,把(10)代入(11)式積分后可得

(12)

在不計轉動的條件下，根據力矩平衡方程可得

(13)

則矩形薄板繞y軸的彎曲振動方程為

(14)

(15)

1.2矩形板繞x軸的彎曲振動

在y為常數的截面上，由σy產生的彎矩可表示為

(16)

在不計轉動的條件下，根據力矩平衡方程可得

(17)

則矩形薄板繞x軸的彎曲振動方程為

(18)

則矩形薄板繞x軸彎曲振動的位移分布為

(19)

2　矩形壓電陶瓷超聲換能器四邊簡支條件下的特征頻率

對于四邊簡支的矩形壓電陶瓷超聲換能器，滿足其邊界條件為橫向位移及彎矩等于零，利用(15)和(19)式可得決定振子兩個等效彎曲振動的共振頻率方程式為

(20)

(21)

(22)

(23)

由此可得關于機械耦合系數及x和y方向彎曲振動共振頻率的方程式為

(24)

(25)

由(25)式可得矩形薄板彎曲的共振頻率，根據

(26)

3　矩形壓電陶瓷超聲換能器邊界自由條件下的特征頻率

在矩形壓電陶瓷超聲換能器自由邊界的特征頻率分析中，由于沒有泊松效應的耦合振動,只是把矩形壓電陶瓷超聲換能等效為繞x軸和y軸的兩個獨立的彎曲振動，考慮到彎曲振動中x方向與y方向彎曲振動的相互作用，可以利用矩形壓電陶瓷超聲換能器四邊簡支共振頻率方程(26)式，得到四邊簡支條件下矩形板彎曲振動共振頻率的精確解，利用有限元分析軟件Comsol模擬出不同尺寸下邊界自由彎曲振動的特征頻率,并利用Origin軟件對四邊簡支條件下的特征頻率和邊界自由條件下的特征頻率進行曲線擬合,得到矩形壓電陶瓷超聲換能器自由邊界條件下彎曲振動特征頻率的一個擬合公式，即

(27)

圖2是利用Comsol模擬邊界自由以及用擬合公式計算出來的壓電陶瓷彎曲振動的(1.1)階模態(tài)的特征頻率，其中實線為利用有限元分析軟件Comsol模擬出自由邊界條件下(1.1)階彎曲振動的特征頻率,虛線為用擬合公式(27)計算出來的(1.1)階模態(tài)壓電陶瓷彎曲振動的頻率?？梢钥闯龆呶呛陷^好。

圖2　邊界自由壓電陶瓷的(1.1)階模態(tài)的特征頻率

圖3是矩形壓電陶瓷超聲換能器在L=52 mm，W=20 mm，H=4 mm的(1.1)階模態(tài)邊界自由條件下彎曲振動的振動模態(tài)。其中淺色表示相對振動位移較小，深色表示相對振動位移較大，由圖可知，矩形壓電陶瓷超聲換能器在x和y方向均有兩條節(jié)線，3個峰值，特征頻率為f=40 886 Hz。

圖3　邊界自由條件下壓電陶瓷振子(1.1)階模態(tài)的振動

4　矩形壓電陶瓷超聲換能器邊界固定條件下的特征頻率

利用矩形壓電陶瓷超聲換能器四邊簡支共振頻率方程(26)式，得到四邊簡支條件下矩形板彎曲振動共振頻率的精確解，利用有限元分析軟件Comsol模擬出不同尺寸下邊界固定彎曲振動的特征頻率,并利用Origin軟件對四邊簡支條件下的特征頻率和邊界固定條件下的特征頻率進行曲線擬合,得到矩形壓電陶瓷超聲換能器固定邊界條件下彎曲振動特征頻率的一個擬合公式，即

(28)

圖4是利用Comsol模擬邊界固定以及用擬合公式計算出的壓電陶瓷彎曲振動的(1.1)階模態(tài)的特征頻率，其中實線為利用有限元分析軟件Comsol模擬出固定邊界條件下(1.1)階模態(tài)彎曲振動的特征頻率，虛線為用擬合公式(27)計算出的(1.1)階模態(tài)壓電陶瓷彎曲振動的頻率。可以看出二者吻合較好。

圖4　邊界固定壓電陶瓷的(1.1)階模態(tài)的特征頻率

圖5是矩形壓電陶瓷超聲換能器在L=52 mm，W=20 mm，H=4 mm的(1.1)階模態(tài)邊界固定條件下彎曲振動的振動模態(tài)。其中淺色表示相對振動位移較小，深色表示相對振動位移較大，由圖可知，矩形壓電陶瓷超聲換能器在x和y方向的邊均為固定邊界，特征頻率為f=29 854 Hz。

圖5　邊界固定條件下壓電陶瓷振子(1.1)階模態(tài)的振動

5　結論

本文利用等效彈性法理論對矩形陶瓷超聲換能器在不同條件下的彎曲振動進行了研究，得出矩形壓電陶瓷超聲換能器四邊簡支的精確解,利用有限元分析軟件Comsol模擬出不同尺寸下邊界自由和邊界固定彎曲振動的特征頻率,并利用Origin軟件對四邊簡支條件下的特征頻率和邊界自由與邊界固定條件下的特征頻率進行曲線擬合, 得出矩形壓電陶瓷超聲換能器邊界自由與邊界固定條件下彎曲振動特征頻率的兩個擬合公式,并對得到的擬合公式進行驗證。驗證結果表明，擬合公式計算出的特征頻率在邊界自由和邊界固定條件下矩形壓電陶瓷超聲換能器的特征頻率符合良好。本文僅得出了矩形壓電陶瓷超聲換能器邊界自由與邊界固定條件下彎曲振動(1.1)階模態(tài)共振頻率的擬合公式,為了能使邊界自由與邊界固定條件下彎曲振動換能器更廣泛地應用于生產生活中,我們在以后的工作中將擬合出它們的高階共振頻率計算公式。

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〔責任編輯 李博〕

Rectangular bending vibration of the piezoelectric ultrasonic transducer

TANG Yifan, LIN Shuyu*

(School of Physics and Information Technology, Shaanxi Normal University,Xi′an 710119, Shaanxi, China)

Using the equivalent elastic method, the bending vibration of rectangular ceramic ultrasonic transducer under different conditions is analyzed.The characteristic frequencies of the four sides simply supported conditions are fitted.Under the condition of fixing boundary and free boundary, two fitting formulas of the characteristic frequency of the bending vibration of the rectangular piezoelectric ceramic ultrasonic transducer are obtained. Using the finite element analysis software Comsol to verify the obtained fitting formula, the results show that the characteristic frequency of rectangular piezoelectric ceramic ultrasonic transducer is consistent with the fitting formula.Keywords: piezoelectric ceramics; bending vibration; characteristic frequency; finite element analysis

1672-4291(2016)04-0044-05

10.15983/j.cnki.jsnu.2016.04.245

2015-06-09

國家自然科學基金(11174192,11374200,11474192)

林書玉，男，教授，博士生導師。E-mail:sylin@snnu.edu.cn.

O462.4

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