一類具有強(qiáng)Allee效應(yīng)的捕食-食餌模型共存解的存在性

曹　倩， 李艷玲， 袁海龍

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 陜西 西安 710119)

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一類具有強(qiáng)Allee效應(yīng)的捕食-食餌模型共存解的存在性

曹倩， 李艷玲*， 袁海龍

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 陜西 西安 710119)

強(qiáng)Allee效應(yīng); 捕食-食餌模型共存解; 全局分歧; Loop

MRsubjectclassification: 35K57

物種相互作用模式的生成和分布在生化反應(yīng)和生態(tài)保護(hù)方面有重要意義, 其中一種典型的模式是捕食-食餌關(guān)系?？紤]到物種會(huì)從高密度地區(qū)遷移到低密度地區(qū),因而在常微分捕食-食餌系統(tǒng)加上擴(kuò)散項(xiàng)得到的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)會(huì)更加合理。很多學(xué)者對(duì)具有不同功能反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)做了定性或定量分析。文獻(xiàn)[1]研究了Dirichlet邊值條件下有Crowley-Martin功能反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型的正解存在性; 文獻(xiàn)[2]研究了一類具有Holling-Ⅲ型捕食-食餌模型平衡態(tài)解的存在性與穩(wěn)定性;文獻(xiàn)[3]研究了一類具有修正的Leslie-Gower和Michaelis-Menten反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌時(shí)滯模型。此外, 文獻(xiàn)[4-7]也研究了各類功能反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型。

本文將要研究的具有Allee效應(yīng)的捕食-食餌模型屬于反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的一個(gè)重要分支。美國動(dòng)物生態(tài)學(xué)家Allee在1932 年提出了Allee效應(yīng):即群居有益于種群的生長和存活, 但是過于稀疏和擁擠都會(huì)阻礙其生長, 并對(duì)其繁殖產(chǎn)生副作用, 每個(gè)物種都有自己最適宜生長的密度。Allee效應(yīng)的提出在自然保護(hù)和生物入侵方面具有重要意義。文獻(xiàn)[8]研究食餌具有強(qiáng)Allee效應(yīng)的常微分方程捕食-食餌模型, 分析了該模型的全局雙穩(wěn)定性;文獻(xiàn)[9]研究了一類具有強(qiáng)Allee效應(yīng)的捕食-食餌系統(tǒng),并分析了該系統(tǒng)的動(dòng)力行為和穩(wěn)態(tài)解。同時(shí)，文獻(xiàn)[10-15]對(duì)Allee效應(yīng)也進(jìn)行了相關(guān)研究。本文研究以下具有強(qiáng)Allee效應(yīng)的捕食-食餌模型:

(1)

初邊值條件為

(2)

1　預(yù)備知識(shí)

(3)

λ1(q)是單重的,而且有如下比較定理:若q1≤q2,則λj(q1)≤λj(q2)(j=1,2,3,…);若q1?q2,則λj(q1)<λj(q2)(j=1,2,3,…)。記λ1=λ1(0)。

考慮邊值問題

(4)

由文獻(xiàn)[10]知，如果b≤λ1(q)，那么v=0是(4)式的唯一非負(fù)解；如果b>λ1(q)，方程(4)有唯一正解。特別地，當(dāng)q(x)≡0時(shí)，如果b>λ1，那么問題

(5)

有唯一正解，記為θb,且θb關(guān)于b單調(diào)遞增，并有θbλ1時(shí)，系統(tǒng)(2)存在半平凡解(0，θb)。

考慮半線性邊值問題

(6)

(1)當(dāng)r

下面給出系統(tǒng)(2) 正解的先驗(yàn)估計(jì)。

(2)如果b>λ1,那么v≥θb;

(3)存在M1>0,使得b

2　局部分歧解的存在性

證明定義算子

(7)

(8)

{(ω,χ)∈X:∫Ωχχ1dx=0},

3　局部分歧解的延拓

(9)

其中

顯然，F(xiàn)=(F1,F2)連續(xù)，F(xiàn)(0，0)=0，且F在(0，0)處的Fréchet導(dǎo)數(shù)D(ω,χ)F|(0,0)=0。令A(yù)是-Δ在Dirichlet邊界條件下的逆算子,則(9)式等價(jià)于

(10)

定義算子T：R×X→X為

K(b)=DT(ω,χ)(b;0,0)=

(11)

設(shè)η≥1是K(b)的特征值，相應(yīng)的特征函數(shù)為(ω,χ)，則K(b)(ω,χ)=η(ω,χ)，即

的特征值，顯然,bi(η)關(guān)于η(≥1)在[1,+∞)上遞增，且bi(η)滿足

dimN(η1I-K(b))=1,

(12)

下面證明

R(η1I-K(b))∩N(η1I-K(b))={0}。

(13)

-∫Ωη1χ

index(T(b;·),0)=-1。

(14)

(15)

(16)

4　結(jié)語

[1] LI S B, WU J H, DONG Y. Uniqueness and stability of a predator-prey model with C-M functional response[J].Computers & Mathematics with Applications, 2015, 69: 1080-1095.

[2] 袁海龍, 李艷玲. 一類捕食-食餌模型共存解的存在性與穩(wěn)定性[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2014, 42(1): 15-18.

[3] LI Y, WNAG M X. Hopf bifurcation and global stability of a delayed predator-prey model with prey harvesting[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2015, 69: 398-410.

[4] 楊文彬, 李艷玲. 一類異構(gòu)捕食-食餌模型正解的存在性[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2015, 43(1): 13-18.

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〔責(zé)任編輯宋軼文〕

The existence of coexistence solutions of a predator-prey model with strong Allee effect

CAO Qian, LI Yanling*, YUAN Hailong

(School of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University,Xi′an 710119, Shaanxi, China)

strongAlleeeffect;coexistencesolutionofapredator-preymodel;globalbifurcation;Loop

1672-4291(2016)04-0005-06

10.15983/j.cnki.jsnu.2016.04.142

2015-05-08

國家自然科學(xué)基金(11271236)

李艷玲，女，教授，博士。E-mail:yanlingl@snnu.edu.cn

O175.25

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