單調(diào)壓縮奇異變換半群的極大子半群

陳皝皝，金久林

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽　550001)

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單調(diào)壓縮奇異變換半群的極大子半群

陳皝皝，金久林

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽550001)

摘要：設(shè)Xn={1,2,…，n}(n≥4)并賦予自然數(shù)的大小序,得到了Xn上單調(diào)壓縮奇異變換半群的極大子半群的結(jié)構(gòu)和分類。

關(guān)鍵詞：變換半群;單調(diào)壓縮;極大子半群

0引言

設(shè)Xn={1,2,…，n}(n≥4)并賦予自然數(shù)的大小序,Singn是Xn上的奇異變換半群。設(shè)α∈Singn,若對任意x,y∈Xn,x≤y?xα≤yα,則稱α是單調(diào)遞增;若對任意x,y∈Xn,x≤y?xα≥yα,則稱α是單調(diào)遞減。Xn上單調(diào)遞增和單調(diào)遞減全變換(不含雙射)的集合記作Mn。它是Singn的正則子半群。設(shè)α∈Mn, 若對任意x,y∈Xn,|xα-αy|≤|x-y|, 則稱α是Mn的壓縮元。由Mn中所有的壓縮元組成的集合記為MCn,易見MCn是Singn的子半群, 稱為單調(diào)壓縮奇異變換半群。

變換半群的具有某種性質(zhì)的極大子半群的研究一直都是半群理論研究中的熱點(diǎn)之一[1-18]。近年來, Yang[1]得到了有限奇異變換半群的極大子半群的完全分類; Yang[2]得到了全變換半群的理想的極大子半群的分類; Xu[3]研究了保序壓縮變換半群的極大子半群; Xu[4]研究了有限部分變換半群的具有某種性質(zhì)的極大子半群; 趙[5]刻畫了方向保序變換半群的極大正則子半群。2013年，文獻(xiàn)[6]考慮了單調(diào)壓縮變換半群的秩。本文在此基礎(chǔ)上, 推廣了[3]的結(jié)果, 進(jìn)一步考慮單調(diào)壓縮奇異變換半群的極大子半群的結(jié)構(gòu)與分類。

1準(zhǔn)備

設(shè)α∈MCn,用imα表示α的象集,kerα表示Xn上的等價(jià)關(guān)系{(x,y)∈Xn×Xn:xα=yα}。若|imα|=r,2≤r≤n-1,則

當(dāng)α單調(diào)遞增時(shí), 由單調(diào)性和壓縮性容易驗(yàn)證α有如下表示法(稱作α的標(biāo)準(zhǔn)表示):

其中,1≤a≤n-r+1,Xn/kerα={A1,A2,…Ar}，max(Ai)

當(dāng)α單調(diào)遞減時(shí), 由單調(diào)性和壓縮性容易驗(yàn)證α有如下表示法(稱作α的標(biāo)準(zhǔn)表示):

其中, r≤a≤n, Xn/kerα={A1,A2,…Ar},max(Ai)

為敘述上方便, 在MCn上引入下面的二元關(guān)系, 對任意α,β∈MCn, 定義:

αL*β?imα=imβ

αR*β?kerα=kerβ

αH*β?imα=imβ,kerα=kerβ

αJ*β?|imα|=|imβ|

則L*, R*, H*與J*都是MCn上的等價(jià)關(guān)系, 易見L*?J*,R*?J*且H*=L*∩R*。對1≤r≤n-1, 記

1e=2,ke=k(2≤k≤n); 1φ=n,kφ=n-k+2(2≤k≤n);

1λ1=1,kλ1=k-1(2≤k≤n);1λ2=n-1,kλ2=n-k+1(2≤k≤n);

nρ1=n,kρ1=k+1(1≤k≤n-1); nρ2=2,kρ2=n-k+1(1≤k≤n-1);

nf=n-1,kf=k(1≤k≤n-1);nψ=1,kψ=n-k(1≤k≤n-1);

MCn的理想構(gòu)成一個(gè)鏈，即

I*(n,1)?I*(n,2)?…?I*(n,n-1)=MCn

進(jìn)一步,可得到

(1)

定義設(shè)S為MCn的子半群(S?MCn)。若S滿足: 對任意α∈MCnS, 有=MCn, 則稱S是MCn的極大子半群。

本文未定義的術(shù)語及記法參見[10]。

2主要結(jié)果及證明

下面給出本文主要結(jié)果:

定理設(shè)n≥4, 則MCn的極大子半群有且只有如下3類:

(1)A=MCnR*(r,r+1),2≤r≤n-2;

(3)C=MCnP, 其中P∈{{φ,ψ,λ1,ρ1},{φ,ψ,λ2,ρ2}};

為了證明定理, 需引入以下定理:

引理1[9]設(shè)n≥4, 記A={α2,α3,…αn-1,λ2}, 其中

2≤k≤n-1

則=MCn。

引理2設(shè)2≤r≤n-2(n≥4)，S是一個(gè)集合,若(R*(1,2)∪R*(n-1,n))?S且S∩R*(r,r+1)≠φ,則=MCn

引理3設(shè)2≤r≤n-2(n≥4),令S=MCnR*(r,r+1),則S是MCn的極大子半群。

證明設(shè) 2≤r≤n-2(n≥4),令S=MCnR*(r,r+1),由式子(1),易見S是MCn的子半群.下證S的極大性。

由S=MCnR*(r,r+1)得到,(R*(1,2)∪R*(n-1,n)?S,對任意α∈R*(r,r+1),使得(S∪{α})∩R*(r,r+1)≠θ,由引理2得到,=MCn,S是MCn的極大子半群。

引理5設(shè)n≥4, 令S=MCnP, 其中P∈{{φ,ψ,λ1,ρ1},{φ,ψ,λ2,ρ2}},則S是MCn的極大子半群。

證明設(shè)n≥4,令S=MCnP,其中P∈{{φ,ψ,λ1,ρ1},{φ,ψ,λ2,ρ2}}, 由式子(1),易見S是MCn的子半群,下證S的極大性。

對任意α∈P,考慮以下情形:

情形1若P∈{φ,ψ,λ1,ρ1},有{α2,α3,…,αn-2,λ2}?S且αn-1?S(αk如引理1定義,2≤k≤n-1), 當(dāng)α分別取為φ,ψ,λ1,ρ1, 分別有αn-1=ρ1=ρ2α,αn-1=ρ1=αλ2,αn-1=ρ1=αρ2λ2,αn-1=ρ1即{α2,α3,…αn-1,λ2}?，由引理1得到=MCn。

情形2若P={φ,ψ,λ2,ρ2}, 有{α2,α3,…,αn-1}?S且λ2?S. 當(dāng)α分別取為φ,ψ,λ2,ρ2,分別有λ2=αλ1,λ2=λ1α,λ2=α,λ2=λ1αλ1即{α2,α3,…αn-1,λ2}?.由引理1得到 =MCn。

因此，S是MCn的極大子半群.

定理的證明由引理3，引理4，引理5，可知，A,B,C是MCn的極大子半群。

用反證法證明MCn的極大子半群有且僅有定理中的形式，假設(shè)S是MCn的極大子半群，但不是定理中的形式，則對2≤r≤n-2(n≥4),有

S∩{φ,ψ,λ1,ρ1}≠φ,S∩{φ,ψ,λ2,ρ2}≠φ

否則，存在 2≤r≤n-2, 使得S∩R*(r,r+1)=φ,或S∩T=φ或S∩P=φ, 于是A,B,C是MCn包含S的子半群，由S的極大性得，S=A或S=B或S=C,與假設(shè)矛盾。

情形1若λ1,ρ1∈S,容易驗(yàn)證,e=λ1ρ1,f=ρ1λ1,注意到S∩{φ,ψ,λ1,ρ1}≠φ,S∩{φ,ψ,λ2,ρ2}≠φ, 考慮以下4種情形:

情形1.1若λ1,ρ1,φ∈S,容易驗(yàn)證,λ2=φλ1,ρ2=ρ1φ,ψ=ρ1φ2λ1即(R*(1,2)∪R*(n-1,n)?S。注意到,S∩R*(r,r+1)≠φ,2≤r≤n-1，由引理2得到=MCn,由于S是MCn的子半群，有S==MCn。

情形1.2若λ1,ρ1,ψ∈S,容易驗(yàn)證,λ2=λ1ψ,ρ2=ψρ1,φ=λ1ψρ1,即(R*(1,2)∪R*(n-1,n)?S。類似情形1.1可得S==MCn。

情形1.3若λ1,ρ1,λ2∈S,容易驗(yàn)證，φ=λ2ρ1,ρ2=ρ1λ2ρ1,ψ=ρ1λ2。類似情形1.1可得S==MCn。

情形1.4若λ1,ρ1,ρ2∈S,容易驗(yàn)證,φ=λ1ρ2,ψ=ρ2λ1,λ2=λ1ρ2λ1.類似情形1.1可得S==MCn。

情形2若λ1,ρ2∈S, 容易驗(yàn)證,e=(λ1ρ2)2,f=(ρ2λ1)2,φ=λ1ρ2,

ψ=ρ2λ1,λ2=λ1ρ2λ1,ρ1=ρ2λ1ρ2，即(R*(1,2)∪R*(n-1,n))?S。注意到，對任意2≤r≤n-2 ，有S∩R*(r,r+1)≠φ,有引理2得到,S==MCn。

情形3若λ2,ρ1∈S, 容易驗(yàn)證，e=(λ2ρ1)2,f=(ρ1λ2)2,φ=λ2ρ1,ψ=ρ1λ2,

λ1=λ2ρ1λ2,ρ2=ρ1λ2ρ1即(R*(1,2)∪R*(n-1,n))?S.注意到,對任意 2≤r≤n-2,有S∩R*(r,r+1)≠φ,有引理2得到，S==MCn。

情形4若λ2,ρ2∈S, 容易驗(yàn)證，e=λ2ρ2,f=ρ2λ2。注意到,S∩{φ,ψ,λ1,ρ1}≠φ,S∩{φ,ψ,λ2,ρ2}≠φ。類似情形1可得S==MCn。

以上情形都與S是MCn的極大子半群矛盾，因此，MCn的極大子半群有且僅有定理中的形式。

參考文獻(xiàn)：

[1]YANGXL.MaximalSubsemigroupsoftheFiniteTransformationSemigroup[J].CommunicationsinAlgebra,2001,29(3):1175-1182.

[2]YANGHB,YANGXL.MaximalSubsemigroupsofFinitetransformationSemigroupsK(n,r)[J].ActaMathematiaSinica,2004,20(3):475-482.

[3] 徐波.保序壓縮變換半群的極大半子半群[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然學(xué)科版)，2012,30(4):63-65.

[4] 徐波，趙平，李俊揚(yáng).有限部分保序半群的具有某種性質(zhì)的極大子半群(英)[J].數(shù)學(xué)雜志，2010,39(4):617-621.

[5] 趙平，游泰杰，徐波.方向保序變換半群的極大子正則子半群[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2011,49(2):203-206.

[6] 高榮海，徐波.單調(diào)壓縮變換半群的秩[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2013,43(15):259-262.

[7] 高榮海，徐波.關(guān)于保序壓縮奇異變換半群的秩[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)， 2011，46(6):4-7.

[8] 高榮海，喻秉鈞.保序壓縮半換半群的理想的極大子半群[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014,37(5):643-648.

[9] 趙平,胡華碧,徐波.方向保序或反方向保序變換半群的極大正則子半群[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2011,46(12):60-65.

[10]HOWIEJM.FundamentalsofSemigroupTheory[M].London:OxfordPress,1995.

[11]YOUTaijie.Maximalregularsubsemigroupsofcertainsemigroupsoftransformations[J].SemigroupForum,2001,64:391-396.

[12]YANGXiuliang,LVChunghan.Maximalpropertiesofsomesubsemigroupsinfiniteorder-preservingtransformationsemigroups[J].CommunicationsinAlgebra,2000,28:3125-3135.

[13]張傳軍,林屏峰,馬敏耀.有限保序變換半群的極大子半群[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,24(4):82-85.

[14]YANGXiuliang.Aclassificationofmaximalsemigroupsoffiniteoeder-preservingtransformations[J].CommunicationsinAlgebra,2000,28:1503-1513.

[15]ZHAOPing，XUBo.Locallymaximalidempotent-generatedsubsemigroupsofsingularorientation-preservingtransformationsemigroups[J].SemigroupForum，2008,77(2):187-195.

[16]徐波,馮榮全,高榮海.一類變換半群的秩[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2010,40(8):222-224.

[17]ZHAOPing.Aclassificationofmaximalidempotent-generatedsubsemigroupsofsingularorientation-preservingtransformationsemigroups[J].SemigroupForum，2009,79(2):377-384.

[18]YOUTaijie，YANGXiuliang.Aclassificationofthemaximalidempotent-generatedsubsemigroupsoffinitesingularsemigroups[J].SemigroupForum，2002,64(2):236-242.

文章編號：1004—5570(2016)03-0071-04

收稿日期：2015-12-30

作者簡介：陳皝皝(1990-),女,在讀碩士研究生,研究方向:半群及編碼理論,E-mail:1375607781@qq.com.

中圖分類號：O152.7

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

The maximal subsemigroups of the semigroup of monotone compression singular transformation

CHEN Huanghuang,JIN Jiulin

(School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal University, Guiyang，Guizhou 550001, China)

Abstract:Suppose Xn={1,2,…，n}(n≥4), and it has the order of natural numbers, the structure and classification of the maximal subsemigroups of monotonic compression singular transformation semigroup on Xn is obtained.

Key words:transformation semigroup; monotone compression; maximal subsemigroup