一類(1+1)維非線性微分方程的不變集與精確解

張亞敏，竇曉霞

(寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 寶雞　721013)

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一類(1+1)維非線性微分方程的不變集與精確解

張亞敏，竇曉霞

(寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 寶雞721013)

摘要：不變集方法是構(gòu)造非線性偏微分方程精確解的一種有效方法，文章利用不變集思想方法，討論了(1+1)維偏微分方程ut=A(u)uxxx+B(u)uxuxx+C(u)(uuxx)x+D(u)ux+P(u)問題，并得某些情況下方程的精確解。

關(guān)鍵詞：不變集；精確解；伸縮不變集；旋轉(zhuǎn)不變集

0引言

并利用s1討論了一些方程的精確解。本文通過建立不變集

E0={u:ux=g′(x)F(u)}，研究非線性偏微分方程

ut=A(u)uxxx+B(u)uxuxx+C(u)(uuxx)x+D(u)ux+P(u)

的精確解。

1非線性偏微方程不變集與精確解

考慮非線性方程

ut=A(u)uxxx+B(u)uxuxx+C(u)(uuxx)x+D(u)ux+P(u)

(1)

其中A(u),B(u),C(u),D(u),P(u)為關(guān)于u的光滑函數(shù)。 引入不變集

E0={u:ux=g′(x)F(u)},

其中F是由不變條件

u(x,0)∈E0?u(x,t)∈E0，t∈(0,1)

所確定的函數(shù)。當u∈E0時，方程有形如

的解，由E0得下列式子

ux=g′F

uxx=g″F+(g′)2F′F(uuxx)x=g?uF+g′g″(uF)′F+2g′g″uF′F+(g′)3(uF′F)′F

(2)

uxxx=g?F+3g′g″F′F+(g′)3(F′F)′F

ut=h′F

假定方程(1)在E0中不變，把(2)代入(1)中，得

(3)

下面取一些特殊情況的g(x)來確定不變集和構(gòu)造方程(1)的相應(yīng)的解。

(4)

對(4)兩邊分別求關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，得

上面方程系數(shù)滿足的約束條件為

3AF′+BF+CF+3CuF′+D=0

A(F′F)′+BF′F+C(uF′F)′=0

其中c1為任意常數(shù)。

下面分情況討論方程(1)的精確解

1)令A(yù)=um,F=u,B=0則

故方程

2)令A(yù)=um,F=u,C=0則

P=c1u,B=-um-1,D=-2um,

故方程

ut=umuxxx-um-1uxuxx-2umux+c1u

3)令A(yù)=um,F=u,D=0則

P=c1u,C=-um-1,B=um-1,

故方程

ut=umuxxx+um-1uxuxx-um-1(uuxx)x+c1u

4)令A(yù)=um,F=uk,B=0則

故方程

5)令A(yù)=um,F=uk,C=0則

P=c1uk,B=-(2k-1)um-1,

D=-(k+1)uk+m-1,

故方程

ut=umuxxx-(2k-1)um-1uxuxx-(k+1)uk+m-1ux+c1uk

6)令A(yù)=um,F=uk,D=0則

P=c1uk,C=-um-1,B=um-1,

故方程

ut=umuxxx+um-1uxuxx-um-1(uuxx)x+c1uk

7)令A(yù)=um,F=eku,B=0則

故方程

8)令A(yù)=um,F=eku,C=0則

P=c1eku,B=-2kum,D=-kumeku,

故方程

ut=umuxxx-2kumuxuxx-kumekuux+c1eku

9)令A(yù)=um,F=eku,D=0則

P=c1eku,C=-um-1,B=um-1,

故方程

ut=umuxxx+um-1uxuxx-um-1(uuxx)x+c1eku

其中上面出現(xiàn)的c1,c2,c3為任意常數(shù)。

1.2情形2當g=lnx時；

對上式兩邊分別求關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，得

上面方程系數(shù)滿足的約束條件為

A(2-3F′+(F′F)′)-B(F-F′F)+C(2u-F-3uF′+(uF′F)′)=0

D′F-D=0

其中c1為任意常數(shù)。

下面分情況討論方程的精確解

故方程

2)令B=0，C=um，F(xiàn)=uk，則

故方程

3)令C=0，B=um，F(xiàn)=uk，(k≠1)，

故方程

4)令A(yù)=0,C=um,F=eku,則

故方程

有解e-ku=-k(lnx+c1t+c2)；

5)令A(yù)=0,C=um,F=1+u2，則

+um(uux)x+c3earctan uux+c1(1+u2)

有解u=tan(lnx+c1t+c2)；

6)令A(yù)=0,C=um,F=sinu，則

D=c3(cscu-ctanu),P=c1sinu

故方程

其中上面出現(xiàn)的c1,c2,c3為任意常數(shù)。

2結(jié)束語

本文運用不變集思想方法求得一類(1+1)維非線性偏微分方程的精確解，此方法運用起來簡便有效，也可以用于求解其它一些非線性微分方程。

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文章編號：1004—5570(2016)03-0060-04

收稿日期：2015-11-22

基金項目：陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計劃資助項目(2014JM1027)；陜西省教育廳科研計劃項目(2013JK0572)；寶雞市科技計劃項目(2013R7-3)；寶雞文理學(xué)院重點科研項目(Zk2546)

作者簡介：張亞敏(1978-)，女，碩士，講師，研究方向：偏微分方程的精確解，E-mail：bjzhangyamin@126.com.

中圖分類號：O175.2

文獻標識碼：A

Invariant sets and exact solutions to the (1+1) dimensional nonlinear partial differential equation

ZHANG Yamin，DOU Xiaoxia

(Department of Mathematics, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji,Shaanxi 721013, China)

Abstract:Invariant sets is very effective to construct the exact solutions of the nonlinear PDEs, Using the invariant set, we obtain the exact solutions to the noline differential equation ut=A(u)uxxx+B(u)uxuxx+C(u)(uuxx)x+D(u)ux+P(u) in some special case.

Key words:invariant set; exact solution; scaling invariant set; rotation invariant set