GA-凸函數(shù)的 Fejér型不等式

時(shí)統(tǒng)業(yè)，吳　涵，尹亞蘭

(海軍指揮學(xué)院 信息系,江蘇 南京　211800)

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GA-凸函數(shù)的 Fejér型不等式

時(shí)統(tǒng)業(yè)，吳涵，尹亞蘭

(海軍指揮學(xué)院 信息系,江蘇 南京211800)

摘要：研究GA-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式和Fejér型不等式?jīng)Q定的差值。 對二階可微的GA-凸函數(shù)，給出這些差值的上下界。 對一階可微的GA-凸函數(shù)，給出由Hermite-Hadamard型不等式和Fejér型不等式構(gòu)成的函數(shù)的單調(diào)性的充分條件。

關(guān)鍵詞：GA-凸函數(shù);凸函數(shù);Fejér型不等式;Hermite-Hadamard型不等式;單調(diào)性

0引言

已有文獻(xiàn)對GA-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式和與GA-凸函數(shù)相關(guān)的函數(shù)的準(zhǔn)線性、單調(diào)性、凸性作了研究[1-10]。研究GA-凸函數(shù)可以借鑒研究通常凸函數(shù)的方法。文[11]利用導(dǎo)數(shù)的條件，建立涉及函數(shù)增量的不等式，然后通過積分得到由凸函數(shù)的Fejér型不等式生成的函數(shù)的上下界。本文將仿照文[11]的方法，研究由GA-凸函數(shù)的Fejér型不等式(見下面的不等式(1)和(2))生成的差值，在一定條件下給出這個(gè)差值的上下界，并研究生成函數(shù)的單調(diào)性，對一階或二階可微的GA-凸函數(shù)建立一些新的Fejér型不等式。我們需要下面GA-凸函數(shù)的定義、性質(zhì)和Fejér型不等式。

定義1[1]設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I?(0，+∞)上的函數(shù)，如果對于任意x1，x2∈I和t∈(0，1)，有

則稱f(x)在區(qū)間I上是GA-下凸的；如果上面不等號反向，則稱f(x)在區(qū)間I上是GA-上凸的。

定理A[1]設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I?(0，+∞)上的函數(shù)，f(x)在I上存在二階導(dǎo)數(shù)，則f(x)為區(qū)間I上GA-下凸函數(shù)的充要條件是對任意x∈I有xf″(x)+f′(x)≥0。

定理B[2]設(shè)f(x)是定義在區(qū)間[a，b]?(0，+∞)上的GA-下凸函數(shù)，則

2)對任意x，y∈(a，b)，有

定理C[3]設(shè)f：[a，b]?(0，+∞)→是可積的GA-下凸函數(shù)，則有

(1)

定理D[4]設(shè)f：[a，b]?(0，+∞)→是GA-下凸函數(shù)，g(x)是[a，b]上正的可積函數(shù)且滿足，則有

(2)

1主要結(jié)果

定理1設(shè)f：[a，b]?(0，+∞)→是二階可微函數(shù)，且存在常數(shù)m和M，使得m≤f′(x)+xf″(x)≤M，則對任意λ∈[0，1]，有

m(a+b-a1-λbλ-aλb1-λ)≤f(a)+f(b)-f(a1-λbλ)-f(aλb1-λ)≤M(a+b-a1-λbλ-aλb1-λ)，

(3)

當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=mx+c(c為常數(shù))時(shí)式(3)的左邊等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=Mx+c (c為常數(shù))時(shí)式(3)的右邊等號成立。

證明由對稱性，不妨設(shè)λ∈[0，1/2]，利用Newton-Leibniz公式和變量代換得

f(a)+f(b)-f(a1-λbλ)-f(aλb1-λ)=

由Lagrange中值定理，存在ξ∈[u，ab/u]，使得

因?yàn)閙≤f′(x)+xf″(x)≤M，故有

(4)

于是有

f(a)+f(b)-f(a1-λbλ)-f(aλb1-λ)≤

也即式(3)成立。

由上面證明可知，式(3)的左邊等號成立當(dāng)且僅當(dāng)式(4)的左邊等號成立，即f′(x)+xf″(x)≡m，也即f(x)=mx+c，其中c為常數(shù)。同理可證當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=Mx+c (c為常數(shù))時(shí)式(3)的左邊等號成立。

0≤f(a)+f(b)-f(a1-λbλ)-f(aλb1-λ)≤M(bλ-aλ)(b1-λ-a1-λ)

當(dāng)且僅當(dāng)f(x)恒為常數(shù)時(shí)左邊等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=Mx+c (c為常數(shù))時(shí)右邊等號成立。

證明因f是二階可微的GA-下凸函數(shù)，由定理A有f′(x)+xf″(x)≥0，在定理1中取m=0則推論得證。

定理2設(shè)條件同定理1，則有

(5)

當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=mx+c (c為常數(shù))時(shí)左邊等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=Mx+c (c為常數(shù))時(shí)右邊等號成立。

證明式(3)對λ在[0，1]上積分后得證。

推論2.1設(shè)條件同推論1.1，則有

當(dāng)且僅當(dāng)f(x)恒為常數(shù)時(shí)左邊等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=Mx+c (c為常數(shù))時(shí)右邊等號成立。

證明因f是二階可微的GA-下凸函數(shù)，由定理A有f′(x)+xf″(x)≥0，在定理2中取m=0則推論得證。

定理3設(shè)條件同定理1，則有

(6)

當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=mx+c (c為常數(shù))時(shí)左邊等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=Mx+c (c為常數(shù))時(shí)右邊等號成立。

證明在定理1中，取λ=1/2，得

以a1-λbλ，aλb1-λ分別代替a，b，得

(7)

式(7)對λ在[0，1]上積分后定理得證。

推論3.1設(shè)條件同推論1.1，則有

當(dāng)且僅當(dāng)f(x)恒為常數(shù)時(shí)左邊等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=Mx+c (c為常數(shù))時(shí)右邊等號成立。

(8)

(9)

當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=mx+c (c為常數(shù))時(shí)左邊等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=Mx+c (c為常數(shù))時(shí)右邊等號成立。

證明式(3)乘以p(a1-λbλ)，然后對λ在[0，1]上積分，并利用下面事實(shí)：

則式(8)得證。式(7)乘以p(a1-λbλ)，同理可證式(9)。

在[a，b]上單調(diào)不減，于是有

2)若xf′(x)單調(diào)不減且非負(fù)，p(x)單調(diào)不減，則

在[a，b]上單調(diào)不減，于是有

證明1)F(x)在[a，b]上是連續(xù)的。對任意x∈(a，b)，有

由Cauchy中值定理，存在ξ∈(a，x)，使得

2)G(x)在[a，b]上是連續(xù)的。對任意x∈(a，b)，有

由Cauchy中值定理，存在ξ∈(a，x)，使得

故G′(x)≥0，即G(x)在[a，b]上單調(diào)不減。

在[a，b]上單調(diào)不減，于是有

(10)

在[a，b]上單調(diào)不減，于是有

(11)

注2設(shè)f的條件同定理1，則由定理A容易知道f(x)-mx和Mx-f(x)都是GA-下凸函數(shù)，用f(x)-mx和Mx-f(x)替代式(10)和(11)中的f(x)，得到下面定理2中式(5)和定理3中式(6)的改進(jìn)：

那么

1)若對任意x∈(a，b)，有f′(x)K′(x)≥0，則G(x)在[a，b]上單調(diào)不減；

2)若f(x)和p(x)都是[a，b]上單調(diào)的可微函數(shù)，且單調(diào)性相反，則G(x)在[a，b]上單調(diào)不減。

證明G(x)在[a，b]上連續(xù)。當(dāng)x∈(a，b)時(shí)，有

因f是GA-下凸函數(shù)，故由定理B有f(x)-f(t)≤xf′(x)(lnx-lnt)，于是有

(12)

其中

2)L(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上

若p(x)在[a，b]上單調(diào)不增，f(x)在[a，b]上單調(diào)不減，則對任意x∈(a，b)，p′(x)≤0，f′(x)≥0，故有L′(x)≥0，即L(x)在[a，b]上單調(diào)不減，于是有L(x)≥L(a)=0，進(jìn)而由式(12)可知對任意x∈(a，b)有G′(x)≥0，即G(x)在[a，b]上單調(diào)不減。同理可證若p(x)在[a，b]上單調(diào)不減而f(x)在[a，b]上單調(diào)不增時(shí)，G(x)在[a，b]上單調(diào)不減。

在[a，b]上單調(diào)不減。

證明在定理6中取p(x)≡1，則K(x)≡1/2，則由定理6的(1)可知G(x)在[a，b]上單調(diào)不減。

參考文獻(xiàn)：

[1] 吳善和.GA-凸函數(shù)與琴生型不等式[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004，22(2)：52-55.

[2] 時(shí)統(tǒng)業(yè)，吳涵.GA-凸函數(shù)的若干不等式[J]. 湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，25(2)：7-10.

[3] 宋振云，萬學(xué)誠.GA-凸函數(shù)的Hadamard型不等式[J]. 科學(xué)技術(shù)與工程，2010，10(23): 5620-5622.

[4] 時(shí)統(tǒng)業(yè)，施未來，陸敏，等.GA-凸函數(shù)的Hadamard型不等式的推廣[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2013，29(2)：59-64.

[5] 華云.關(guān)于GA-凸函數(shù)的Hadamard型不等式[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2008，24(2)：147-149.

[6] 華云.與GA凸函數(shù)相關(guān)的函數(shù)的準(zhǔn)線性[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2009，25(6)：193-196.

[7] 時(shí)統(tǒng)業(yè)，吳涵.與GA-凸函數(shù)有關(guān)的兩個(gè)函數(shù)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2012，42(10)： 230-237.

[8] 鄧志穎，劉祥清，沈世云.GA-凸函數(shù)的Hadamard型不等式的改進(jìn)和應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2012，42(20)：201-207.

[9] 時(shí)統(tǒng)業(yè)，吳涵，焦寨軍.與GA-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式相關(guān)的兩個(gè)函數(shù)[J]. 貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，31(3)：59-63.

[10]錢偉茂，金小萍.與GA凸函數(shù)有關(guān)的幾個(gè)單調(diào)性定理[J]. 湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，30(1)：21-24.

[11]MINCULETE N,MITROI F C.Fejér-type inequalities[J/OL].arXiv：1105.5778v3 [math.CA]15 Dec 2011.

文章編號：1004—5570(2016)03-0042-06

收稿日期：2016-04-20

作者簡介：時(shí)統(tǒng)業(yè)(1963-),男，副教授，碩士，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究，E-mail：shtycity@sina.com.

中圖分類號：O178

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Fejér type inequalities for GA-convex functions

SHI Tongye,WU Han,YIN Yalan

(Department of Information, PLA Naval Command College, Nanjing, Jiangsu 211800, China)

Abstract:The differences generated by Hermite-Hadamard type inequality and Fejér type inequality for GA-convex functions are considered. Upper and lower bounds of the differences for twice differentiable GA-convex functions are obtained . The sufficient conditions on monotonicity of functions generated by Hermite-Hadamard type inequality and Fejér type inequality for differentiable GA-convex functions are given.

Key words:GA-convex function; convex function; Fejér type inequality;Hermite-Hadamard type inequality;monotonicity