改進(jìn)的自適應(yīng)遺傳算法在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

金立兵，胡 穎，祁繼鵬

(河南工業(yè)大學(xué) 土木建筑學(xué)院，河南 鄭州 450001)

0 引言

遺傳算法是由美國Michigan大學(xué)的John Holland教授[1]于20世紀(jì)70年代初期首先提出來的一種借鑒生物界自然選擇和自然遺傳機(jī)制的高度并行、隨機(jī)、自適應(yīng)搜索算法，其主要特點(diǎn)是整體搜索策略和優(yōu)化搜索方法在計(jì)算時(shí)不依賴于梯度信息或其他輔助知識(shí)，不依賴于問題的具體領(lǐng)域[2]，對問題的種類有很強(qiáng)的魯棒性[3].它尤其適用于處理傳統(tǒng)方法難以解決的復(fù)雜的非線性問題[4].遺傳算法作為一種新的全局優(yōu)化方法，已在很多學(xué)科中得到廣泛的應(yīng)用[5].但標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法在應(yīng)用中同樣存在一些缺陷，如易早熟、收斂速度慢、隨機(jī)性較大等缺點(diǎn)[6].

1994年，Srinivas等人[7]提出了一種根據(jù)適應(yīng)度動(dòng)態(tài)調(diào)整交叉概率和變異概率的自適應(yīng)遺傳算法，交叉概率Pc和變異概率Pm會(huì)根據(jù)個(gè)體適應(yīng)度f的大小自動(dòng)調(diào)節(jié).但在該算法中，個(gè)體適應(yīng)度越高，Pc和Pm越接近于0，在進(jìn)化初期，種群中的優(yōu)良個(gè)體結(jié)構(gòu)幾乎不會(huì)改變，因此有可能使算法搜索性能下降，產(chǎn)生早熟的概率變大.

本文基于Sigmoid函數(shù)，對自適應(yīng)遺傳算法進(jìn)行了改進(jìn)，設(shè)計(jì)了一種基于Sigmoid函數(shù)的Pc和Pm的調(diào)節(jié)公式，保證了最優(yōu)個(gè)體的Pc和Pm不為零，同時(shí)放緩了favg和fmax鄰域處的Pc和Pm函數(shù)曲線坡度.改進(jìn)后的自適應(yīng)遺傳算法很大程度上解決了一般自適應(yīng)遺傳算法中出現(xiàn)的不足.

1 改進(jìn)的自適應(yīng)遺傳算法

1.1 Sigmoid函數(shù)

Sigmoid曲線的函數(shù)圖像是S型曲線，是模擬生物在一定資源下數(shù)量增長趨勢的最優(yōu)數(shù)學(xué)模型.當(dāng)生物種群進(jìn)入到新的生態(tài)系統(tǒng)后，如果新環(huán)境適合該物種繁衍且資源滿足該物種其實(shí)數(shù)量，則種群數(shù)量會(huì)成指數(shù)增長；隨著種群數(shù)量的不斷增加，生存環(huán)境會(huì)發(fā)生惡化，食物、空間會(huì)變得稀缺，個(gè)體之間的競爭加劇，種群數(shù)量的增長會(huì)不斷放緩直至停止.

Sigmoid函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式[8]為：

函數(shù)圖像如下圖1所示.

圖1 Sigmoid曲線Fig. 1 Sigmoid function

根據(jù)圖1，可以發(fā)現(xiàn)該函數(shù)具有以下性質(zhì)：

1)定義域?yàn)?-∞, +∞)；

2)值域?yàn)閇0, 1]；

3)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為連續(xù)光滑函數(shù)且單調(diào)遞增；

1.2 改進(jìn)原則

本文根據(jù)以下原則建立了交叉概率Pc和變異概率Pm調(diào)節(jié)公式：個(gè)體適應(yīng)度值越小，則離最優(yōu)解鄰域越遠(yuǎn)，此時(shí)需要加大交叉概率，以大面積改變不良個(gè)體的模式；個(gè)體適應(yīng)度值越大，離最優(yōu)解越近，因此應(yīng)提高變異概率以加強(qiáng)局部搜索能力；減小交叉概率以防止優(yōu)良個(gè)體模式被大范圍破壞；種群中最優(yōu)個(gè)體的交叉概率和變異概率不應(yīng)為零.這是因?yàn)槟骋淮N群中的最優(yōu)個(gè)體不一定是全局最優(yōu)解，交叉概率和變異概率過小會(huì)使算法發(fā)生早熟的幾率增大；在區(qū)間[favg，fmax]調(diào)節(jié)公式不以線型變化[9].

1.3 調(diào)節(jié)公式的給出

根據(jù)上述改進(jìn)原則，并參考Sigmoid函數(shù)，提出如下公式：

Pc=

Pm=

圖2 Pc和Pm函數(shù)曲線Fig. 2 Pc和Pm Function curves

給出的調(diào)節(jié)公式依據(jù)個(gè)體適應(yīng)度，自適應(yīng)調(diào)節(jié)交叉概率Pc和變異概率Pm的大小.在區(qū)間(favg，fmax)，個(gè)體適應(yīng)度f′(或f)趨近于平均適應(yīng)度favg時(shí)，Pc趨近于Pc_max，Pm趨近于Pm_max；當(dāng)個(gè)體適應(yīng)度f′(或f)趨近于最大適應(yīng)度fmax時(shí)，Pc趨近于Pc_min，Pm趨近于Pm_min.在區(qū)間(fmin，favg)，這些較差個(gè)體的Pc=Pc_max，Pm=Pm_min.如此，可以保證種群中適應(yīng)度低于平均適應(yīng)度的個(gè)體，有較大幾率使經(jīng)過遺傳操作產(chǎn)生的新個(gè)體摒棄大量劣質(zhì)信息，適應(yīng)度有較大提高；適應(yīng)度高于平均適應(yīng)度的個(gè)體，經(jīng)遺傳操作產(chǎn)生的新個(gè)體多在局部變化，使本就接近最優(yōu)解鄰域的個(gè)體快速收斂到最優(yōu)解.

2 應(yīng)用算例

如圖3所示為一懸臂桁架的結(jié)構(gòu)示意圖.

圖3 例圖Fig. 3 Illustration

由圖3可知，該桁架所有節(jié)點(diǎn)為可動(dòng)節(jié)點(diǎn)，材料彈性模量E=6.896×104MPa，泊松比0.3，材料允許應(yīng)力為[σ]=172.4 MPa，節(jié)點(diǎn)1、2、3、4都有y方向的位移最大允許值[δ]=50.8 mm，材料密度ρ=2715 kg/m3，P1=P2=444.89 kN，桿件截面積要求為：A1=A2=A3=A4，A5=A6，A7=A8=A9=A10，截面面積上下界分別為2×104mm2和64.5 mm2.優(yōu)化的目標(biāo)是找到這個(gè)負(fù)載桁架的每個(gè)桿的截面面積以使建造它的材料總質(zhì)量最小.

解：由結(jié)構(gòu)特性可知，該問題的設(shè)計(jì)變量為10個(gè)桿件的截面積，初始種群規(guī)模為80，一般自適應(yīng)遺傳算法和改進(jìn)后的自適應(yīng)遺傳算法選取參數(shù)Pc_max=0.8，Pc_min=0.4，Pm_max=0.035，Pm_min=0.005.用改進(jìn)自適應(yīng)遺傳算法得出的計(jì)算結(jié)果與一般自適應(yīng)遺傳算法的計(jì)算結(jié)果對比如表1和表2所示.

表1 截面面積優(yōu)化結(jié)果Tab. 1 Sectional area optimization results

表2 優(yōu)化結(jié)果對比Tab. 2 Optimization results contrast

通過表2中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，采用改進(jìn)后的自適應(yīng)遺傳算法與標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法相比，材料總重量相差(2276.4-2183.7)/2276.4=4.1%，收斂代數(shù)相差53-39=14，計(jì)算結(jié)構(gòu)總重量有所降低的同時(shí)收斂速度更快.

3 結(jié)論

對自適應(yīng)遺傳算法進(jìn)行了改進(jìn)，設(shè)計(jì)了一種新的交叉概率和變異概率的調(diào)節(jié)公式，不需要通過反復(fù)的大量實(shí)驗(yàn)來選取合適的控制參數(shù)；克服了一般自適應(yīng)遺傳算法在進(jìn)化初期精英個(gè)體幾乎不變化，進(jìn)化后期部分局部解交叉概率和變異概率可能過低的問題.同時(shí)，在解決算法的早熟問題和加快算法的收斂速度的方面表現(xiàn)出良好的結(jié)果.對懸臂桁架的優(yōu)化結(jié)果表明，改進(jìn)的遺傳算法有效地提高了算法的計(jì)算效率及精度.本文為自適應(yīng)遺傳算法在大型土木建筑結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中的推廣應(yīng)用提供了理論支持.