一類 Kirchhoff型問(wèn)題正解的存在性

李紅英, 韓建新

(1. 西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院, 四川 南充 637002; 2. 遵義師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 貴州 遵義 563002; 3. 信陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 信陽(yáng) 464000)

0 引言與預(yù)備知識(shí)

考慮如下一類Kirchhoff型問(wèn)題

其中:Ω?R3是一個(gè)非空有界開(kāi)集;a,b≥0且a+b>0;ν,λ>0為參量.當(dāng)a=1,b=0時(shí),問(wèn)題(1)退化到經(jīng)典的半線性橢圓方程.當(dāng)a=1,b=0,0<λ<λ1時(shí),早在1983年BRéZIS在文獻(xiàn)[1]中利用變分方法獲得問(wèn)題(1)正解的存在性,這里λ1為-Δ算子的第一個(gè)特征值.當(dāng)b>0時(shí),問(wèn)題(1)是近年研究的熱門問(wèn)題——Kirchhoff型問(wèn)題.關(guān)于Kirchhoff型問(wèn)題解的存在性及多重性已有許多結(jié)果[2-8].特別地,2013年,孫吉江和唐春雷老師在文獻(xiàn)[5]中研究了如下問(wèn)題:

其中h∈L2(Ω),g∈C(R,R)且滿足如下條件

定義

且

并得到了如下結(jié)果:

定義I為問(wèn)題(1)對(duì)應(yīng)的能量泛函,即

眾所周知,問(wèn)題(1)的解與能量泛函I的臨界點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.

為了書(shū)寫(xiě)方便,記

為空間Ls(Ω)(0

1 主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè)a,b>0,則若0<νaλ1，問(wèn)題(1)至少有一個(gè)正基態(tài)解;若ν>bν1,對(duì)一切的0<λ

證明分兩步來(lái)證明定理1.

由Poincaré不等式,有

從而根據(jù)式(3)和式(4),可得

即m<0.

由I(|un|)=I(un),不妨假設(shè)un(x)≥0對(duì)任意的x∈Ω都成立,從而對(duì){un}的一個(gè)子列(為了方便,仍記為{un}),存在一個(gè)u*≥0使得

當(dāng)n→時(shí)都成立,從而只需要證明:當(dāng)n→時(shí),un→u*在中成立.不妨記wn=un-u*,由式(6),可得

(7)

進(jìn)一步,可得

(8)

這里o(1)是n→時(shí)的無(wú)窮小量.再結(jié)合式(6)，式(7)和式(8),可得

第二步,考慮ν≥bν1且0<λ

(i)存在R,ρ>0,使得當(dāng)‖u‖=R時(shí)I(u)≥ρ;

事實(shí)上,根據(jù)式(5)可知，

I(un)→c,I′(un)→0,

(9)

1+c+o(1)‖un‖≥

當(dāng)n→時(shí)都成立.只需要證明:在中當(dāng)n→時(shí),un→v*.不妨記wn=un-v*.由式(10),可得

(11)

2‖wn‖2‖v*‖2+o(1).

(12)

由式(9)，可得

進(jìn)一步,根據(jù)式(10)、式(11)和式(12),可得

a‖wn‖2+a‖v*‖2+b‖wn‖4+

2b‖wn‖2‖v*‖2+b‖v*‖4-

再次利用式(9),有

a‖wn‖2+b‖wn‖4+b‖wn‖2‖v*‖2=o(1),

即有

al2+bl4+bl2‖v*‖2=0.

最后,證明問(wèn)題(1)有一個(gè)正的山路解.定義

其中

2 討論

當(dāng)a=0,b>0, 問(wèn)題 (1) 被稱為退化的奇異Kirchhoff型方程.此時(shí),若0<ν0,同樣可以獲得問(wèn)題(1)至少有一個(gè)正基態(tài)解.定理1的結(jié)果補(bǔ)充并完善了文獻(xiàn)[5]的結(jié)果,同時(shí)也是文獻(xiàn)[1]中對(duì)應(yīng)的結(jié)果在Kirchhoff型問(wèn)題中的推廣.