具有飽和發(fā)生率和時(shí)滯的脈沖SEIR模型分析

謝棟梁，盧金梅，李永鳳

(鄭州輕工業(yè)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 河南 鄭州 450002)

0 引言

眾所周知，脈沖接種疫苗是控制傳染病傳播的一種有效方法.在文獻(xiàn)[1]中,AGUR等研究了麻疹接種疫苗的作用機(jī)制.隨后，對(duì)脈沖接種疫苗的研究有很多報(bào)道[2,3].理論結(jié)果表明,脈沖接種策略區(qū)別于傳統(tǒng)策略之處是脈沖接種策略可以用相對(duì)較低的疫苗接種量使疾病消滅[1，4].

許多作者提出了具有非線性發(fā)生率的流行病模型[5,6].例如,非線性發(fā)生率βSI/(1+αS),其中：βSI表示疾病的傳染能力,1/(1+αS)表示當(dāng)易感人數(shù)增加或者感染人群聚集時(shí)行為變化導(dǎo)致的抑制效應(yīng).此發(fā)生率比βSI更合理,因?yàn)樗ǜ腥拘詡€(gè)體的行為變化、擁擠效應(yīng)以及選擇合適參數(shù)以免接觸率的無界性.

一般來說,在潛伏期和染病期內(nèi)的死亡人口數(shù)量應(yīng)予考慮,即所謂的“時(shí)滯”現(xiàn)象.所以,時(shí)滯在流行病模型中具有重要的生物學(xué)意義.很多文獻(xiàn)都研究過流行病模型的時(shí)滯問題，大多數(shù)研究文獻(xiàn)通過常微分方程[5,7]、時(shí)滯微分方程[8,9]、脈沖微分方程[10,11]建立SEIR或SEIRS流行病模型.但是,研究脈沖影響的時(shí)滯流行病模型還很有限.

本文建立了一個(gè)新的具有飽和發(fā)生率、時(shí)滯和脈沖的SEIR流行病模型，主要給出了時(shí)滯脈沖模型無病周期解的具體表達(dá)式以及建立疾病死亡的充分條件,即討論無病周期解的全局吸引性.

1 模型

假設(shè)總?cè)丝跒镹,總?cè)丝趧澐譃?類：易感人群、潛伏人群、感染人群和恢復(fù)人群,分別用S、E、I、R表示.對(duì)于這4類人群自然死亡率均假設(shè)為同一常數(shù)μ，感染者人口的因病死亡率為γ，易感人群的增量為常量為μK，非線性發(fā)病率為βSI/(1+αS),其中β是傳染率，α表示飽和程度.疾病的潛伏期是ω，感染期為τ.在潛伏期內(nèi)，考慮潛伏人群的死亡率為

在整個(gè)染病期間感染人群的死亡率為

成功接種疫苗的比率稱為脈沖接種率為p(0

(1)

其中所有的系數(shù)都是正常數(shù)，Z+表示正整數(shù)的集合.總?cè)丝贜(t)=S(t)+E(t)+I(t)+R(t)，由下面的微分方程決定:

由方程(2),易知N(t)≤μK-μN(yùn)(t).當(dāng)t充分大時(shí)N(t)≤K.因?yàn)镽(t)=N(t)-S(t)-E(t)-I(t),則系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(3)

下面主要考慮系統(tǒng)(3).令ω+τ=l,系統(tǒng)(3)的初值條件為

(φ1(θ),φ2(θ),φ3(θ),φ4(θ))∈C+=

φi(0)>0,i=1,2,3,4.

(4)

記Ω={(S,E,I,N)∈R4|S≥0,E≥0,I≥0,0≤N≤K}.易知對(duì)于具有初值(4)的系統(tǒng)(3)來說Ω是正不變的.考慮到生物學(xué)意義,在閉集Ω上討論系統(tǒng)(3).

2 引理

引理1[14]考慮下面的脈沖微分方程

其中a>0,b>0,0

引理2[15,16]考慮方程

其中a1>0,a2>0,τ>0,當(dāng)-τ≤t≤0時(shí)x(t)>0,有下列結(jié)論成立：

3 無病周期解的全局吸引性

如果無病周期解存在，則感染者的數(shù)量最終將消失，即I(t)=0.在此條件下,易感人數(shù)、潛伏人數(shù)和總?cè)藬?shù)必須滿足:

由引理1可知，系統(tǒng)(7)的周期解

(8)

其中

證明由系統(tǒng)(3)的第一個(gè)方程,可得

因此，考慮比較脈沖微分系統(tǒng)

由引理1可知，系統(tǒng)(9)的周期解

是全局漸近穩(wěn)定的.

(10)

由系統(tǒng)(3)的第三個(gè)方程及不等式(10)可知,當(dāng)t>kT+ω,k>k1時(shí)，

考慮到I(t)的正性以及引理2易知，如果

則

因此,對(duì)于任意的ε1>0(充分小),存在一個(gè)整數(shù)k2>k1(其中k2T>k1T+ω),使得對(duì)于所有的t>k1T有I(t)<ε1，從而當(dāng)t>k2T時(shí)，有

由比較定理,易知存在一個(gè)整數(shù)k3>k2,使得對(duì)于任意的t>k3T有

由式(11)和式(13)可知,存在k4>k3，使得當(dāng)t>k4T時(shí)，

I(t)<ε2,N(t)>K-ε2,

(14)

則由系統(tǒng)(3)的第二個(gè)方程可知,當(dāng)t>k4T時(shí),

由引理2可知，當(dāng)t>k5T(k5>k4)時(shí),

鑒于E(t)的正性以及ε2充分小,由式(15)得

而且,由式(14)和系統(tǒng)(3)的第一個(gè)方程可得，當(dāng)t>k5T時(shí)，

對(duì)于t>kT(k>k5)，考慮比較脈沖微分方程

由引理1可知，系統(tǒng)(17)的周期解

是全局漸近穩(wěn)定的.

由引理2和脈沖微分方程的比較定理,存在一個(gè)整數(shù)k6>k5，使得當(dāng)kTk6時(shí)，

由于ε3充分小,由式(10)和式(18)有

是全局吸引的，即,

推論3 對(duì)于系統(tǒng)(3),有

4 結(jié)束語