保持粒子多樣性的非退化粒子濾波方法研究

吳　昊，孫曉燕，郭玉堂，劉路路，沈　晶

(1.中國礦業(yè)大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，江蘇徐州 221008； 2.合肥師范學(xué)院計算機學(xué)院,安徽合肥 230601)

保持粒子多樣性的非退化粒子濾波方法研究

吳昊1,2，孫曉燕1，郭玉堂2，劉路路2，沈晶2

(1.中國礦業(yè)大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，江蘇徐州 221008； 2.合肥師范學(xué)院計算機學(xué)院,安徽合肥 230601)

針對現(xiàn)有粒子濾波算法中的粒子退化問題以及重采樣所引起的粒子多樣性減弱問題，將自適應(yīng)遺傳算法與粒子濾波結(jié)合設(shè)計一種新的非退化粒子濾波算法.該算法通過對粒子使用遺傳算子操作以保證粒子的多樣性和有效性，根據(jù)粒子在前一時刻計算出來的先驗信息自適應(yīng)地實時調(diào)節(jié)當(dāng)前時刻的遺傳操作概率，有效增加了粒子對系統(tǒng)狀態(tài)變化的適應(yīng)性.實驗結(jié)果表明，該算法可有效提高非線性系統(tǒng)狀態(tài)的估計精度，尤其在系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生突變的時候，可以得到較好的估計精度.

粒子濾波；遺傳算法；粒子退化；自適應(yīng)；粒子多樣性

1　引言

粒子濾波PF[1～3](Particle Filter)是一種用于解決非線性濾波問題的濾波器.自上世紀(jì)70年代以來，解決非線性濾波問題最經(jīng)典的是卡爾曼濾波(Kalman Filter,KF)以及寅生的擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter,EKF)、無香卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter,UKF)等，但是所有這些方法都依賴于高斯假設(shè)，但實際場合往往受環(huán)境影響，大部分不服從高斯分布.還有一種長解決非線性濾波問題的叫蒙特卡羅算法，但其存在嚴(yán)重的樣本權(quán)值退化問題，直到1993年，Gordon等人[1]將重采樣技術(shù)(Sampling Importance Resampling,SIR算法)引入蒙特卡羅重要性采樣過程，提出一種自舉濾波器，有效地解決了樣本權(quán)值退化問題，即正則化粒子濾波算法(Regularized Particle Filter,RPF)；1999年，Carpenter等人[4]通過對這一類重采樣算法進行概括總結(jié)，首次提出粒子濾波器的概念以及較著名的改進算法，如輔助粒子濾波器[5](Auxiliary Particle Filter,APF)、Unscented粒子濾波器[6](Unscented Particle Filter,UPF)、帶進化選擇的GF算法[7]、S-AGA算法[8]等.

當(dāng)前，粒子濾波還普遍存在著粒子退化問題[9]、粒子多樣性保持問題、運算時間較長等問題.如文獻[1]RPF算法雖然可以部分解決粒子退化問題，但同時也降低了粒子多樣性，使得系統(tǒng)狀態(tài)在發(fā)生劇烈變化的時候難以得到正確的估計.文獻[10]提出一種部分分層的重采樣算法，可以快速完成重采樣步驟，節(jié)省時間耗費，但同時也降低了粒子多樣性.自適應(yīng)類粒子濾波算法[11]，重采樣需要通過在線計算并監(jiān)視特定的有效樣本量來確定，Moral等人[12]針對這類自適應(yīng)重采樣策略及其收斂性進行了詳細的分析，但頻繁的重采樣使得粒子的多樣性同樣無法得到保持.左軍毅等人[13]提出了一種自適應(yīng)的部分重采樣方法，這種改進方法實際上是在退化現(xiàn)象和多樣性之間做了適度的折中.文獻[14]提出一種改進的重采樣方法，即靈敏重采樣算法，該算法能夠保持樣本的多樣性，提高粒子濾波算法的估計準(zhǔn)確性.但是，該算法增加了計算時間.Li[15]等人提出了一種確定性重采樣方法，但該方法只能在低維狀態(tài)空間的狀態(tài)估計問題中取得相對準(zhǔn)確的結(jié)果.當(dāng)前，引入基于生物遺傳進化機制的采樣方法也是研究熱點，Xu[16]、Zhong等人[17]采用蟻群優(yōu)化算法改進了粒子濾波算法，但二者工作不同，Zhong等人在計算粒子權(quán)值之前使用蟻群算法對粒子進行優(yōu)化，并在文獻[18]中提供了算法的理論證明，這種策略雖然可以解決樣本多樣性問題，但存在重采樣步驟，且沒有考慮粒子的先驗信息，算法時間開銷增大，效果不理想.

通過以上綜述發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前的研究都在追求粒子濾波的多樣性保持、粒子的非退化以及計算性能之間的平衡.本文構(gòu)造一種新的基于自適應(yīng)遺傳算法的非退化粒子濾波方法，其基本思想是將前一時刻計算出來的粒子先驗信息引入交叉變異等遺傳操作，通過粒子的先驗信息自適應(yīng)調(diào)節(jié)遺傳操作相關(guān)的概率參數(shù)，在充分考慮粒子先驗信息的基礎(chǔ)上，通過交叉變異等遺傳操作來解決粒子的退化問題和多樣性減弱的問題.

2　粒子濾波基本理論

2.1粒子濾波算法基本原理

(1)

根據(jù)這一近似，可將復(fù)雜的積分運算轉(zhuǎn)化為求和運算，如興趣函數(shù)g(x0:k)的數(shù)學(xué)期望式如下：

E(g(x0:k))=∫g(x0;k)p(x0;k|z1;k)dx0;k

(2)

基于樣本的近似求解公式為：

(3)

在實際應(yīng)用中，解決這一問題是通過引入重要性采樣原則，用一種重要性采樣密度q(x0:k|z1:k)來抽取樣本，如此式(2)可以推導(dǎo)如下：

E(g(x0:k))=∫g(x0:k)p(x0:k|z1:k)dx0:k

=∫g(x0:k)ω*(x0:k)q(x0:k|z1:k)dx0:k

=Eq(·)[g(x0:k)ω*(x0:k)]

(4)

從重要性采樣密度獨立抽取N個樣本粒子可得：

(5)

(6)

在k-1時刻，其遞歸的計算方法，可以將重要密度函數(shù)分解為以下形式：

q(x0:k|z1:k)=q(xk|x0:k-1,z1:k)q(x0:k-1|z1:k-1)

(7)

p(x0:k|z1:k)=

p(zk|xk)*p(xk|xk-m:k-1,z1:k-1)p(x0:k-1|z1:k-1)

(8)

并且式(7)也可寫為如下形式：

q(x0:k|z1:k)=q(xk|xk-m:k-1,zk)q(x0:k-1|z1:k-1)

(9)

將式(7)和式(8)代入式(6)

(10)

選擇合適的重要性采樣密度q(·)可以遞歸計算更新粒子的權(quán)值，后驗濾波密度可以近似為：

(11)

根據(jù)以上分析，可總結(jié)m階粒子濾波的算法流程圖如圖1所示.

2.2基本方法評價

本節(jié)通過一個仿真實例來比較EKF算法與PF算法對非線性系統(tǒng)的估計效果.假設(shè)當(dāng)前的狀態(tài)系統(tǒng)如式(12)和(13)：

(12)

(13)

其中，粒子數(shù)為N為100，迭代次數(shù)T為60次，ωk和νk是獨立的高斯白噪聲，則系統(tǒng)的均方根誤差為：

(14)

實驗對此系統(tǒng)進行EKF、UKF和PF三種常見方法來狀態(tài)的估計，結(jié)果如圖2所示，可以看出UKF比EKF精度更好，說明EKF僅簡單線性化非線性函數(shù)到一級泰勒級數(shù)展開，因而引入了額外的誤差導(dǎo)致濾波精度降低.PF的估計效果，特別是在迭代次數(shù)20次以內(nèi)，較兩者都好很多.EKF、UKF、PF算法的均方誤差值RMSE分別為99.0241、97.7673、18.9468，由此也可以看出PF具有較好的擬合度.

3　自適應(yīng)遺傳算法

遺傳算法是由美國的Holland教授1975年在他的專著《自然界和人工系統(tǒng)的適應(yīng)性》[19]中首先提出的，標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法基本思想如下[19]：

首先隨機產(chǎn)生一組初始個體構(gòu)成的初始種群，并評價每一個個體的適應(yīng)度值f；接著判斷算法是否滿足收斂準(zhǔn)則，若滿足輸出最優(yōu)結(jié)果，否則執(zhí)行以下步驟；在根據(jù)適應(yīng)度值的大小以一定的方式執(zhí)行個體的選擇操作；在按事先確定的交叉概率pc、變異概率pm執(zhí)行交叉變異操作；后返回到判斷是否滿足收斂準(zhǔn)則，不滿足繼續(xù)進行遺傳操作，直至滿足退出條件.

此算法的交叉、變異概率一定，這可能會導(dǎo)致其存在早熟以及收斂速度慢[20].許多學(xué)者對此進行了系統(tǒng)的研究.文獻[21]中用模糊規(guī)則對選擇概率和變異概率進行控制，在線改變其值.文獻[22]利用云模型云滴的隨機性和穩(wěn)定傾向性特點，由條件發(fā)生器產(chǎn)生交叉概率和變異概率.文獻[11]是一種常用自適應(yīng)遺傳算法(S-AGA)，其核心思想是通過個體的適應(yīng)度函數(shù)值來確定交叉概率pc和變異概率pm，具體的計算公式如下：

(15)

(16)

式中，k1=k3=1,k2=k4=0.5,fmax是種群中最大適應(yīng)度值，f ′是兩個交叉?zhèn)€體中較大的適應(yīng)度值，favg是種群適應(yīng)度的平均值，f是變異個體的適應(yīng)度值.算法的不足在于過分的保護了種群中的優(yōu)勢個體，而無法產(chǎn)生新的優(yōu)勢個體，即早熟現(xiàn)象.

4　本文的非退化粒子濾波算法

本文算法將遺傳算法內(nèi)嵌到粒子濾波算法中，其基本思路是先采樣得到一組粒子，然后通過遺傳算法的選擇、交叉、變異等操作來得到一組新的粒子，用于計算系統(tǒng)狀態(tài)的估計值.算法結(jié)構(gòu)如圖3所示.

第二步：遺傳操作.

(1)選擇：首先要對采樣的粒子集合重新進行適應(yīng)度評估，并對所有粒子的權(quán)值進行歸一化處理，將粒子的權(quán)值作為個體的適應(yīng)度函數(shù)值，即：

(17)

(2)交叉和變異：對于文獻[23]的早熟現(xiàn)象，為保證高適應(yīng)度的個體也需要保持一定的交叉概率，以增加新產(chǎn)生的子代個體中優(yōu)秀個體的數(shù)量，對于適應(yīng)度高于平均值的個體，使用式(18)中的指數(shù)函數(shù)形式對個體的交叉概率進行調(diào)節(jié)，使個體的交叉概率最終下降到某一固定的數(shù)值，從而保證最優(yōu)的那部分個體可以保持一定的交叉概率.對于適應(yīng)度高于平均值的個體，使用式(19)中的指數(shù)函數(shù)對個體的變異概率進行調(diào)節(jié)，使得個體的變異概率快速的呈指數(shù)下降，更有利于保護種群中的優(yōu)勢個體不受破壞.

(18)

(19)

pc1,pc2,pm1,pm2分別表示pc和pm的變化范圍.文獻[23]中可知，個體交叉概率、變異概率的變化范圍分別為[0.5，1]、[0.001，0.05]，在這個區(qū)間里，設(shè)pc2,pm2一定，然后取不同的pc1,pm1值通過試驗結(jié)果找到其最佳值，本文分別取0.95、0.07.

圖4、圖5反映了新算法在交叉操作中，適應(yīng)度值較高的優(yōu)秀個體保持了一定的交叉概率pc以產(chǎn)生更多優(yōu)秀子代；變異過程中的高適應(yīng)度個體加速了變異概率pm的降低速度，優(yōu)秀個體得到保護.

常數(shù)A在適應(yīng)度值高于平均水平時可對pc和pm的變化趨勢進行調(diào)節(jié)，當(dāng)系數(shù)pc1,pc2,pm1,pm2確定時，常數(shù)A的取值可調(diào)節(jié)pc和pm進行自適應(yīng)調(diào)節(jié)的范圍.當(dāng)A取值較大時，交叉概率pc和變異概率pm自適應(yīng)調(diào)節(jié)的范圍較小，且隨著個體適應(yīng)度的增大而使得pc快速變小.而當(dāng)A的取值較小的時候，可相應(yīng)的擴大pc和pm調(diào)節(jié)的范圍，并減緩了pc和pm下降的速度.圖6、圖7給出當(dāng)系數(shù)pc1,pc2,pm1,pm2一定時，A取不同值對pc和pm變化的影響.表1給出了多次試驗參數(shù)取值不同時的均值誤差.A的數(shù)值是由多次實驗估計效果得到當(dāng)pc1=0.95，pc2=0.5，pm1=0.07，pm2=0.001時，取A=9.9034時，算法可取得較好的實驗結(jié)果.

第三步：將通過遺傳操作得到的新的種群進行下一次采樣.

表1　本文算法取不同數(shù)對時估計誤差的均值表

5　實驗結(jié)果與分析

實驗選取三個模型，即一維非平穩(wěn)經(jīng)濟學(xué)估計問題、二維目標(biāo)跟蹤模型、高維的Truck-Trailer系統(tǒng)跟蹤問題.

5.1一維模型(非平穩(wěn)經(jīng)濟學(xué)估計問題)

這種模型的特點是具有高度非線性和雙峰的特性.其狀態(tài)方程和量測方程如下：

(20)

(21)

其中c1，c2和c3是系統(tǒng)預(yù)定義常量，高斯噪聲μk，νk相互獨立.實驗取c1=1，c2=12，c3=7，x0=0，pc1=0.95，pc2=0.5，pm1=0.07，pm2=0.001，A=9.9034.本文算法分別和APF、RPF、以及文獻[11]中提出的GA-MCMC算法在加跳變和不加跳變二種情況下的估計效果進行比較.實驗獨立做20次.

圖8、圖9分別為二種實驗的截圖.定性可以看到，無跳變時各種算法的效果基本都很好，但在一些狀態(tài)發(fā)生一定變化的時刻，本文算法的估計精度更高，效果更好.第二種情況，在實驗中當(dāng)?shù)螖?shù)k=50時刻人為加上劇烈跳變，此時可以從圖9看出，APF算法對系統(tǒng)狀態(tài)的估計能力最差，RPF和文獻[11]算法在狀態(tài)發(fā)生巨變的同時也都不能及時對狀態(tài)做出準(zhǔn)確的估計，需要經(jīng)過一段時間的調(diào)整之后才可對系統(tǒng)狀態(tài)進行準(zhǔn)確的估計，本文算法在系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生劇變的情況下依然能夠保持對而系統(tǒng)狀態(tài)的良好的估計，其算法中對粒子交叉概率和變異概率的調(diào)整策略，要優(yōu)于文獻[11]算法，本文算法與真實狀態(tài)的擬合度要比其他幾種算法要好很多，有著更好地估計效果.表2、表3中給出兩種情況下分別取不同的粒子數(shù)時進行的20次獨立實驗中RMSE的均值、最小值、最大值以及運行時間.

由重要性采樣定理[1]可知，當(dāng)粒子數(shù)增大時，粒子集更能接近系統(tǒng)的真實狀態(tài)，如表2、表3所示.然而粒子集的增大必然會增大系統(tǒng)的時間復(fù)雜度，進而影響算法的實時性和逼近效果.因此，實驗根據(jù)假設(shè)檢驗，動態(tài)確定粒子數(shù)目，在保證算法效果的同時降低算法的時間復(fù)雜度，從而達到更好的時間性能.

表2　無跳變情況算法RMSE均值、Min、Max值及時間比較

表3　有跳變情況算法RMSE均值、Min、Max值及時間比較

設(shè)H0表示估計狀態(tài)下μ等于真實狀態(tài)μ0，拒絕域H1為目標(biāo)估計狀態(tài)下μ不等于真實狀態(tài)μ0.由雙邊檢驗問題可以求得：

(22)

實驗設(shè)定顯著性水平參數(shù)α，犯第Ⅱ類錯誤的概率β的值都取0.05.由此可得粒子數(shù)樣本容量n滿足：

(23)

通過表2、表3的數(shù)據(jù)，帶入式(23)，可知，事實上，粒子數(shù)在100時，對于給定的顯著水平，就能夠很好地接受原假設(shè)，具有較好的估計精度.

5.2二維模型(目標(biāo)跟蹤模型)

實驗選取常用的模型同文獻[23]一致，運動模型與觀測模型如式(24)和(25)所示：

xk=Φxk-1+Γwk

(24)

zk=tan-1(yk/xk)+vk

(25)

在二維模型中，vx，vy的狀態(tài)只與自身前一時刻的狀態(tài)有關(guān)，而x和y的狀態(tài)除與自身狀態(tài)有關(guān)外，還與vx，vy的狀態(tài)有關(guān)，變化的復(fù)雜度較高.由于觀測值的確定只與x和y有關(guān)，因此，只對其狀態(tài)中的x和y分量進行操作.

實驗設(shè)計二種情況，即系統(tǒng)狀態(tài)未發(fā)生跳變以及系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生跳變.二種情況下，本文算法分別于APF、RPF、GF、S-AGA、文獻[11]算法進行比較.估計效果如圖10、圖11所示.從圖10可以看出無跳變情況下本文算法相對于GF、APF、RPF也有較好的的估計精度，本質(zhì)原因是算法在粒子重采樣以后失去了多樣性；如圖10(c)對于S-AGA、文獻[11]算法，本文算法也有著一定的優(yōu)越性.從圖11可以看出，在系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生跳變時，APF、RPF、GF算法基本沒有粒子分布在真實狀態(tài)的周圍，估計誤差較大，同樣也是粒子退化問題以及多樣性無法保持而影響到估計精度.S-AGA、文獻[11]算法雖然也對粒子的遺傳操作概率進行調(diào)整，然而沒有考慮重要性權(quán)重的先驗信息，因此對真實狀態(tài)逼近的有效性也有較大的誤差.本文算法通過對粒子權(quán)重先驗信息的考慮，自適應(yīng)調(diào)節(jié)交叉、變異的概率，與其他算法相比較，特別是遇到劇烈跳變時其濾波精度有了較大的提高.

5.3高維模型(卡車-拖車(Truck-Trailer)系統(tǒng)的跟蹤問題)

實驗選取帶有拖車的卡車的運動軌跡進行跟蹤，在這一系統(tǒng)中拖車的節(jié)數(shù)越多，估計系統(tǒng)的維數(shù)就越高.本文設(shè)定卡車后帶有一節(jié)拖車，狀態(tài)空間可用如下式(26)到式(31)來表示.由公式中可以看出，該系統(tǒng)是由4維變量組成的狀態(tài)系統(tǒng)，在圖12中給出該系統(tǒng)的示意圖.其w為卡車的長度，L為拖車的長度，T為采樣周期，v為卡車的速度，u(x)為用于控制輸入的轉(zhuǎn)向角，x0(k)為卡車的角度，x1(k)為卡車與第一節(jié)拖車的角度差，x2(k)為第一節(jié)拖車的角度，x3(k)為第一節(jié)拖車的垂直位置，x4(k)為第一節(jié)拖車的水平位置.

(26)

x1(k)=x0(k)-x2(k)

(27)

(28)

+ω3(k)

(29)

+ω4(k)

(30)

(31)

這里假設(shè)卡車和拖車快速移動的過程中，觀測值在短時間發(fā)生了較大的變化而形成了跳變.而后使用各種算法對該系統(tǒng)的跟蹤情況進行比較.在該部分的試驗中，統(tǒng)一使用的粒子個數(shù)為300，轉(zhuǎn)移噪聲和觀測噪聲的協(xié)方差矩陣分別Q=diag(12,12,12,12)，R=diag(12,12,12,12).該系統(tǒng)中有5個變量.由于篇幅，實驗只選取系統(tǒng)發(fā)生跳變的情況下進行，圖13給出了各個算法對變量x4的跟蹤效果比較，表4給出其余變量20次估計結(jié)果的RMSE平均值.

從圖13可以看出本文算法的估計精度要明顯優(yōu)于SIR、APF、RPF，這些算法大都在迭代次數(shù)50次左右時就失去了跟蹤性能.SIR算法在粒子重采樣以后無法保持其多樣性，在狀態(tài)發(fā)生劇變時由于沒有粒子分布在真實狀態(tài)的周圍而導(dǎo)致跟蹤失敗，APF和RPF算法并且還缺乏對解決粒子的退化問題的有效考慮.

表4　高維模型系統(tǒng)狀態(tài)跳變時各種算法估計結(jié)果RMSE均值比較

本文算法在遇到跳變時，由于遺傳策略具有更好地全局尋優(yōu)能力，其跟蹤效果也有很大的改進.從表4的均方根誤差定量分析來看，相比其他算法本文改進的自適應(yīng)粒子濾波算法能夠更好地地擬合真實狀態(tài)，保證了更好地跟蹤效果.

6　結(jié)論

本文設(shè)計一種基于自適應(yīng)粒子濾波算法，算法利用粒子的先驗信息確定粒子的適應(yīng)度值，通過粒子的適應(yīng)度值自適應(yīng)確定該粒子進行交叉、變異的概率，解決來粒子的有效性與多樣性的問題.該方法充分利用了粒子的先驗信息，因而增加了粒子對系統(tǒng)狀態(tài)變化的適應(yīng)性，有效提高了對系統(tǒng)狀態(tài)的估計精度.實驗分別選取一維、二維以及高維的非線性數(shù)據(jù)模型進行仿真，結(jié)果表明該算法可有效提高非線性系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤效果，特別在實驗時，人工加上劇烈跳變，本文算法與其它粒子濾波算法相比更具有優(yōu)越性.

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吳昊男,1983年5月出生，安徽舒城人.合肥師范學(xué)院講師，2010碩士畢業(yè)于合肥工業(yè)大學(xué)，2015年進入中國礦業(yè)大學(xué)，博士生，從事圖像處理、優(yōu)化算法方面的有關(guān)研究.

E-mail:dillon-wu@126.com

孫曉燕女,1978年10月出生，江蘇豐縣人.教授、博士生導(dǎo)師、IEEE高級會員.從事進化優(yōu)化算法及應(yīng)用、多目標(biāo)進化算法設(shè)計和機器學(xué)習(xí)等方面的工作.

E-mail:xysun78@126.com

Non-Degeneracy Particle Filtering Method Research forParticle Diversity Preserving

WU Hao1,2,SUN Xiao-yan1,GUO Yu-tang2,LIU Lu-lu2,SHEN Jing2

(1.School of Information and Electrical Engineering,China University of Mining and Technology,Xuzhou,Jiangsu 221008,China; 2.School of Computer Science and Technology,Hefei Normal University,Hefei,Anhui 230601,China)

To cope with the degeneracy in the existing particle filter algorithm and the diversity weakening caused by re-sampling,a new non-degeneracy algorithm is proposed in this paper by incorporating adaptive genetic algorithm into particle filter.By using genetic operators to generate new particles,the algorithm can adjust the current probability of genetic manipulation adaptively based on the previously calculated information so that the diversity and effectiveness of the particle can be ensured.It effectively improves the adaptability of particle to the changes of the system state.Experimental results show that this algorithm can effectively improve the estimation accuracy of the nonlinear system state.In particular,the algorithm can guarantee good estimation accuracy when the system state changes abruptly.

particle filter;genetic algorithm;particle degeneracy;adaptive;diversity of particle

2015-01-28；

2015-08-10；責(zé)任編輯：李勇鋒

國家自然科學(xué)基金(No.61301062,No.61503116,No.61375067)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)經(jīng)費(No.2012QNA58)；安徽省高校自然基金(No.KJ2013A217)；安徽省質(zhì)量工程提升計劃(No.2013zy058)；安徽省教育廳高等學(xué)校省級優(yōu)秀青年人才基金(No.SQRL129ZD)

TP18

A

0372-2112 (2016)07-1734-08

??學(xué)報URL:http://www.ejournal.org.cn

10.3969/j.issn.0372-2112.2016.07.031