帶變消耗率和連續(xù)輸入乙醇發(fā)酵數學模型研究

趙 中, 楊金根, 龐留勇

(1.黃淮學院 數學科學系, 河南 駐馬店 463000;2. 信陽師范學院 數學與信息科學學院, 河南 信陽 464000)

0 引言

生物乙醇作為一種可再生資源,是一種清潔無污染綠色能源,因此越來越受到人們的關注.生物乙醇能夠通過微生物發(fā)酵的方法得到,目前主要通過含糖的基質(如農產品和食品加工廢物)發(fā)酵獲得.由于發(fā)酵過程受到底物和產物抑制的作用,其代謝產物在發(fā)酵液中的大量累積會抑制酵母細胞的生長和活性,從而使發(fā)酵強度減弱甚至趨于停止[1].因此，研究乙醇發(fā)酵動力學特性對于降低底物和產物抑制,提高發(fā)酵效率具有重要意義.

關于乙醇發(fā)酵模型的研究已有很多文獻[1-6]報道.WEI[1]研究了連續(xù)輸入酒精發(fā)酵模型：

(1)

這里:S,x,P分別表示反應器中底物、細胞和酒精濃度;D是稀釋率;μ是細胞最大比生長速率;Ks是半包和常數;δ1和δ2是細胞得率系數和產物得率系數;β0是汽提因子;S0初始底物濃度.文獻[1]研究了系統(tǒng)(1)邊界周期解和正周期解的局部和全局穩(wěn)定性.在系統(tǒng)(1)的基礎上,文獻[2]研究周期脈沖輸出底物乙醇發(fā)酵模型,得到微生物滅絕周期解的局部穩(wěn)定性，利用脈沖同步分支理論研究了非平凡周期解的存在性.文獻[3]研究了消耗率δ1和δ2為常數的情況.但是在實驗中,消耗率δ1和δ2是與底物S有關[7-8].為此,我們考慮與底物有關的變消耗率，并建立如下模型：

(2)

這里δ1(S)=c1S+c2(c1>0,c2>0)和δ2(S)=a1S+a2(a1>0,a2>0).其他參數意義同系統(tǒng)(1).

注意到系統(tǒng)(2)的前兩個方程不包含P,因此系統(tǒng)(2)的動力學性質由下面子系統(tǒng)決定.

(3)

1 系統(tǒng)(3)的定性分析

1.1 微生物滅絕平衡點及穩(wěn)定性

令系統(tǒng)(3)右端為零,得到

(4)

由方程組(4)的解可知，系統(tǒng)(3)有一個微生物滅絕平衡點E0(S0,0).下面研究E0的局部穩(wěn)定性.E0(S0,0)的特征方程為：

兩個特征根分別為

定理1 當R1<1時,微生物滅絕平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的;當R1>1時，E0是不穩(wěn)定的.

定理2 當R1<1時,微生物滅絕平衡點E0是全局漸近穩(wěn)定的.

因此微生物滅絕平衡點E0(S0,0)是全局漸近穩(wěn)定的.證畢.

1.2 正平衡點存在、穩(wěn)定性

由定理2知和方程組(4)可知，當R1>1時,系統(tǒng)(3)存在正平衡點E*(S*,x*),其中

下面考慮E*(S*,x*)的穩(wěn)定性.系統(tǒng)(3)在E*(S*,x*)的特征矩陣為：

其中

進而得到

tr(J(E*))=Δ-D,

定理3 如果R1>1和ΔD,那么E*(S*,x*)是不穩(wěn)定的.對于Δ=0,平衡點E*(S*,x*)是非雙曲的,當R1>1和Δ=D時,系統(tǒng)(3)在平衡點E*(S*,x*)附近產生Hopf分支.

定理4 如果Δ=D,0<Δ-D?1和g3<0,(這里g3在式(10)定義),那么在平衡點E*(S*,x*)附近產生分支出一個穩(wěn)定的周期解.

(5)

注意到

也即(DS0-DS*-mx*)(2c1S*+Ksc1+c2)-D(c1S*+c2)(Ks+S*)-μx*=0.所以系統(tǒng)(3)變?yōu)?/p>

(6)

再做變換

t=((m1(c1S*+c2)(Ks+S*)+

(7)

這里

a1=((DS0-DS*-mx*)c1-D(2c1S*+

c2+Ksc1)-m1c1)/((μ-D)(c1S*+

c2)x*),

a2=(m1(2c1S*+c2+Ksc1)+μ)/((μ-

D)(c1S*+c2)(m1(c1S*+c2)(Ks+

S*)+μS*)x*)-1/2,

令S=rcosθ,x=rsinθ,那么系統(tǒng)(7)變?yōu)?

(8)

由系統(tǒng)(8)可得

b2cosθsin2θ)+r3(b3cos2θsin2θ-

a3cos4θ)-(r2(a1cos3θ+

(b1-a2)cos2θsinθ+b2cosθsin2θ)+

r3(b3cos2θsin2θ-a3cos4θ))·

(r(b1cos3θ+(b2-a1)cos2θsinθ+

a2cosθsin2θ)+

r2(a3+b3)cos3θsinθ)+….

(9)

假設系統(tǒng)(8)具有初值r1(0)=1,rk(0)=0,k=2,3,…形式的解r=r1(θ)c+r2(θ)c2+r3(θ)c3+….將這個解代入到系統(tǒng)(8)通過比較c2系數,可得

b2cosθsin2θ.

在區(qū)間[0,θ]積分上式可得

容易得到r2(θ)是周期為2π的周期函數.比較c3的系數，可得

(b1-a2)cos2θsinθ+b2cosθsin2θ)+

b3cos2θsin2θ-a3cos4θ-(a1cos3θ+

(b1-a2)cos2θsinθ+

b2cosθsin2θ)(b1cos3θ+

(b2-a1)cos2θsinθ+a2cosθsin2θ).

令r3(θ)=g3θ+f3(θ),那么

(2a1b1-2a1a2+b3)cos2θsin2θ+

2a1b2cosθsin3θ+

b2(b2-a1))cos3θsin3θ+

a2b2)cos2θsin4θ+

b1(b1-a2))cos5θsinθ+

(b1-a2)(b2-a1)-b1b2)cos4θsin2θ+

(10)

2a1b2cosθsin3θ+

b2(b2-a1))cos3θsin3θ+

b1(b1-a2))cos5θsinθ+

這里

m1=2a1(b1-a2),

(b1-a2)(b2-a1)-b1b2.

這表明f3(θ)是周期為2π的周期函數.如果g3<0,由后繼函數定義,E*(S*,x*)是一階穩(wěn)定的焦點,如果Δ>D,E*(S*,x*)是不穩(wěn)定的,利用文獻[9]得到,在平衡點E*(S*,x*)附近存在一個穩(wěn)定的周期解.證畢.

2 討論

為了研究生化反應器中乙醇發(fā)酵過程中出現(xiàn)的振蕩現(xiàn)象,建立了帶變消耗率和連續(xù)輸入乙醇發(fā)酵數學模型,利用微分方程定性理論得到,當R1<1時,微生物滅絕平衡點E0是全局漸近穩(wěn)定的.當R1>1和Δ1和Δ>D時,正平衡點E*(S*,x*)是不穩(wěn)定的.定理4證明了當Δ=D,0<Δ-D?1和g3<0,在正平衡點E*(S*,x*)周圍分支出一個穩(wěn)定的周期解.