基于多組混合元模型方法的汽車輕量化設計

顧紀超　許東陽　李光耀　干年妃　樊濤

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙，410082

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基于多組混合元模型方法的汽車輕量化設計

顧紀超許東陽李光耀干年妃樊濤

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙，410082

摘要：針對工程中復雜耗時的黑匣子問題，提出一種基于多組混合元模型的全局最優(yōu)化方法。該方法同時應用三組元模型進行搜索，每組都包含克里金、二階多項式及徑向基函數(shù)的元模型。應用該優(yōu)化方法對某車型的后車架進行輕量化設計后，后車架子系統(tǒng)的質(zhì)量減少7.2 kg，并提高了該子系統(tǒng)的剛度。研究結(jié)果表明，與HAM法相比，新方法在搜索效率和精度上都有顯著提高。

關鍵詞：多重混合元模型；全局最優(yōu)化；汽車輕量化；黑匣子問題

0引言

近些年來，汽車輕量化被認為是解決大氣污染、緩解能源危機、降低汽車企業(yè)成本的重要手段。已有研究表明，汽車每減輕10%，可節(jié)省燃油6%～8%[1-2]，提高燃油效率5.5%[3]，降低排放4%[4]。而且，根據(jù)經(jīng)驗，如果材料不變，汽車車身每減重1 kg，每輛車大約可節(jié)省10元的成本。目前，汽車輕量化主要是通過使用新材料或?qū)嚿斫Y(jié)構(gòu)進行更改，或同時采用這兩種方法來達到目的的。但是新材料的應用、車身結(jié)構(gòu)的更改必然會帶來額外的費用，反而可能增加汽車的生產(chǎn)成本。本文采用的優(yōu)化方法在不更改結(jié)構(gòu)和材料的條件下，對車身結(jié)構(gòu)部件進行優(yōu)化設計，使零件的厚度分布得更加合理，在不降低車身性能的前提下達到減重的目的，既減輕了車身質(zhì)量，同時避免了成本的增加。

目前，車身結(jié)構(gòu)的性能通常采用有限元仿真分析或流體動力學分析進行評估。這些計算機仿真分析的應用減少了大量昂貴的物理試驗，極大地節(jié)約了生產(chǎn)成本、縮短了生產(chǎn)周期，但這些分析的效率和精度與所選取的優(yōu)化方法息息相關。因此，在汽車輕量化設計中如何選擇合適的優(yōu)化方法成為研究人員和工程師們亟需解決的難題。基于梯度的傳統(tǒng)優(yōu)化方法是局部最優(yōu)方法，通常僅能得到局部最優(yōu)解，而且應用梯度方法得到的優(yōu)化結(jié)果與所選取的初始點密切相關，采用不恰當?shù)某跏键c很難得到較高精度的結(jié)果。此外，這些仿真分析是典型的“黑匣子”問題，很難提供運行梯度方法所必須的準確梯度信息，給這些方法的應用造成了極大的困難。

演化算法[5](遺傳算法[6]、模擬退火算法[7]、粒子群算法[8-10]等)具備全局搜索能力，而且在搜索過程中不需要梯度信息。然而，這些算法過低的搜索效率限制了它們在汽車輕量化設計中的應用。

近些年來，基于元模型的優(yōu)化方法引起了很多學者的關注。元模型，也稱作近似模型或代理模型，通常是由樣本點擬合且能快速計算的數(shù)學函數(shù)，它常用來代替耗時的黑匣子問題進行計算，具有應用簡單、計算速度快的特點。然而，元模型在實際工程應用的過程中碰到以下問題：①受構(gòu)造技術的限制，單一元模型僅能準確評估某一類問題，在擬合其他問題時，選擇不恰當?shù)脑Ｐ蜁е戮炔桓撸踔習霈F(xiàn)錯誤的結(jié)果；②基于元模型的優(yōu)化方法中，初始元模型通常是由采樣方法生成的初始樣本點擬合得到的，應用質(zhì)量較差的初始點構(gòu)成的元模型進行搜索會導致算法陷入到局部最優(yōu)的陷阱。

本文應用一種基于多組混合元模型的全局最優(yōu)化方法進行汽車輕量化設計。該方法采用2組初始樣本點，生成三組元模型，其中，每一組元模型包括3種應用廣泛的元模型(二階多項式[11]、克里金[12-15]和徑向基函數(shù)[16])。在搜索過程中，采用三組元模型同時進行搜索，能有效避開局部最優(yōu)陷阱，提高搜索效率。

1多組混合元模型優(yōu)化方法

受構(gòu)造技術的限制，某一元模型在擬合不同問題時，其精度差別很大[17]。即使擬合方法相同，應用數(shù)目相同的樣本點所擬合出的函數(shù)的特征也可能截然不同。圖1給出了克里金模型使用2組相同數(shù)目的樣本點擬合的Beak函數(shù)的結(jié)果。從圖1可以看出，二者擬合出的特征截然不同。此外，對于某一給定的問題，不同元模型擬合技術所擬合出的結(jié)果也可能差別較大。圖2給出了在應用相同樣本點的條件下，克里金與二階多項式擬合的Beak函數(shù)。從圖2可以看出，二者擬合出的函數(shù)有較大差別。因此，學者們提出應用單一元模型的優(yōu)化方法，如高效全局最優(yōu)化方[18]、自適應響應面法[19]、模式搜索采樣法[20]，和基于單一一組元模型的優(yōu)化方法，如混合元模型優(yōu)化方法(hybrid and adaptive meta-modeling method，HAM)[21]來進行模擬。但這些方法在實際工程中解決復雜的“黑匣子”問題時均存在很大的局限性。

1.1多組元模型優(yōu)化方法步驟

針對實際工程中復雜的黑匣子問題，筆者提出一種多組混合元模型優(yōu)化方法。該方法應用2組樣本點來生成三組元模型，每一組元模型都包含克里金、二階多項式和徑向基函數(shù)這三種廣泛應用的元模型。2組樣本點的使用增加了樣本點的多樣性，能有效提高算法應用高質(zhì)量元模型進行搜索的可能性，從而有效避免局部最優(yōu)的陷阱，同時提高算法的搜索效率和搜索精度。多組混合元模型優(yōu)化方法的主要流程見圖3。

(a)原始Beak函數(shù)

(b)第一組樣本點擬合結(jié)果

(c)第二組樣本點擬合結(jié)果圖1　克里金方法擬合Beak函數(shù)結(jié)果

(a)原始Beak函數(shù)

(b)克里金方法擬合結(jié)果

(c)二階多項式方法擬合結(jié)果圖2　克里金與二階多項式函數(shù)擬合的Beak函數(shù)

圖3　優(yōu)化流程

多組元模型優(yōu)化方法的具體步驟如下：

(1)應用拉丁方設計[22-24]生成2組初始樣本點。在HAM中，初始樣本點數(shù)目定義為8，取得了很好的優(yōu)化效果[21]。因此本文提出的方法沿用HAM的設定，生成A、B兩組初始點(每組8個)，并應用原始模型評估16個樣本點的值。這些使用原始模型計算的樣本點稱為昂貴點。

(2)應用這2組樣本點構(gòu)造三組元模型。其中，A組、B組初始元模型用8個初始樣本點構(gòu)建，C組使用所有的16個初始樣本點構(gòu)建，每組都包含克里金、徑向基函數(shù)和二階多項式這三種元模型。

(3)應用A組與B組元模型選擇新的樣本點。由于A組、B組元模型構(gòu)建所用的樣本點較少，精度較差，所以新的樣本點的選擇如下：①為避免重復選擇，應用拉丁方設計生成6組樣本點，每組包含104個樣本點[20]，均應用元模型來進行計算，稱為廉價點；②應用元模型計算樣本點結(jié)果(每個元模型僅計算1組樣本點，不重復計算)；③根據(jù)得到的結(jié)果從每1組樣本點中選取函數(shù)值最小的點，這一步共選取6個新的昂貴點(使用原始模型計算)。圖4所示為A組新昂貴點的選擇示例。

圖4　A組新昂貴點選擇示例

(4)應用C組元模型選取樣本點。C組中的元模型使用所有的昂貴點構(gòu)建，精度相對較高，其新昂貴點選取方法如下，示例見圖5，具體描述見文獻[21]。

圖5　C組元模型新昂貴點選擇示例

①應用拉丁方設計生成大量樣本點[20]。

②分別應用C組的元模型計算上一步中得到的樣本點的值，得到3組函數(shù)值。

③為避免較差的樣本點被選取，根據(jù)得到的3組函數(shù)值，每一組從步驟①所得樣本點中選取100個函數(shù)值最小的樣本點，將這3組樣本點根據(jù)計算所采用的元模型不同定義為三類：集合K(函數(shù)值應用克里金模型計算得到)、集合Q(函數(shù)值應用二階多項式計算得到)和集合R(函數(shù)值應用徑向基函數(shù)計算得到)。

④根據(jù)樣本點代表最優(yōu)值的可能性，將得到的3組樣本點按下面的方法分類。

(1)

⑤如果將步驟④中分類所得到的7組樣本點，平均每組取一個樣本點參與元模型的更新重建，則將選取7個樣本點，考慮到四舍五入的影響，這一步大約選取7個樣本點，第i(i=1，2，…，7)組所選取的樣本點的個數(shù)為

ni=int(7wi)

(2)

wi=mili/300w1+w2+…+w7=1

其中，ni為第i組中選取的樣本點的個數(shù)；wi為第i組的權重；mi為第i組樣本點的個數(shù)；li為第i組的系數(shù)，代表第i組中的樣本點涉及的元模型的個數(shù)， l1=3，l2= l3= l4=2，l5= l6= l7=1。

(5)應用原始模型計算新的昂貴點的值，根據(jù)收斂條件檢查是否收斂。如果算法收斂，則迭代結(jié)束，否則重復步驟(2)～步驟(5)。由于每隔2次迭代，算法將在關鍵空間內(nèi)搜索一次，故收斂條件為

(3)

其中，fi+2、fij分別為第i+2次和i次迭代得到的5個最小函數(shù)值中的第j個函數(shù)值，i=1,2,…,n；ε為的一個很小的數(shù)值，默認為0.5，也可以根據(jù)需要定義。

1.2關鍵空間

理論上，在應用的樣本點數(shù)目相同的條件下，設計空間越小，元模型精度越高。傳統(tǒng)的設計空間移除方法，通過不斷丟棄不信任區(qū)間來不斷縮小設計空間?；谠Ｐ偷膬?yōu)化算法中，初始樣本點通常較少，元模型精度較差，極有可能在迭代初期將包含全局最優(yōu)的空間移除，從而無法得到全局最優(yōu)解。HAM中，關鍵空間通過10個函數(shù)值最小的昂貴點來定義，并取得了很好的效果[21]。本文提出的算法中，關鍵空間沿用HAM中的定義方法。同時，為避免全局最優(yōu)在關鍵空間之外，算法在整個設計空間搜索2次之后在關鍵空間內(nèi)搜索1次。由于此算法構(gòu)建了三組元模型，因此每次迭代將構(gòu)建3個關鍵空間，見圖6。由于關鍵空間3所使用的昂貴點從全部的昂貴點中選出，丟棄了一些參與構(gòu)建關鍵空間1和關鍵空間2的函數(shù)值較大的昂貴點，所以關鍵空間3最小。

圖6　關鍵空間示意圖

2汽車輕量化設計

本節(jié)運用上述優(yōu)化方法對某款車的后車架系統(tǒng)進行輕量化設計，該款車的后車架主要承擔來自行李的重量，因此需要滿足一定的剛度要求?，F(xiàn)通過在指定位置施加2kN豎直向下的力，模擬放置200kg行李時后車架的變形來評估其剛度性能。圖7、圖8分別為后車架剛度分析的有限元模型及載荷與約束的示意圖。此模型質(zhì)量為73.65kg，共有43個部件，有限元模型包含161 656個單元。優(yōu)化模型如下：

(4)

其中，m是整個系統(tǒng)的質(zhì)量，kg；d是施加的力所產(chǎn)生的最大位移，mm；t1，t2，…，t18為其中18個較大零件的厚度，mm，在優(yōu)化分析中作為設計變量。根據(jù)經(jīng)驗，變量的變化區(qū)間定為0.6～2.5mm。圖9給出了需要優(yōu)化的零件，其中為顯示地板下面的橫梁等零件，地板作透明顯示。

圖7　某款車后車架載荷示意圖

圖8　某款車后車架約束示意圖

圖9　需要優(yōu)化的零件(地板透明顯示)

在這個模型中，每一組樣本點都將應用C組元模型進行測試，保留滿足任意兩個元模型要求的樣本點。優(yōu)化結(jié)果見表1，表1同時給出了先前開發(fā)的HAM方法的優(yōu)化結(jié)果。

表1　輕量化結(jié)果

從表1可以看出，運用HAM法優(yōu)化的后車架系統(tǒng)的質(zhì)量從73.6kg減輕到70.51kg，減輕了3.09kg；運用本文開發(fā)的多組混合元模型優(yōu)化方法使后，后車架系統(tǒng)的質(zhì)量從73.6kg減少到66.4kg，減少了7.2kg，比HAM多減少4.11kg。同時在優(yōu)化的過程中HAM法需要迭代35次，調(diào)用原函數(shù)243次；多組混合元模型優(yōu)化方法只迭代了11次，調(diào)用原模型142次即達到收斂條件。通過結(jié)果對比可以看出，新方法在搜索精度和效率上比HAM法有顯著改進。圖10所示為優(yōu)化前后施加力產(chǎn)生的最大位移。

(a)優(yōu)化前

(b)HAM優(yōu)化

(c)多組法優(yōu)化圖10　優(yōu)化前后施加力產(chǎn)生的最大位移

3結(jié)語

本文針對實際工程中復雜且耗時的黑匣子仿真問題，開發(fā)了一種能夠兼顧效率和精度的基于多組混合元模型的全局最優(yōu)化方法，并對某汽車后車架系統(tǒng)進行輕量化設計。仿真結(jié)果表明，該方法與HAM相比，在搜索效率和精度上明顯提升，只迭代11次，使用142個昂貴樣本點，便成功對某后車架的18個零部件進行輕量化設計。在保證該系統(tǒng)剛度的前提下減輕了7.2 kg，達到整個系統(tǒng)的9.8%，證明其具有解決大規(guī)模實際工程問題的潛力。

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(編輯張洋)

收稿日期：2015-05-22

基金項目：國家重點基礎研究發(fā)展計劃(973計劃)資助項目(2010CB328005)；國家自然科學資助項目(51505138)；湖南大學青年教師成長計劃資助項目

中圖分類號：U270.2

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.14.024

作者簡介：顧紀超，男，1982年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室助理研究員、博士。主要研究方向為優(yōu)化方法、汽車被動安全性設計、汽車輕量化設計等。發(fā)表論文11篇。許東陽，男，1989年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室碩士研究生。李光耀，男，1963年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室教授。干年妃，女，1977年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室講師、博士。樊濤，男，1990年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室碩士研究生。

Lightweight Design of Vehicle Based on Multiple Hybrid Meta-model Method

Gu JichaoXu DongyangLi GuangyaoGan NianfeiFan Tao

State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body，Hunan University，Changsha，410082

Abstract：Aiming at the complex and expensive black-box problems in engineering, a multiple hybrid meta-model based global optimization method was proposed. In the proposed method, three sets of meta-models were employed in the search of the design space simultaneously, each of which included the well-known Kriging, quadratic function and radial basis functions. After the proposed method was applied to the rear frame of a vehide, the mass of the rear frame is reduced by 7.2 kg, and subsystem stiffness is also improved. The study shows that both of the search efficiency and accuracy are noticeably improved compared with hybrid and adaptive meta-modeling method.

Key words:multiple hybrid meta-model; global optimization; vehicle lightweight design; black-box problem