模糊集的直覺熵與直覺相似度

石 乙 英，　袁 學(xué) 海

( 1.大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 大連　116024；2.沈陽理工大學(xué) 理學(xué)院, 遼寧 沈陽　110159；3.大連理工大學(xué)盤錦校區(qū) 基礎(chǔ)教學(xué)部, 遼寧 盤錦　124221 )

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模糊集的直覺熵與直覺相似度

石 乙 英1,2，袁 學(xué) 海*1,3

( 1.大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 大連116024；2.沈陽理工大學(xué) 理學(xué)院, 遼寧 沈陽110159；3.大連理工大學(xué)盤錦校區(qū) 基礎(chǔ)教學(xué)部, 遼寧 盤錦124221 )

摘要：熵與相似度都是用來描述模糊集模糊程度的指標(biāo)，現(xiàn)有方法都是通過將其刻畫為具體的數(shù)值展開研究．針對當(dāng)模糊集的模糊程度具有不確定性，無法利用具體的數(shù)值表示時(shí)，如何利用熵與相似度來進(jìn)行度量的問題展開討論．首先提出了直覺熵與直覺相似度的定義，其次利用兩個(gè)定理說明直覺熵與直覺相似度可以相互轉(zhuǎn)化．

關(guān)鍵詞：熵；相似度；直覺熵；直覺相似度

0引言

熵在信息論中是用來衡量不確定程度的指標(biāo)，近年來在決策問題中得到了廣泛的應(yīng)用[1-5]．Xu等[4]通過熵和猶豫模糊集的Cross-熵，研究了兩種屬性值為猶豫模糊集的多屬性決策方法．Jin等[5]建立了最小熵最優(yōu)權(quán)準(zhǔn)則的規(guī)劃模型，并給出了基于加權(quán)和評分函數(shù)的區(qū)間值直覺模糊多準(zhǔn)則群決策的具體方法．而相似度也是描述模糊集模糊程度的指標(biāo)，對于其與熵的關(guān)系，Wei等[6]展開了相關(guān)的研究．

在上述研究中，通常將模糊集的模糊程度描述為某個(gè)具體的數(shù)值，顯然無法同時(shí)表述肯定和否定的含義．而由于認(rèn)識的復(fù)雜性，人們對事物認(rèn)知的表述往往具有不確定性．例如當(dāng)模糊集的模糊程度描述為“肯定為0.1，否定為0.5”時(shí)，如何利用熵與相似度來表示是一個(gè)值得探討的問題．本文分別以模糊集的熵和相似度的概念為基礎(chǔ)，提出直覺熵和直覺相似度的概念并構(gòu)建出相應(yīng)的表達(dá)式，對二者的關(guān)系展開討論．

1模糊集的直覺熵

本文基于模糊集的熵來定義直覺熵以及構(gòu)造具體的表達(dá)式．

設(shè)X為論域，稱映射μA：X→[0，1]為X的一個(gè)模糊子集，μA(x)為x對A的隸屬度，記F(X) 為X上所有模糊子集組成的集合，P(X)為X上所有經(jīng)典子集組成的集合．

定義1[7]X為非空集合，若映射μA：X→[0，1]，νA：X→[0，1]滿足

μA(x)+νA(x)≤1；?x∈X

則稱A=(X，μA，νA)為X上的直覺模糊集，記為A(x)=(μA(x)，νA(x))，其中μA(x)、νA(x)分別表示X中元素x對集合A的隸屬度和非隸屬度．X中直覺模糊集的全體記為IF(X)．

令L={(a，b)|a，b∈[0，1]，a+b≤1}，則直覺模糊集A=(X，μA，νA)可以視為L-模糊集：

A：X→L，x

(μA(x)，νA(x))

為了方便起見，用LX={A∣A：X→L}來表示IF(X)．

1972年，De Luca和Termini給出了關(guān)于模糊集的模糊程度的公理性描述以及模糊集熵的定義．

定義2[8]如果E：F(X)→[0，1]，A

→

E(A) 滿足以下性質(zhì)：

(E1)若A∈P(X)，則E(A)=0；

(E4)E(A)=E(Ac)

則稱E為模糊集F(X)上的熵．

事實(shí)上，模糊集的熵通過建立一個(gè)從F(X)到[0，1]的映射來描述其模糊程度，利用對論域X上每個(gè)元素隸屬度來進(jìn)行計(jì)算，得到介于[0，1]的一個(gè)數(shù)值．這實(shí)質(zhì)上等同于模糊集的去模糊化過程．其不足之處在于一方面會(huì)造成部分可用信息的丟失，使得結(jié)果具有不完整性；另一方面，由于人們在對事物的認(rèn)知過程中往往會(huì)表現(xiàn)出很大程度的不確定性，這就使得對于模糊集模糊程度的表述也有不確定性．例如設(shè)U={1，2，3，4，5}，若表示“靠近3”的模糊集，其隸屬度函數(shù)可以表示為A={(1，0)，(2，0.6)，(3，1)，(4，0.6)，(5，0)}．也可以表示為B={(1，0)，(2，0.7)，(3，1)，(4，0.7)，(5，0)}，且有E(A)=0.384，E(B)=0.336．這是由于對于模糊集模糊程度的認(rèn)知存在不確定性，導(dǎo)致對模糊集的描述方式不同，得到的熵也不同．因此一個(gè)數(shù)值很難準(zhǔn)確地描述這種性質(zhì)．這就需要將熵的取值從具體的數(shù)值推廣至能同時(shí)表示肯定及否定的量．基于此，提出模糊集直覺熵的定義如下．

定義3 若ITE：F(X)→L滿足：

(EP1)若A∈P(X)，則ITE(A)=(0，1)；

(EP4)ITE(A)=ITE(Ac)

則稱ITE為模糊集上的直覺熵．

注 由L的運(yùn)算可知，若ITE(A1)=(a1，b1)，ITE(A2)=(a2，b2)，則有

(1)

(2)

(3)

定理1ITEi(A)(i=1，2，3)為直覺熵．

證明 以i=3為例，首先證ITE3(A)∈L．

則有

即ITE3(A)∈L．

(EP1)若A∈P(X)，則μA(x)=0或μA(x)=1，即

也就是說ITE3(A)=(0，1)．

也就是說ITE3(A)=(1，0)．

即ITE3(A2)≤ITE3(A1)．

(EP4)ITE3(A)=ITE3(Ac)顯然得證．

其他情形同理可得．

□

2模糊集的直覺相似度

相似度也是用來描述模糊集模糊程度的指標(biāo)．為了度量兩個(gè)模糊概念的相似程度，在1987年，Pappis和Karacapilidis給出了關(guān)于兩個(gè)模糊集相似度定義的公理性描述．

定義4[9]若S：F(X)×F(X)→[0，1]滿足：

(S1)若A∈P(X)，則有S(A，Ac)=0；

(S2)S(A，A)=1；

(S3)S(A，B)=S(B，A)；

(S4)?A，B，C∈F(X)，若A?B?C，則

S(A，C)≤S(A，B)，S(A，C)≤S(B，C)

稱S(A，B)為模糊集A、B的相似度．

例如，若論域X={x1，x2，…，xn}，A、B為X上的模糊集，令μA(xi)-μB(xi)=g(A，B)，則

為模糊集A、B的相似度．

事實(shí)上，模糊集的相似度是利用論域X上兩個(gè)模糊集元素隸屬度來確定[0，1]間的一個(gè)數(shù)值．同樣由于認(rèn)知過程中的不確定性，需要將相似度的概念推廣至直覺相似度：

定義5 若ITS：F(X)×F(X)→L滿足以下性質(zhì)：

(SP1)若A∈P(X)，則ITS(A，Ac)=(0，1)；

(SP2)ITS(A，A)=(1，0)；

(SP3)ITS(A，B)=ITS(B，A)；

(SP4)?A，B，C∈F(X)，若A?B?C，則ITS(A，C)≤ITS(A，B)，ITS(A，C)≤ITS(B，C)稱ITS(A，B)為A、B的直覺相似度．

例如，令X={x1，x2，…，xn}，μA(xi)+μB(xi)=h(A，B)，定義

(4)

(5)

定理2ITSi(A，B)(i=1，2)為直覺相似度．

證明 以i=2為例，首先證ITS2(A)∈L．當(dāng)μA(x)≤μB(x)時(shí)，有

即ITS2(A)∈L．

當(dāng)μA(x)≥μB(x)時(shí)，同理可得．

(SP1)若A∈P(X)，則μA(x)=0或μA(x)=1，有

即ITS2(A，Ac)=(0，1)．

(SP2)顯然有ITS2(A，A)=(1，0)．

(SP3)ITS2(A，B)=ITS2(B，A)顯然得證．

(SP4)若A?B?C，則有μA(x)≤μB(x)≤μC(x)．

由式(5)可得

由于

即ITS2(A，C)≤ITS2(A，B)．

同理可得ITS2(A，C)≤ITS2(B，C)．

其他情形同理可得．

□

3直覺熵與直覺相似度的關(guān)系

直覺熵與直覺相似度都是描述模糊集模糊程度的指標(biāo)，二者之間的關(guān)系在本文中進(jìn)行討論．

定理3 設(shè)ITE為模糊集的直覺熵，對于?A，B∈F(X)，?x∈X，構(gòu)造函數(shù)如下：

則ITE(fi(A，B))(i=1，2，3)為模糊集A、B的直覺相似度．

證明 以i=1為例，

(SP1)若A∈P(X)，則?x∈X，有

f1(A，Ac)∈P(X)，即ITE(f1(A，Ac))=(0，1)；

(SP2)?x∈X，有

則ITE(f1(A，A))=(1，0)；

(SP3)顯然ITE(f1(A，B))=ITE(f1(B，A))；

(SP4)若A?B?C，則μA(x)≤μB(x)≤μC(x)，即

也就是說

i=2，3類似可得．

□

根據(jù)以上定理可知，給定一個(gè)模糊集的直覺熵，可以得到相應(yīng)的直覺相似度．

定理4 若ITS為模糊集的直覺相似度，則ITS(A，Ac)為模糊集A的直覺熵．

證明 (EP1)若A∈P(X)，則ITS(A，Ac)=(0，1)；

即

也就是說

(EP4)顯然有ITS(A，Ac)=ITS(Ac，A)．

□

綜上模糊集的直覺熵、直覺相似度二者之間等價(jià)，可以相互轉(zhuǎn)化．

4結(jié)語

本文主要解決的是當(dāng)考慮模糊集的模糊程度具有不確定性時(shí)，如何利用熵與相似度來進(jìn)行刻畫的問題．首先基于模糊集熵與相似度的定義，將其取值范圍進(jìn)行推廣，提出了直覺熵、直覺相似度的定義以及具體的構(gòu)建方法．然后對二者的關(guān)系展開了討論．由于熵在模糊多屬性決策問題中被用來確定指標(biāo)集的權(quán)重，直覺熵與直覺相似度如何在模糊多屬性決策問題中進(jìn)行應(yīng)用是今后值得研究的問題．

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文章編號：1000-8608(2016)04-0427-05

收稿日期：2015-12-02；修回日期: 2016-05-10．

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61473327).

作者簡介:石乙英(1980-)，女，博士生，E-mail:shiyiying98@163.com；袁學(xué)海*(1960-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail:yuanxh@dlut.edu.cn.

中圖分類號：O159

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

doi:10.7511/dllgxb201604015

Intuitionistic entropy and intuitionistic similarity of fuzzy sets

SHIYi-ying1,2,YUANXue-hai*1,3

( 1.School of Control Science and Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China；2.School of Science, Shenyang Ligong University, Shenyang 110159, China；3.School of Science, Dalian University of Technology at Panjin, Panjin 124221, China )

Abstract：Both entropy and similarity are used to describe the fuzziness of the fuzzy sets. But in existing methods, they are still represented as specific values to be studied. Aiming at the uncertainty of the fuzziness of the fuzzy sets which can not be expressed by specific value, the problem of how to measure with entropy and similarity is discussed. Firstly, intuitionistic entropy and intuitionistic similarity are defined. And then, two theorems are proposed to show how these definitions can be deduced to each other.

Key words：entropy; similarity; intuitionistic entropy; intuitionistic similarity