基于POT模型的大壩位移預(yù)警指標(biāo)實(shí)時(shí)估計(jì)

任　杰,蘇懷智,陳　蘭,許焱鑫

(1.河海大學(xué)水文水資源與水利工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇南京210098；2.河海大學(xué)水利水電學(xué)院,江蘇南京210098；3.長(zhǎng)江水利委員會(huì)長(zhǎng)江科學(xué)院,湖北武漢430010)

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基于POT模型的大壩位移預(yù)警指標(biāo)實(shí)時(shí)估計(jì)

任杰1,2,蘇懷智1,2,陳蘭3,許焱鑫1,2

(1.河海大學(xué)水文水資源與水利工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇南京210098；2.河海大學(xué)水利水電學(xué)院,江蘇南京210098；3.長(zhǎng)江水利委員會(huì)長(zhǎng)江科學(xué)院,湖北武漢430010)

摘要：大壩服役過(guò)程中,對(duì)其預(yù)警指標(biāo)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)具有重要意義?；跇O值理論,針對(duì)大壩位移歷史監(jiān)測(cè)序列,擬定合理的閾值,利用廣義帕累托分布(GPD)對(duì)超閾值序列進(jìn)行刻畫,結(jié)合大壩失事概率,建立位移預(yù)警指標(biāo)估計(jì)超閾值(POT)模型。通過(guò)實(shí)時(shí)更新建模序列,完成對(duì)位移預(yù)警指標(biāo)的實(shí)時(shí)估計(jì)。針對(duì)某混凝土重力拱壩29號(hào)壩段某測(cè)點(diǎn)在典型時(shí)間段2007年～2009年、2007年～2010年和2007年～2011年的位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),利用POT和傳統(tǒng)區(qū)間極值(BMM)模型分別完成對(duì)2010年、2011年和2012年位移預(yù)警指標(biāo)的估計(jì),驗(yàn)證了POT模型比傳統(tǒng)區(qū)間極值(BMM)模型更加安全合理。

關(guān)鍵詞：大壩；位移預(yù)警指標(biāo)；極值理論；POT模型

0引言

根據(jù)大壩工作性態(tài)及原始監(jiān)測(cè)資料,結(jié)合先進(jìn)的數(shù)學(xué)、力學(xué)方法建立各種效應(yīng)量的安全預(yù)警指標(biāo)估計(jì)模型,是實(shí)現(xiàn)大壩安全預(yù)警的重要手段。大壩安全預(yù)警的機(jī)理是根據(jù)大壩對(duì)抵御已經(jīng)歷荷載能力的分析,評(píng)估和預(yù)測(cè)抵御可能發(fā)生荷載的能力,確定出在各種荷載組合下大壩服役性態(tài)效應(yīng)量的警戒值。實(shí)現(xiàn)大壩效應(yīng)量預(yù)警指標(biāo)估計(jì)是大壩安全預(yù)警的關(guān)鍵。預(yù)警指標(biāo)估計(jì)重點(diǎn)考慮的是極端事件,借助極值理論可實(shí)現(xiàn)對(duì)其的估計(jì)和研究[1]。各種效應(yīng)量中,大壩位移量能很好的反映大壩的運(yùn)行狀態(tài),同時(shí)精度高,易于測(cè)量,故常根據(jù)位移歷史監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建立位移預(yù)警指標(biāo)估計(jì)模型。

基于極值理論實(shí)現(xiàn)對(duì)預(yù)警指標(biāo)估計(jì),一般通過(guò)建立極值BMM(BlockMaximaMethod)模型或POT(PeaksoverThreshold)模型。BMM模型是按時(shí)間或周期將獨(dú)立隨機(jī)的效應(yīng)量序列分隔為若干互不重疊的區(qū)間,選取區(qū)間極大值構(gòu)成子樣本序列并進(jìn)行廣義極值分布(Generalizedextremevaluedistribution,GEV)擬合[2],這是傳統(tǒng)的預(yù)警指標(biāo)估計(jì)方法。若資料年限較短,子樣本容量小,會(huì)產(chǎn)生較大的抽樣誤差,加之區(qū)間內(nèi)僅極值參與統(tǒng)計(jì)計(jì)算,使得該區(qū)間內(nèi)若干有價(jià)值測(cè)值被摒棄,如某一區(qū)間次極大值雖然大于另一區(qū)間的極大值卻被漏選,這顯然不合理,而且必將影響效應(yīng)量預(yù)警指標(biāo)的估計(jì)。POT模型則是依據(jù)一定的規(guī)則擬定合理的閾值,以超閾值序列作為子樣本序列,利用廣義帕累托分布(GeneralizedParetoDistribution,GPD)擬合子樣本序列,得到其分布函數(shù),根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)條件概率公式繼而得到母樣本的分布函數(shù),結(jié)合大壩的失事概率可完成對(duì)預(yù)警指標(biāo)的估計(jì)。POT模型既擴(kuò)大了樣本的容量,亦提高了樣本的質(zhì)量,同時(shí)漸近地刻畫了分布的尾部特征。Balkema和deHaan(1974)以及Pickands(1975)指出,來(lái)自同一總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,若閾值擬定充分大,超閾值的隨機(jī)變量的極限分布即為GPD分布[3,4]。大量學(xué)者研究表明,基于POT模型的極值理論方法比其他方法能夠更準(zhǔn)確地描述序列分布的尾部特征,尤其在采樣數(shù)據(jù)較少的情況下,是一種較為準(zhǔn)確的分位數(shù)分析和預(yù)測(cè)手段[1,2,5,6]。本文針對(duì)某混凝土重力拱壩29號(hào)壩段測(cè)點(diǎn)在2007年～2009年、2007年～2010年和2007年～2011年位移監(jiān)測(cè)序列,建立了大壩位移預(yù)警指標(biāo)實(shí)時(shí)估計(jì)POT模型,完成了對(duì)2010年、2011年和2012年位移預(yù)警指標(biāo)的估計(jì),結(jié)合位移年極值信息,與傳統(tǒng)BMM模型位移預(yù)警指標(biāo)估計(jì)對(duì)比,對(duì)POT模型的合理性和安全性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1大壩位移預(yù)警指標(biāo)估計(jì)POT模型

1.1GPD分布與POT模型

POT模型是基于GPD分布對(duì)超閾值序列進(jìn)行建模,來(lái)漸進(jìn)刻畫分布的尾部特征。GPD分布被定義為

(1)

式中,ε為形狀參數(shù)；u為位置參數(shù)；σ為尺度參數(shù)。當(dāng)ε≥0時(shí),x≥0；當(dāng)ε<0時(shí),u

1.2超閾值分布函數(shù)(CEDF)與總體分布函數(shù)

(2)

式中,0≤y≤xF-u；xF≤∞為F的右邊界。

由PBDH定理[3,4]可知：隨著閾值u的不斷增大,即u取得充分大時(shí),超閾值量序列的分布函數(shù)近似于GPD分布,Fu(y)≈Gε,u,σ(x)=Gε,σ(y),根據(jù)概率分布轉(zhuǎn)換公式,F(x)=F(u)+(1+F(u))Fu(y),并利用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)代替F(u),即F(u)=1-nu/n,則此時(shí)F(x)得以確定：

(3)

1.3位移歷史監(jiān)測(cè)序列厚尾檢驗(yàn)

針對(duì)位移歷史監(jiān)測(cè)序列{xi,i=1,…,n},利用Q-Q圖(quantile-quantileplot)法對(duì)其進(jìn)行厚尾檢驗(yàn)。正態(tài)Q-Q圖是散點(diǎn)分布圖,以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)為橫坐標(biāo),序列值為縱坐標(biāo)。若散點(diǎn)近似的分布于一條直線附近,則位移歷史監(jiān)測(cè)序列可能近似正態(tài)分布；若Q-Q圖的中部為直線,上端向右偏離該直線,向下傾斜,則位移歷史監(jiān)測(cè)序列分布的上尾可能具有厚尾性；若Q-Q圖的中部為直線,下端向左偏離該直線,向上翹起,則位移歷史監(jiān)測(cè)序列分布的下尾可能具有厚尾性[7]。

1.4閾值u擬定的Hill圖法

利用GPD分布擬合超閾值序列,需解決閾值u擬定這個(gè)關(guān)鍵問題,同時(shí)閾值u也是準(zhǔn)確估計(jì)參數(shù)ε和σ的前提。若閾值u的擬定過(guò)高,超閾值序列樣本容量少,使得參數(shù)估計(jì)的方差過(guò)大；若閾值u的擬定過(guò)低,則有可能不滿足PBDH定理成立的條件,使得超閾值序列樣本分布與GPD分布產(chǎn)生較大差異。閾值擬定方法分作圖法與數(shù)值計(jì)算法兩類[5,8,9]。本文借助Hill圖法進(jìn)行閾值u的擬定。

大壩位移歷史監(jiān)測(cè)序列{xi,i=1,…,n},其倒序統(tǒng)計(jì)量為xn,n≥…≥xi,n≥…≥x1,n,定義Hk,n為其極值指數(shù)的Hill估計(jì),則

(4)

1.5GPD分布參數(shù)估計(jì)

GPD分布參數(shù)估計(jì)的方法有：極大似然估計(jì)法,概率權(quán)矩法以及L矩估計(jì)法等[11-13]。本文采用最常用的極大似然估計(jì)法對(duì)GPD分布的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

似然函數(shù)：

(5)

式中,gε,σ(y)為廣義Pareto分布密度函數(shù)。

至此,根據(jù)上文公式及計(jì)算所得參數(shù)便可確定式(3)的分布函數(shù)。據(jù)分布函數(shù)反函數(shù),結(jié)合大壩失事概率,可以求得大壩位移預(yù)警指標(biāo)估計(jì)值。

大壩位移預(yù)警指標(biāo)實(shí)時(shí)估計(jì)基本流程見圖1。

圖2　監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)厚尾檢驗(yàn)

圖3　監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)Hill曲線

圖1　建模流程

2實(shí)例分析

某水利樞紐位于安徽省,地處長(zhǎng)江流域。樞紐包括混凝土重力拱壩、溢洪道、泄洪中孔、泄水底孔、發(fā)電廠房和筏道。壩頂高程為126.3m,最大壩高為76.3m,設(shè)計(jì)水位122.2m,總庫(kù)容為28.25億m3,本文依據(jù)該混凝土重力拱壩右岸壩肩29號(hào)壩段2007年～2012年徑向監(jiān)測(cè)資料,分別選取典型時(shí)間段2007年～2009年、2007年～2010年和2007年～2011年位移監(jiān)測(cè)序列,建立POT和BMM模型,假定失事概率為1%并結(jié)合年極值信息,完成2010年、2011年和2012年位移預(yù)警指標(biāo)估計(jì)與比較工作。本文取該測(cè)點(diǎn)向下游方向位移為研究對(duì)象。

2.1監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)厚尾檢驗(yàn)

利用Q-Q圖法對(duì)位移歷史監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行厚尾檢驗(yàn),檢驗(yàn)結(jié)果見圖2。由圖2可知,位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中間部分近似直線,呈微凹型,下端向左翹起,上端向下彎曲,具有厚尾分布,滿足極值POT模型成立的前提條件。

2.2Hill圖法擬定閾值u

借助Hill圖法進(jìn)行閾值u的擬定,分別繪出2007年～2009年、2007年～2010年和2007年～2011年位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)Hill曲線,確定相應(yīng)年份閾值,結(jié)果見圖3。

根據(jù)Hill圖中數(shù)據(jù)變化急緩情況,并結(jié)合已有文獻(xiàn)[9]的研究,分別定出2007年～2009年、2007年～2010年和2007年～2011年的超閾值個(gè)數(shù)nu,并由nu值找尋順序統(tǒng)計(jì)量中相應(yīng)的位移值,即閾值u。將POT模型計(jì)算結(jié)果列于表1。

表1POT模型參數(shù)計(jì)算結(jié)果

年份nnuuεσ2007年～2009年473400.99-0.8190.2312007年～2010年559371.01-0.7710.2032007年～2011年656430.98-0.7870.23

2.3模型對(duì)比分析

假定大壩失事概率1%以及表1中參數(shù)計(jì)算F(x)結(jié)果,由式(6)計(jì)算反函數(shù)即可得到2010年、2011年和2012年位移預(yù)警指標(biāo)估計(jì)值,并與傳統(tǒng)BMM模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。為評(píng)判模型估計(jì)合理性,引入實(shí)測(cè)年極值作參考,結(jié)果見表2。

表2POT和BMM模型安全預(yù)警指標(biāo)實(shí)時(shí)估計(jì)比較

年份位移/mmPOT模型BMM模型年極值2010年1.221.270.922011年1.211.270.712012年1.271.291.24

從表2中可知：①POT和BMM模型對(duì)于2010年、2011年和2012年位移預(yù)警指標(biāo)的估計(jì)非一成不變,且均大于相應(yīng)的年極值,與大壩壩肩實(shí)際狀況一致,兩種模型均具合理性；②倘若利用POT模型在2010年擬定的位移預(yù)警指標(biāo)應(yīng)用到2012年大壩位移監(jiān)控中,便會(huì)失效,說(shuō)明了實(shí)時(shí)加入新監(jiān)測(cè)資料對(duì)預(yù)警指標(biāo)的估計(jì)具有實(shí)際意義；③對(duì)比POT與BMM模型可以得到POT模型在位移預(yù)警指標(biāo)估計(jì)中更加偏于安全。

3結(jié)語(yǔ)

極值理論P(yáng)OT模型通過(guò)設(shè)定合理的閾值,更全面的考慮了所有較大測(cè)值,利用GPD分布更好地刻畫了數(shù)據(jù)樣本的超閾值分布特征,因此得到的預(yù)警指標(biāo)估計(jì)值能更客觀地反映工程實(shí)際。

本文將極值POT模型應(yīng)用于大壩位移預(yù)警指標(biāo)實(shí)時(shí)估計(jì)中,通過(guò)分析研究,大壩處于安全狀態(tài),與大壩的實(shí)際情況較為吻合,與該大壩壩肩實(shí)際監(jiān)測(cè)資料成果分析一致,說(shuō)明本文建立的位移預(yù)警指標(biāo)實(shí)時(shí)估計(jì)模型較為可靠,具有一定的科學(xué)性。本文在模型建模過(guò)程中,因大壩失事概率尚無(wú)具體規(guī)范可依據(jù),依經(jīng)驗(yàn)對(duì)其假定具有主觀性,為更加客觀精確的估計(jì)預(yù)警指標(biāo),存在的不足,需進(jìn)一步進(jìn)行研究與完善。

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(責(zé)任編輯王琪)

收稿日期：2015- 05- 18

基金項(xiàng)目：江蘇省杰出青年基金(BK2012036)；國(guó)家自然科學(xué)基金(51179066, 51409167,81279052,2014513311)；國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室研究項(xiàng)目(20145028312)；江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”科研項(xiàng)目(2016-B1307101)

作者簡(jiǎn)介：任杰(1992—),男,山西臨汾人,碩士研究生,研究方向?yàn)樗そY(jié)構(gòu)工程安全監(jiān)控．

中圖分類號(hào)：TV698.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：0559- 9342(2016)04- 0045- 04

Real-TimeEstimationofDamDisplacementEarlyWarningIndicatorBasedonPOTModel

RENJie1,2,SUHuaizhi1,2,CHENLan3,XUYanxin1,2

(1.StateKeyLaboratoryofHydrology-WaterResourcesandHydraulicEngineering,HohaiUniversity,Nanjing210098,Jiangsu,China; 2.CollegeofWaterConservancyandHydropower,HohaiUniversity,Nanjing210098,Jiangsu,China;3.ChangjiangRiverScientificResearchInstituteofChangjiangWaterResourcesCommission,Wuhan430010,Hubei,China)

Abstract:In the process of dam service, the real-time estimation of dam safety early warning indicator is of great significance. Based on extreme value theory, the reasonable threshold is firstly proposed for displacement historical monitoring sequences, and then the over threshold sequences will be featured by using Generalized Pareto Distribution (GDP), finally the Peaks Over Threshold (POT) model of displacement early warning indicator will be built combining with the probability of dam failure. By updating the modeling sequences in real time, the real-time estimation of displacement early warning indicator will be completed. Based on the displacement monitor sequences of 2007- 2009, 2007- 2010 and 2007- 2011 of the 29thmonolith of a gravity arch dam, the estimations of displacement early warning indicators of 2010, 2011 and 2012 are completed by using POT model and traditional Block Maxima Method (BMM) respectively. The results validate that the POT model is more safe and reasonable than BMM model．

Key Words:dam; displacement early warning indicator; extreme value theory; POT model