具有等距密排微小孔穿刺模板的力學(xué)分析

趙世海，王婷慧，董九志，蔣秀明（1.天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387；2.天津工業(yè)大學(xué) 現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)天津市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300387）

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具有等距密排微小孔穿刺模板的力學(xué)分析

趙世海1，2，王婷慧1，2，董九志1，2，蔣秀明1，2
（1.天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387；2.天津工業(yè)大學(xué) 現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)天津市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300387）

穿刺模板用于正交疊層碳布織機(jī)中，其上開(kāi)有近千個(gè)緊密排列的微孔使得力學(xué)分析較為困難.首先根據(jù)擬板理論用2種方法求出了等效彈性模量：一種是從細(xì)觀層次出發(fā)由漸進(jìn)均勻化理論得出；另一種是從宏觀角度應(yīng)用薄板理論，分別得出了剩余彈性模量和孔密度的關(guān)系圖.然后根據(jù)工程需要利用擬板求出了穿刺模板的等效板厚和自振頻率.最后設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)以測(cè)試?yán)碚摲治鏊玫年P(guān)系圖，綜合2種理論方法和實(shí)驗(yàn)所得的3個(gè)結(jié)果找出了在不同孔密度區(qū)間里求等效彈性模量的最優(yōu)方法.

穿刺模板；等距密排微小孔；均勻化理論；等效彈性模量；擬板理論；力學(xué)分析

modulus；pseudo-plates theory；mechanical analysis

等距密排穿刺模板在碳布的整體穿刺工藝中用于制造碳纖維立體織物［1］.碳纖維立體織物是高性能碳纖維在三維空間多方向連續(xù)排布形成的纖維增強(qiáng)體.整體穿刺的過(guò)程是將鋼針?lè)胖贸蒢向鋼針陣列，固定于工作臺(tái)上，碳布置于穿刺模板下方，在穿刺模板帶動(dòng)下穿過(guò)Z向鋼針陣列，重復(fù)上述過(guò)程直到滿足所需厚度，使用Z向纖維置換Z向鋼針，制成立體織物.

在整體穿刺過(guò)程中穿刺模板向下移動(dòng)，接觸靜止的碳布后，帶動(dòng)碳布一同穿過(guò)靜置的Z向鋼針陣列，當(dāng)碳布與鋼針陣列接觸時(shí)開(kāi)始穿刺過(guò)程，鋼針對(duì)碳布有作用力，導(dǎo)致碳布變形，與此同時(shí)，碳布對(duì)穿刺模板的微小孔邊產(chǎn)生力的作用.

在此過(guò)程中穿刺模板起到為鋼針定位和給碳布加壓的作用，隨著碳布層數(shù)的增加，碳纖維立體織物的厚度加大，鋼針在穿刺中承受較大的反作用力后會(huì)傾斜、彎曲甚至折斷，穿刺模板的微小孔約束了鋼針的上述運(yùn)動(dòng)；另外，由于各層碳布是否密實(shí)直接影響立體織物的力學(xué)性能，這時(shí)穿刺模板起到了加壓的作用.因此，穿刺模板必須有足夠的剛度，以保證在整個(gè)穿刺過(guò)程中發(fā)生盡可能小的彎曲變形.由于開(kāi)孔對(duì)板的彎曲剛度影響很大，含有近千個(gè)微小孔的穿刺模板和加工板所用的材料相比，其彎曲剛度大為削弱.

穿刺模板的外部尺寸符合薄板彎曲理論的條件，但是利用ANSYS直接建模分析時(shí)會(huì)出現(xiàn)2個(gè)障礙導(dǎo)致分析中止：一是由于孔很小，應(yīng)力和撓度以及其它變形分量等一些物理量隨位置變化呈現(xiàn)震蕩特征，使得力學(xué)分析過(guò)程復(fù)雜且結(jié)果不可靠；二是如果直接應(yīng)用有限元進(jìn)行數(shù)值模擬，劃分網(wǎng)格時(shí)由于每個(gè)微孔的四周都有孔，每個(gè)孔的圓周上至少要分4個(gè)節(jié)點(diǎn)。穿刺模板上孔的數(shù)目多，描述該類結(jié)構(gòu)需要很密的網(wǎng)格從而形成很多單元，穿刺模板上有近千個(gè)孔使得上述計(jì)算量巨大，超出微型計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力，導(dǎo)致無(wú)法求解或者求解精度過(guò)低.

穿刺模板的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是在板的中心區(qū)域按照一定規(guī)律開(kāi)了很多孔，孔徑比板的輪廓尺寸小得多.本文采用擬板理論，把穿刺模板的微小孔抹去，用同尺寸的實(shí)心板代替穿刺模板，由此可知代替穿刺模板完成力學(xué)分析的等效實(shí)心板與穿刺模板應(yīng)該有同樣的彈性常數(shù)，以保證等效實(shí)心板和穿刺模板在受到相同的激勵(lì)載荷時(shí)響應(yīng)相同.

1　穿刺模板的力學(xué)分析

圖1表示了穿刺模板的細(xì)部結(jié)構(gòu).由圖1可以看出，穿刺模板的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是緊密排列的微孔中心距相等，排布顯周期性特征.

圖1　穿刺模板結(jié)構(gòu)模型Fig.1　Structure model of piercing template

本文先根據(jù)擬板理論把密排孔板的孔抹去使其等價(jià)為另一種材料制成的實(shí)心板，也就與是密排孔板等價(jià)的擬板，在不改變板的形狀和尺寸的條件下求出擬板的彈性模量定義為密排孔板的等效彈性模量［2］.借鑒復(fù)合材料板的分析方法，用細(xì)觀和宏觀2種方法求出2組等效彈性模量［3-4］.

細(xì)觀方法應(yīng)用基于小參數(shù)攝動(dòng)法的漸進(jìn)均勻化理論和有限元分析的理論［5］.先根據(jù)細(xì)觀力學(xué)中的代表單元法劃分出單胞，然后將單胞的應(yīng)力應(yīng)變以及應(yīng)變位移的關(guān)系式代入虛功方程，將位移展開(kāi)為含小參數(shù)的漸進(jìn)表達(dá)式后代入上述方程，利用周期性性質(zhì)和散度定理化簡(jiǎn)方程得出等效彈性模量的張量表達(dá)式；最后利用通用有限元分析的格式將張量式改寫(xiě)為矩陣方程，求出剛度矩陣從而得到等效彈性模量［6］.

根據(jù)結(jié)構(gòu)的周期性劃分出的代表單元稱為單胞，理想單胞可以通過(guò)空間上無(wú)重疊、無(wú)縫隙的延拓即可重現(xiàn)真實(shí)的密排孔板結(jié)構(gòu)并且要有規(guī)則的幾何外形.此外如果單胞外廓閉合，則在二維坐標(biāo)系中是單連通域，有利于物理方程的化簡(jiǎn)中直接應(yīng)用高斯散度定理.基于以上原因穿刺模板的單胞模型如圖2所示［7］.

圖2　單胞模型Fig.2　Model of base cell

建立2個(gè)尺度的坐標(biāo)系，宏觀用X表示，細(xì)觀用Y表示.引入小量，其物理意義是把宏觀坐標(biāo)系X中的一個(gè)點(diǎn)放大倍放入細(xì)觀坐標(biāo)系Y中，建立了一個(gè)模型在宏觀和細(xì)觀上對(duì)應(yīng)關(guān)系.穿刺模板在垂直于板中面的方向孔的形狀和尺寸沿厚度不變，在彈性力學(xué)中可歸結(jié)為的平面問(wèn)題處理并且密排孔板的彈性矩陣設(shè)為正交各向異性材料的形式，可知待求量為E11、E12、E22和E66.

經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出等效彈性模量的表達(dá)式

宏觀方法是基于經(jīng)典薄板理論，以密排孔板和擬板受相同的外載荷時(shí)的最大撓度相等為條件建立方程，從中提出抗彎剛度的關(guān)系式從而得到等效彈性模量［9］.又由于等效前后板的外形尺寸不能變，所以微孔數(shù)目越多，板的實(shí)體部分的體積相應(yīng)就越小，每個(gè)小孔周邊承受的載荷就越大，這就建立起孔的數(shù)量和彈性模量的關(guān)系.綜上可得Timoshenko理論，其中正方形薄板的中心撓度的精確值為

2　案例分析

密排孔板的外形尺寸為20 cm×20 cm，等距密排孔區(qū)域面積為256 cm2，厚度為1 cm.有976個(gè)微孔，孔徑為4 mm，孔邊間距1 mm.密排孔板的彈性模量為210×106Pa，泊松比μ=0.3，密度為7.85×103kg/m3，表面受壓力載荷為4×104N/m2.用MAPLE解有限元矩陣的結(jié)果為：

由觀察結(jié)果可知，在板上的微孔是圓形且等距排列時(shí)，密排孔板的彈性矩陣顯各向同性材料的特征.

另一種解法是由上文推出的邊界條件直接用ANSYS建單胞模型［10］.為了保證單胞的變形協(xié)調(diào)還需再加上周期性邊界條件，即保證單胞外邊界相對(duì)的2個(gè)面的所有點(diǎn)的位移變化一致［11］.具體實(shí)施的方法是在WORKBENCH中用“強(qiáng)迫位移”命令添加位移約束. 圖3為單胞水平方向有一個(gè)單位初應(yīng)變的變形，剩余2種情況類似.

圖3　單胞變形圖Fig.3　Deformation of base cell

ANSYS與MAPLE給出的結(jié)果相差無(wú)幾，原因是2種方法本質(zhì)是一樣的，只是同一個(gè)矩陣方程用2種計(jì)算器求解而已.用MAPLE的解是先借助ANSYS APDL劃分網(wǎng)格，導(dǎo)出此時(shí)節(jié)點(diǎn)和單元信息然后導(dǎo)入MAPLE，用ANSYS求解是建模、劃分網(wǎng)格、加載邊界條件全程借助ANSYS的模塊，優(yōu)點(diǎn)是可以借助ANSYS強(qiáng)大的后處理器得到直觀的變形圖像.

從宏觀角度來(lái)看板的中心撓度就是最大撓度故取密排孔板中心區(qū)域的小樣［12］.令密排孔板的中心撓度為w，彈性模量E，擬板的中心撓度為wH彈性模量EH.借助ANSYS APDL建立小樣模型，求出w和w′再代入（3）求出.用同樣的方法能求出不同開(kāi)孔直徑下的［13］.

由于最終要得出開(kāi)孔數(shù)量對(duì)板的彈性模量的削弱程度，故定義剩余彈性模量為EH/E，其中分母為加工密排孔板所用材料的彈性模量.開(kāi)孔數(shù)量用孔密度表示，定義為α等于孔板的體積和當(dāng)量板體積比值.2種方法求出的剩余彈性模量和孔密度的關(guān)系如圖4所示.

圖4　剩余彈性模量-孔密度圖Fig.4　Residual modulus of elasticity-density of hole

觀察圖4得出2條結(jié)論：一是當(dāng)板上的微孔是圓形、等距排列且在孔密度小于0.4時(shí)，細(xì)觀方法和宏觀方法數(shù)值相近，可以推測(cè)出按此方法分析時(shí)最佳孔密度為0.3到0.4，但是隨著孔的數(shù)量增多，計(jì)算所得剩余彈性模量數(shù)值的離散度增加，到底哪種更接近實(shí)際由后續(xù)試驗(yàn)驗(yàn)證；另一個(gè)是可以根據(jù)曲線擬合原理得出α和的關(guān)系式接近指數(shù)函數(shù)形式

式中：x、y和z為待定常數(shù).

3　擬板的應(yīng)用

在應(yīng)用擬板理論求出等效彈性模量的過(guò)程中要求擬實(shí)心板和密排孔板的外形尺寸一致，以保證兩者在承受相同的外載荷時(shí)把密排孔對(duì)剛度的削弱表現(xiàn)在彈性模量上.如果把原密排孔板和擬板都看由2種無(wú)關(guān)的材料制成的實(shí)心板，當(dāng)兩板的表面積一樣時(shí)就把密排孔對(duì)剛度的削弱表現(xiàn)為厚度的折減，求出擬板的厚度值稱為等效板厚.

根據(jù)克?；舴?泰勒假設(shè)，選取中面撓度為基本未知量，另外2個(gè)位移分量是中面撓度的函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中彎曲微分方程為

式中：q為垂直于中面的外載.

根據(jù)中面的定義，計(jì)算出中面位置h1

此時(shí)的抗彎剛度Dh1計(jì)算公式變?yōu)?/p>

下面推導(dǎo)計(jì)算等效板厚的公式，目的是在已知密排孔板的材料的情況下，快速判斷出相當(dāng)于多厚的實(shí)心板.要說(shuō)明的是等效板厚公式的前提：孔為圓形，正方形，正六邊形等規(guī)則幾何輪廓；每個(gè)孔的中心距一樣，顯正三角形或正方形排列，目的是保證能利用各向同性板的理論；厚度方向孔的尺寸不變化.如果存在階梯孔可以根據(jù)厚度方向的不同孔徑分段處理，由于以上所有推導(dǎo)都是在小撓度線彈性的前提下進(jìn)行，可以把分段處理的結(jié)果直接相加得到整個(gè)板的等效厚度.

建立方程的依據(jù)是保證兩者在相同外載荷下的相同變形，把密排孔對(duì)剛度的削弱表現(xiàn)為厚度的折減.厚度H由彎曲剛度表征，所以直接令兩者的彎曲剛度相等即可求出等效厚度HH，H為密排孔板的實(shí)際厚度.

借助ANSYS得到原厚度為10 mm的穿刺模板相當(dāng)于厚度為5.71 mm的實(shí)心板.

穿刺時(shí)模板在隨工作臺(tái)上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)，這種工況下通常需求出穿固有頻率.借助ANSYS的模態(tài)組塊，可以求出任意階的自振頻率，用擬板建模從后處理器可提取的各階頻率的數(shù)值和圖形，得到的一階自振頻率即密排孔板的固有頻率.

4　剩余彈性模量的驗(yàn)證試驗(yàn)

在理論分析中宏觀和細(xì)觀2種方法的操作中必須用有限元方法離散，解的精確性和節(jié)點(diǎn)的數(shù)量、網(wǎng)格的形狀及單元的選取密切相關(guān)，故在理論分析后設(shè)計(jì)了試驗(yàn)測(cè)試圖4得出剩余彈性模量和孔密度的關(guān)系.實(shí)驗(yàn)設(shè)備為天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械學(xué)院材料力學(xué)實(shí)驗(yàn)室的WDW3100微機(jī)控制電子萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī).

至今為止沒(méi)有針對(duì)具有密排孔結(jié)構(gòu)的板的拉伸試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，本次試驗(yàn)的試樣參照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中短比例薄板試樣的規(guī)范，取試樣的總長(zhǎng)度為200mm，標(biāo)距為50 mm.根據(jù)理論分析的結(jié)果可知對(duì)于薄板可忽略厚度對(duì)剩余彈性模量影響，考慮到試樣的拉斷時(shí)間和加工方便，直接從2 mm厚的鋼板取樣.由于密排孔區(qū)域強(qiáng)度削弱較大，故試樣在拉伸過(guò)程中一定是在密孔區(qū)域而不會(huì)在夾持部分屈服，故沒(méi)有設(shè)計(jì)夾持過(guò)度段，斷裂后的試樣也驗(yàn)證了這點(diǎn).

表1列出了本次試驗(yàn)的4種試樣.

表1中，0號(hào)試樣是未開(kāi)孔板，目的是測(cè)出剩余彈性模量中分母的數(shù)值.1、2、3號(hào)試樣分別測(cè)出開(kāi)孔密度為0.2、0.3、0.6時(shí)的等效彈性模量的值.其中1號(hào)和3號(hào)試樣的孔為等距排布，2號(hào)試樣的孔為橫縱向中心距不相等的情況.受加工條件的制約2和3號(hào)試樣沒(méi)能做到孔密度嚴(yán)格一致，但是相近的孔密度也能反映出孔的排布方式對(duì)剩余彈性模量的影響程度，而且以橫縱向距離不相等的試樣做反向?qū)φ?，為進(jìn)一步分析不等距的密排孔板的提供實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).同樣受加工條件的限制本次試驗(yàn)的試樣最大孔密度取到60%，表2為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

表1　試樣規(guī)格明細(xì)Tab.1　 Specification list of sample

表2　實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.2　Experimental data

每種試樣都取3件做試驗(yàn)，表2的結(jié)果是3件試樣的算術(shù)平均值.屈服力是按照慣例取0.2%的殘余變形時(shí)的值.0號(hào)試樣測(cè)出了剩余彈性模量中分母的值，其余試樣的彈性模量都和其相比.1號(hào)試樣的剩余彈性模量的實(shí)驗(yàn)值為0.37，理論值為0.297，2號(hào)試樣的實(shí)驗(yàn)值為0.612，理論值為0.65，3號(hào)試樣的實(shí)驗(yàn)值為0.718，理論值為0.74.分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以直接看出2點(diǎn)：一是當(dāng)開(kāi)孔密度低于0.6時(shí)，用宏觀薄板理論和細(xì)觀均勻化方法求出的理論值和實(shí)驗(yàn)值吻合的較好，但隨開(kāi)孔密度孔的增加數(shù)值的離散度加大，本次試驗(yàn)的數(shù)據(jù)更接近薄板理論的分析結(jié)果，可見(jiàn)均勻化方法的結(jié)果更趨于保守；二是像2號(hào)試樣這樣每排孔的中心距統(tǒng)一變化時(shí)，孔間距對(duì)剩余彈性模量的影響不大.因?yàn)殡m然2號(hào)試樣把縱向的孔距增大，按照開(kāi)孔率的計(jì)算公式板上有孔處的總面積也隨之加大，降低了開(kāi)孔率，并且整排孔的變動(dòng)數(shù)值一樣時(shí)結(jié)果類似于等距的情況.

觀察試樣的斷裂位置發(fā)現(xiàn)同一規(guī)格的三件試樣的斷裂位置不一樣，即并非都發(fā)生在中間一排，并且2號(hào)試樣在相鄰兩排孔都有斷裂，1號(hào)和3號(hào)試樣斷裂雖然不一定發(fā)生在哪一排，但都是同一排孔統(tǒng)一短.由此可以看出改變孔間距雖然對(duì)剩余彈性模量的影響不大，但對(duì)板的破壞形式有影響.同時(shí)可以推測(cè)出斷裂發(fā)生在孔間距的加工誤差較大的位置，那么隨孔密度加大，加工誤差影響成為導(dǎo)致實(shí)際值的離散度加大的重要因素.

圖5為未開(kāi)孔試樣的實(shí)驗(yàn)力-位移曲線，圖6為孔密度為0.6的曲線，結(jié)合其他試樣的曲線圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著孔密度的增大密排孔結(jié)構(gòu)試樣的曲線沒(méi)有明顯的彈性階段、屈服階段、強(qiáng)化階段的分界區(qū)間.

圖5　0號(hào)試樣的實(shí)驗(yàn)力-位移曲線Fig.5　Experimental force displacement curve of sample 0

圖6　1號(hào)試樣的實(shí)驗(yàn)力-位移曲線Fig.6　Experimental force displacement curve of sample 1

5　結(jié)語(yǔ)

具有等距密排微小孔的穿刺模板的力學(xué)分析不能直接用有限元方法仿真，本文用擬板理論，用模擬出的實(shí)心板分析密排孔板的一些力學(xué)指標(biāo).為了保證結(jié)果的可靠性，用細(xì)觀均勻化方法和薄板理論求出了等效彈性模量并得出了幾種不同規(guī)格的開(kāi)孔數(shù)量對(duì)彈性模量弱度，即剩余彈性模量-孔密度曲線；隨后列舉了擬板的兩個(gè)用途；最后設(shè)計(jì)了試驗(yàn)測(cè)試?yán)碚摲治龅慕Y(jié)果，發(fā)現(xiàn)由細(xì)觀均勻化方法求出的數(shù)值均稍微低于實(shí)驗(yàn)所得，說(shuō)明此方法所得數(shù)據(jù)更可靠.

需要指出的是，這種模擬的實(shí)心板不是在任何情況都能代替密排孔板，比如在強(qiáng)度分析中由于孔的存在會(huì)造成局部的應(yīng)力集中，在疲勞破壞分析中沖擊載荷作用時(shí)某些邊緣區(qū)域的孔會(huì)先出現(xiàn)破壞.同時(shí)實(shí)驗(yàn)表明加工精度對(duì)密排孔板力學(xué)性能影響很大，例如板的某些邊緣區(qū)域孔間距如果有很小的誤差，受彎曲外載荷時(shí)破壞失效很可能就發(fā)生于此，這些用模擬的實(shí)心板都難以得出.

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Mechanical analysis of piercing template with equal center distance and closely aligned tiny hole

ZHAO Shi-hai1，2，WANG Ting-hui1，2，DONG Jiu-zhi1，2，JIANG Xiu-ming1，2
（1.School of Mechanical Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China；2.Tianjin City Key Laboratory of Modern Mechatronics Equipment Technology，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

Piercing template is used in the integrated piercing process of orthogonal laminated woven fabrics.There are nearly a thousand closely aligned small holes，which make it difficult to analyze the mechanical behavior.The effective modulus was obtained from the pseudo-plates theory from two aspects，that is，homogenization theory and elastic theory，respectively.And the characteristics of each method are discussed.According to the engineering requirement，the equivalent plate thickness and the natural frequency were calculated by using the isoeffective modulus.

piercing template；equal center distance and closely aligned tiny hole；homogenization theory；isoeffective

TH112

A

1671－024X（2016）03－0073－05

10.3969/j.issn.1671-024x.2016.03.014

2015-12-15

天津市科技支撐重點(diǎn)計(jì)劃項(xiàng)目（15ZCZDGX00840）

趙世海（1970—），男，博士，副教授，主要研究方向?yàn)樾滦图徔棛C(jī)械設(shè)計(jì).E-mai：tjshzhao@163.com