長(zhǎng)短波方程的同宿解

李龍星

（曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院　云南曲靖　655000）

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長(zhǎng)短波方程的同宿解

李龍星

（曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院云南曲靖655000）

本文通過(guò)雙線(xiàn)性方法和拓展的同宿測(cè)試法，得到長(zhǎng)短波方程方程的新的同宿孤立波解，同時(shí)也充分說(shuō)明了1+1維長(zhǎng)短波方程動(dòng)力學(xué)行為的多樣性和復(fù)雜性。

長(zhǎng)短波方程 同宿測(cè)試 同宿解

孤立子的研究是非線(xiàn)性偏微分方程領(lǐng)域的一個(gè)重要分支，同時(shí)也是許多近現(xiàn)代學(xué)者研究的熱門(mén)課題。近年來(lái)，非線(xiàn)性偏微分方程的精確解受到很多學(xué)者的關(guān)注，提出許多關(guān)于非線(xiàn)性偏微分方程的求解方法，如Hirota方法［1］、逆散射方法［2］、Ba&cklund和Darboux變換、擴(kuò)展的F-展開(kāi)法、齊次平衡法、Ja-cobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法及指數(shù)函數(shù)法等，這些方法得到了很好的應(yīng)用和發(fā)展.到目前為止，關(guān)于（1+1）維的非線(xiàn)性系統(tǒng)中單變量的周期孤立波解的形式較多，而對(duì)于高維的例如（2+1）維的一些可積系統(tǒng)的周期孤立波解的形式相對(duì)較少.同宿測(cè)試技巧是一種可得到一些可積系統(tǒng)同宿解的方法，應(yīng)用此方法的擴(kuò)展形式可得到一些可積系統(tǒng)的周期孤立波解.擴(kuò)展的同宿測(cè)試法與原來(lái)的同宿測(cè)試法的主要差別在于構(gòu)造不同精確解的測(cè)試函數(shù)。在這篇文章中，我們研究了一個(gè)非線(xiàn)性偏微分方程---長(zhǎng)短波方程。首先，利用廣田雙線(xiàn)性法和同宿測(cè)試法，探討了方程的同宿軌道解，最終獲得了方程的雙周期同宿軌解。

本文考慮如下形式的長(zhǎng)短波方程：

u代表短波，v代表長(zhǎng)波。

作如下變換

其中A是常數(shù)，f是實(shí)函數(shù)，g是復(fù)函數(shù)。把（2）代入（1）得到方程（1）的雙線(xiàn)性形式：

其中c是積分常數(shù)， g*是g是共軛函數(shù)。若假設(shè)函數(shù)f，g為如下形式：

其中b3，p，α，b4，p1待定實(shí)數(shù)，b1，b2是待定復(fù)數(shù)。把（4）代入（3）得到一個(gè)多項(xiàng)式，再把多項(xiàng)式中的系數(shù)設(shè)定為零，得到一組關(guān)于b3，p，α，b4，p1，A，b1，b2的方程組：

解上述方程組得到：

結(jié)合（4）和（6），得到方程（1）的同宿解：

式（7）就是方程（1）的同宿波解，因?yàn)榭梢宰C明：

隨著對(duì)非線(xiàn)性偏微分方程研究的深入和發(fā)展，得到了許多關(guān)于非線(xiàn)性偏微分方程的求解方法，在這篇論文中主要通過(guò)Hirota變換將（1+1）維非線(xiàn)性長(zhǎng)短波方程化為它的雙線(xiàn)性型形式，利用同宿測(cè)試技巧對(duì)此雙線(xiàn)性型進(jìn)行考慮，同時(shí)運(yùn)用一些運(yùn)算性質(zhì)和技巧，得到原方程的同宿周期孤立波解，并對(duì)此解的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了討論與研究。

［1］Dai H， Lancaster P. Linear matrix equation from an inverse problem of vibration theory［J］.LinearAlgebraApp1.，1996，246：31-47.

［2］廖安平，自中治.矩陣方程的雙對(duì)稱(chēng)最小二乘解［J］.計(jì)算數(shù)學(xué)，2002，24（1）：9-20.

李龍星（1989年10月-） 女， 碩士。漢族。云南保山人?，F(xiàn)任職于曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，助教。 研究方向：數(shù)學(xué)物理方程。