基于排序集樣本和輔助變量中位數(shù)的均值比率估計(jì)方法

喬松珊，張建軍，孫成金

(1.中原工學(xué)院 信息商務(wù)學(xué)院，河南 鄭州 450007；2.河南農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息與管理科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450002)

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基于排序集樣本和輔助變量中位數(shù)的均值比率估計(jì)方法

喬松珊1，張建軍2，孫成金2

(1.中原工學(xué)院 信息商務(wù)學(xué)院，河南 鄭州 450007；2.河南農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息與管理科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450002)

摘要：排序集抽樣下利用輔助變量中位數(shù)構(gòu)建了總體均值的改進(jìn)比率估計(jì)模型，分析了該比率估計(jì)量的偏差和均方誤差，并與簡單隨機(jī)抽樣下的比率估計(jì)比較，證明了改進(jìn)后的比率估計(jì)均方誤差更小。以農(nóng)作物播種面積和產(chǎn)量為研究對象進(jìn)行實(shí)例分析，研究表明，基于排序集樣本和輔助變量中位數(shù)的比率估計(jì)方法可以有效提高估計(jì)精度，驗(yàn)證了該構(gòu)造方法的可行性。

關(guān)鍵詞：輔助變量；中位數(shù)；排序集樣本；比率估計(jì)

一、引言

(1)

比率估計(jì)并不是無偏估計(jì)，為了降低估計(jì)偏差，提高精度，一些學(xué)者探討了兩種改進(jìn)思路，一是修改估計(jì)量形式，二是采用新的抽樣方法。Sisodia、Singh和Yan等人分別利用輔助變量的變異系數(shù)，峰度系數(shù)和偏斜系數(shù)，在隨機(jī)抽樣下提出了均值比率估計(jì)的改進(jìn)形式[2-4]，隨后Subramani等人為了提高估計(jì)量的穩(wěn)定性，在前人研究基礎(chǔ)上提出了另一種比率估計(jì)量[5]：

(2)

(3)

其中θ=μX/(μX+Md)。研究結(jié)果表明，相關(guān)系數(shù)滿足一定條件時(shí)，該估計(jì)量的估計(jì)效率要比上述其它幾種改進(jìn)形式精度更高。

排序集抽樣(RSS)是一種新的抽樣方法，最初是由McIntyre在估計(jì)牧草產(chǎn)量時(shí)提出，隨后得到了深入研究和廣泛應(yīng)用[6]；Dell等指出當(dāng)樣本易于排序而不容易具體測量時(shí)，基于排序集抽樣方法可以提高均值估計(jì)的精度[7]；Stokes分析了排序集抽樣下方差的估計(jì)方法，證明了樣本方差為總體方差的漸進(jìn)無偏估計(jì)[8]；Chen討論了排序集抽樣下參數(shù)極大似然估計(jì)的相合性和漸進(jìn)正態(tài)性，并與隨機(jī)抽樣相比，分析了估計(jì)的相對漸進(jìn)效率[9]。另外，在均值比率估計(jì)方面也有不少研究成果：Samawi在排序集抽樣下討論了總體均值的比率估計(jì)問題，并與隨機(jī)抽樣相比，說明了基于排序集樣本的比估計(jì)有效降低了估計(jì)的均方誤差[10]；Kadilar等通過增加比率系數(shù)，利用排序集樣本對傳統(tǒng)估計(jì)形式進(jìn)行改進(jìn)，并討論了比率系數(shù)的確定方法[11]；Jozani等研究了排序集抽樣下降低比率估計(jì)偏差的方法，提出了總體均值的無偏和近似無偏比率估計(jì)形式，并分析了估計(jì)量的均方誤差[12]；AI-Omari基于輔助變量一、三分位數(shù)構(gòu)造均值的比率估計(jì)量，并比較了兩種抽樣方法下的估計(jì)方差[13]。

輔助變量信息的利用程度直接影響均值估計(jì)的精度，為此，本文同時(shí)考慮排序集樣本和輔助變量中位數(shù)兩個(gè)因素，構(gòu)造總體均值改進(jìn)的比率估計(jì)形式。首先，提出總體均值的改進(jìn)比率估計(jì)形式，并討論估計(jì)量的近似無偏性和均方誤差；其次，通過比較兩種抽樣方法下估計(jì)量的均方誤差，證明了改進(jìn)比估計(jì)量的有效性；最后，通過實(shí)例進(jìn)一步分析得出結(jié)論。

二、改進(jìn)的比估計(jì)量及性質(zhì)

在進(jìn)行均值比率估計(jì)時(shí)，如果還有其它輔助信息可以利用，我們希望在降低估計(jì)偏差的同時(shí)，進(jìn)一步降低估計(jì)量的均方誤差。與輔助變量的變異系數(shù)、峰度和偏度系數(shù)相比，中位數(shù)不容易受到極值和異常值的影響，有鑒于此，本文受到式(2)構(gòu)造方法的啟發(fā)，嘗試同時(shí)考慮排序集樣本和輔助變量中位數(shù)建立均值μY的改進(jìn)比率估計(jì)模型，構(gòu)建模型如下：

(4)

(5)

(6)

下面,計(jì)算排序集抽樣下改進(jìn)比率估計(jì)的均方誤差。首先，利用Samawi中的結(jié)論，得到引理1。

(7)

(8)

同理可得：

(9)

(10)

將式(8)、(9)、(10)代入式(7),整理得到：

(11)

其中θ=μX/(μX+Md),TX(i)=μX(i)-μX,TY[i]=μY[i]-μY,TXY(i)=TX(i)TY[i]。

(12)

其中相應(yīng)參數(shù)表達(dá)式與式(11)相同。

三、改進(jìn)估計(jì)量的有效性

定理3表明，利用排序集樣本代替隨機(jī)樣本的改進(jìn)比率估計(jì)有效地降低了估計(jì)的均方誤差，也即基于排序集樣本的估計(jì)效率要高于隨機(jī)抽樣下的估計(jì)效率。

四、實(shí)例分析

選取2014年河南省28個(gè)市(縣)的糧食播種面積和糧食產(chǎn)量為研究總體，其中研究變量Y是糧食產(chǎn)量，輔助變量X為播種面積，數(shù)據(jù)如表1所示。

表1　研究總體的相關(guān)數(shù)據(jù)

注：數(shù)據(jù)來源于《河南省統(tǒng)計(jì)年鑒》。單元指總體單元，糧食種植面積為千公頃，糧食產(chǎn)量單位為萬噸。

表2　不同比估計(jì)量的估計(jì)結(jié)果比較

表2給出了不同比率估計(jì)的偏差和均方誤差，從計(jì)算結(jié)果容易看出：其一，兩種抽樣下比率估計(jì)的偏差都隨著樣本量的增加不斷變小，改進(jìn)后的比率估計(jì)變化更加明顯；其二，排序集抽樣方法有效利用了輔助信息，通過排序篩選得到樣本進(jìn)而計(jì)算估計(jì)值，因此，整體上估計(jì)的均方誤差較隨機(jī)抽樣有大幅度降低，說明該方法的估計(jì)結(jié)果穩(wěn)定性較好；其三，與單一基于排序集樣本的比率估計(jì)相比，文中提出的改進(jìn)比率估計(jì)的均方誤差進(jìn)一步降低，并且隨著樣本量的增加，比率估計(jì)效率不斷提高。

五、結(jié)論

抽樣方法設(shè)計(jì)和估計(jì)量設(shè)計(jì)是提高均值比率估計(jì)的兩個(gè)重要手段，由于輔助變量中位數(shù)不容易受到數(shù)據(jù)極值和異常值的影響，而排序集樣本可以提高抽樣效率，為此，同時(shí)考慮這兩個(gè)方面，基于排序集樣本和輔助變量中位數(shù)構(gòu)造了均值的比率估計(jì)模型，并進(jìn)一步研究了估計(jì)量的偏差和估計(jì)方差。最后，借助實(shí)例做了進(jìn)一步分析比較，驗(yàn)證了模型建立的可行性。排序集抽樣下的其它比率估計(jì)形式，未來可對它做進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)：

[1]杜子芳.抽樣技術(shù)及其應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005.

[2]Sisodia B V S，Dwivedi V K. A Modified Ratio Estimator Using Coefficient of Variation of Auxiliary Variable[J]. Journal Indian Society of Agricultural Statististics,1981, 33(1).

[3]Singh H P， Tailor R. Use of Known Correlation Coefficient in Estimating the Finite Population Means[J]. Statistics in Transition, 2003,6(4).

[4]Yan Z， Tian B. New Separate Ratio Estimators Using Coefficient of Skewness of Auxiliary Variable[J].Journal of InnerMongolia University of Technology,2011,30(3).

[5]Subramani J, Kumarapandiyan G. New Modified Ratio Estimator for Population Mean When Median of the Auxiliary Variable is Known[J]. Pakistan Journal of Statistics and Operation Research, 2013(2).

[6]McIntyre G A. A Method of Unbiased Selective Sampling Using Ranked Sets[J]. Austral Journal of Agricultural Research,1952 (3).

[7]Dell T R, Clutter J L. Ranked Set Sampling with Order Statistics Background[J].Biometrics,1972,28(2).

[8]Stokes S L. Estimation of Variance Using Judgment Ordered Ranked Set Samples[J].Biometrics,1980,36(1).

[9]Chen Z. The Efficiency of Ranked-set Sampling Relative to Simple Random Sampling Under Multi-parameter Families[J]. Statistica Sinica, 2000,10(1).

[10]Samawi H M. Estimation of Ratio Using Rank Set Sampling[J].Biometrical Journal,1996,38(6).

[11]Kadilar C, Unyazici Y, Cingi H. Ratio Estimation for the Population Mean Using Ranked Set Sampling[J]. Statistical Papers,2009,50(2).

[12]Jozani M J, Majidi S. Unbiased and Almost Unbiased Ratio Estimators of the Population Mean in Ranked Set Sampling[J].Statistical Papers,2012,53(3).

[13]A1-Omari A I．Ratio Estimation of Population Mean Using Auxiliary Information in Simple Random Sampling and Edian Ranked Set Sampling[J].Statistics and Probability Letters,2012,82(11).

(責(zé)任編輯：李勤)

收稿日期：2015-12-14

基金項(xiàng)目：河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助項(xiàng)目《輔助信息在分層比率估計(jì)中的應(yīng)用研究》(2014GGJS-158)；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目《排序集樣本在分層抽樣中的應(yīng)用模型與方法研究》(13B110057)

作者簡介：喬松珊，女, 河南許昌人，碩士，副教授，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)；

中圖分類號：O212.2∶F301.24

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1007-3116(2016)07-0011-05

The Ratio Estimation of the Population Mean Based on Ranked Set Sample and Median of the Auxiliary Variable

QIAO Song-shan1,ZHANG Jian-jun2,SUN Cheng-jin2

(1. College of Information and Business， Zhongyuan Institute of Technology, Zhengzhou 450007, China 2.Collage of Information and Management Science， Henan Agricultural University, Zhengzhou 450002, China)

Abstract:The paper deals with a new ratio estimator of population mean based on ranked set sample when the median of auxiliary variable is known. The mean squared error and bias of the proposed estimate are derived. It is proved that the modified estimator under ranked set sampling is more efficient than the ratio estimate under simple random sampling. Finally, a practical application about the area and yield of crops is analyzed. From the numerical study it is observed that the new ratio estimator using ranked set sample and median of the auxiliary variable improve the precision of estimation effectively, It is also showed that the proposed modified ratio estimator is feasibility.

Key words:auxiliary variable; median; ranked set sample; ratio estimation

張建軍，男，河南開封人，碩士，講師，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計(jì)；

孫成金，男，山東臨沂人，碩士，講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

【統(tǒng)計(jì)理論與方法】