復雜地形場地上多維多點地震動模擬研究

田　利， 蓋　霞

(山東大學 土建與水利學院，濟南　250061)

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復雜地形場地上多維多點地震動模擬研究

田利， 蓋霞

(山東大學 土建與水利學院，濟南250061)

摘要：研究了復雜地形場地上多維多點地震動的模擬。將基巖加速度反應譜轉換成相應的功率譜，介紹了多土層多維地震波的傳播理論和基巖相干函數(shù)的選取。利用基巖功率譜與相干函數(shù)，給出了復雜地形場地上多維多點地震動的模擬方法。針對一算例進行分析，得到了非同類多土層復雜地形場地上的三個點地震動加速度時程曲線、功率譜以及不同分量的放大函數(shù)，通過比較功率譜和相干函數(shù)的吻合程度，驗證了研究成果的準確性。該研究成果可應用于復雜地形場地上大跨度結構的多維多點地震動的分析。

關鍵詞：多維多點地震動；波的傳播理論；基巖功率譜；基巖相干函數(shù)；復雜地形場地

我國是一個地震多發(fā)的國家，全國大部分地區(qū)的地震烈度均在6度以上。山區(qū)面積占全國總面積的2/3，具有廣闊的高原和盆地等，地勢高低起伏和復雜險峻。大量的震害事例表明，場地地形條件對地震波的影響很大。1970年云南通海地震中，孤立突出的地形震害明顯加重，地震烈度較周圍平地偏高0.5～1.0度，表明地震作用下突出地形對地震動有放大作用[1]。1985年智利地震，沿兩個山脊和緊鄰一個山脊的山谷中，有同一個承包商建設的鋼混框架結構公寓的震害截然不同，建在山脊上的公寓破壞嚴重，而建在山谷場地中的公寓沒有遭到破壞，根據余震活動記錄表明，山脊場地有一致增強地面運動放大的效應[2]。2008年汶川8.0級大地震，木魚鎮(zhèn)中學受災嚴重，主要原因是其地處三面臨空的山脊平臺，地震波在孤立凸出場地上被強烈地放大，導致學校建筑物遭受毀滅性破壞[3]。場地地形放大效應也引起了研究人員的關注，Hartzell等[4]研究表明場地及地形效應是在數(shù)據收集以及理論分析時必須要考慮的方面。李小軍等[5]研究表明局部場地條件會對場地地震動起到放大或縮小的作用，并直接影響到地震災害程度的分布。姚凱等[6]通過實地觀測資料計算峰值加速度，進一步表明地形起伏對于觀測點的峰值加速度影響明顯，在地震動強烈時山頂加速度峰值觀測值較山腳相同地質條件的約大1.5倍。車偉等[7]研究結果表明山谷地形的不同位置對于大跨度橋梁的影響有很大的差異。從以上震害事例與研究結果可以得到，地形因素會改變地震動的峰值加速度與頻譜特性，并對結構的地震響應造成較大的影響。對于需要考慮地震地面運動空間變化影響的大跨度空間結構，地震波的地形放大效應會更顯著。

對于非平坦場地上地震動的模擬，研究人員開展了一系列的研究。Hao等[8]根據一維傳播理論假設，選取Tajimi-Kanai譜的修正模型為功率譜，依據Sobczyk的理論相干函數(shù)模型，生成了地形變化下的多點地震動。進一步，Hao等[9]根據一維傳播理論假設，運用隨機地震動衰減模型模擬基巖功率譜，選取Tajimi-Kanai譜的修正模型為功率譜，依據Sobczyk理論相干函數(shù)模型，生成了地形變化下的多點地震動。Bi等[10]根據Hao-Nawawi模型，生成了地形變化下的多點地震動，其中功率譜模型為Tajimi-Kanai譜的修正模型，相干模型為地表處的Hao相干函數(shù)模型。周飛秦等[11]根據Hao-Nawawi模型，生成了復雜地形條件下的多點地震動，其功率譜模型是以抗震規(guī)范的反應譜與功率譜轉換作為基巖自譜函數(shù)，相干為基巖處的丁海平相干函數(shù)模型。白鳳龍[12]研究了復雜地形場地上多土層多維地震動模擬，其功率譜為Clough-Penzien模型，相干函數(shù)為Sobczyk的理論相干模型。以上研究選取地表處的功率譜作為基巖功率譜，或者將設計規(guī)范中的反應譜作為基巖處的加速度反應譜，但抗震設計規(guī)范中的反應譜與基巖加速度反應譜是不同的[13-14]，并且對于地表和基巖的功率譜和相干模型也有差異。田利等[15]通過基巖的反應譜轉換得到相應的功率譜，選取基巖處的丁海平相干函數(shù)，生成了山丘谷地交錯場地上的多點地震動；但文中僅考慮了同類非多層場地上單維地震動的模擬，而理論研究和震害表明地震動具有多維性[16]，并且對于重要或者復雜結構應該考慮多維地震動的共同作用。對于復雜地形的場地，不同地表的功率譜與基巖的相差較大；將基巖處的功率譜選取與地表處的相同會導致很大的誤差，并且不能真實反映地形變化對地震動的影響，而依據基巖處的功率譜和相干函數(shù)生成地形變化場地上多維多點地震動的模擬鮮有涉及。

針對以上研究現(xiàn)狀，本文開展了復雜地形場地上多維多點地震動的模擬研究。首先，確定了基巖處加速度反應譜，通過轉換得到相應的功率譜；然后，介紹了多土層多維地震動的生成方法，基于基巖功率譜和相干函數(shù)，給出了多維多點地震動的模擬方法；最后，通過一個算例，生成了地形變化場地上多維多點地震動時程曲線。該研究成果可應用于復雜地形場地上大跨度結構的多維多點地震動分析。

1基巖地震動功率譜的生成

在地震工程研究中，反應譜與功率譜的轉換十分重要。本文選取位于郯廬斷裂帶上的臨沂地區(qū)作為研究對象，選定的場地經緯度分別為E118.30°和N34.48°，根據美國NGA強地震動觀測數(shù)據庫得到的美國西部地區(qū)的基巖地震動衰減關系和中國東部地區(qū)烈度衰減關系確定了中國東部地區(qū)基巖地震動衰減關系，其表達如式(1)和(2)；進一步根據中國東部地區(qū)基巖地震動衰減關系和臨沂地區(qū)周邊地質構造資料，生成了該地區(qū)基巖加速度反應譜，其反應譜曲線如圖1所示。

長軸關系：

lgY=2.387+0.689M-2.395lg(R+

1.331exp(0.537M))

(1)

短軸關系：

lgY=0.920+0.657M-1.758lg(R+

0.402exp(0.641M))

(2)

式中：Y為峰值加速度，M為震級，R為震中距。

圖1　基巖加速度反應譜Fig.1 Acceleration response spectra at base rock

基于等效平穩(wěn)輸入的最大反應分布，江近仁等[17]得到功率譜密度函數(shù)和均值反應譜的轉換關系，其中功率譜密度函數(shù)可表示為：

(3)

式中：ξ為阻尼比，ω為圓頻率，R(ω,ξ)為均值加速度反應譜，v≈ω/π為隨機過程的平均穿零率，td為強度超過50%峰值的振動時間，M為非平穩(wěn)輸入效應的因子，其表達式為：

(4)

式中：t1、t2和c分別為主振平穩(wěn)段的起始、終止時間和衰減系數(shù)。采用上述方法，根據生成的基巖加速度反應譜可以得到相應的功率譜，其曲線如圖2所示。

圖2　基巖功率譜Fig.2 Power spectrum on the bedrock

2基巖相干函數(shù)的選取

地震動在傳播過程中會穿過不同的介質，在介質中發(fā)生的反射與折射也不同，這便導致地表不同位置處地震波的迭加方式不同。為了更好的反映地震波的這種特性，研究者們提出了不同的相干函數(shù)模型，這些相干模型大部分是基于密集的臺陣記錄或根據臺陣記錄與理論研究相結合所得到的。由于缺乏基巖地震動的觀測資料，對于基巖相干函數(shù)模型的研究采用實際記錄存在很大難度，因此，基巖處相干模型均為純理論的相干函數(shù)模型。

丁海平等[18-19]采用震源位錯模型進行了基巖隨機地震動空間變化規(guī)律的研究，給出了基巖相干模型，該相干函數(shù)模型考慮了震源破裂速度、子源個數(shù)、震源深度和介質傳播速度等影響因素，其表達形式如下：

(5)

式中,傾滑斷層情形：ah=2.38×10-7，bh=7.00×10-6；av=6.77×10-6，bv=4.09×10-5。走滑斷層情形：ah=1.3×10-6，bh=2.38×10-5；av=9.8×10-6，bv=4.79×10-5。

3波的傳播理論

[SSH]{uSH}={PSH}

(6)

[SP-SV]{uP-SV}={PP-SV}

(7)

式中：{uSH}和{PSH}分別為SH波的出平面位移和力向量；{uP-SV}和{PP-SV}分別為P和SV組合波的平面內位移和力向量。

基巖處輸入SH波，土層表面上下邊界上的剪切力及位移關系：

(8)

(9)

式中：v1和τyz1分別為土層上表面的位移幅值和剪應力；v2和τyz2分別為土層下表面的位移幅值和剪應力；ASH和BSH分別為波沿z軸負向和正向傳播的幅值。

引入新的荷載變量Q1=-τyz1和Q2=τyz2，整理式(9)得到土層的動力平衡方程為：

(10)

由于基巖處僅會產生BSH的幅值，ASH=0，Q0=-τyz1，整理式(7)可得基巖處的動力平衡方程：

iktRG*Rv0=Q0

(11)

將各土層和基巖的方程組組合，可以得到

(12)

(13)

基巖處輸入P與SV組合波，其多土層傳遞的動力平衡方程可以表示為：

(14)

(15)

參考SH波的計算方法，可以分別求得地表地震動u1、w1與基巖地震動u0、w0的比值，即P與SV組合波的傳遞函數(shù)：

(16)

(17)

各土層的動力剛度矩陣與其密度、剪切模量、泊松比、阻尼比以及土層的厚度有關。由于不同高程處的場點對應的地質條件不同，土層的種類與厚度各不相同，導致傳遞函數(shù)有所差異，從而反映了地形條件對地震波的影響。

地表處的自譜及互譜函數(shù)可以表示為：

(18)

Sjn(iω)=Hj(iω)Hn(iω)Sj′n′(iω)

(19)

式中：Hj(iω)和Hn(iω)分別表示地表處點i和j的場地頻響函數(shù)，Sg(ω)為基巖自譜函數(shù)，Sjn(iω)為基巖互譜函數(shù)，可以通過基巖相干函數(shù)與基巖自譜函數(shù)求得，即

Sj′n′(iω)=Sg(ω))γj′n′(dj′n′,iω)

(20)

式中：γj′n′(iω)為基巖相干函數(shù)，與基巖上點j′和n′之間的距離有關。

4多維多點地震動生成方法

基于上文中的基巖功率譜與相干函數(shù)，采用三角級數(shù)法[21]對多點地震動進行模擬。假定基巖處的功率譜密度函數(shù)相同，地表n個不同點的功率譜密度矩陣可以表示為：

式中：Sii(ω)和Sij(iω)(i,j=1,2,…,n)分別代表地表的自譜函數(shù)Sj(ω)和互譜函數(shù)Sjn(iω)。利用Cholesky分解，S(iω)分解為下三角矩陣和上三角矩陣的形式，即：

S(iω)=H(ω)HT*(ω)

(22)

式中：T代表轉置；*代表復共軛。H(ω)的各個元素可以寫成如下的形式：

(23)

(24)

則n個不同地點的地震地面運動可以由下式得到：

j=1,2,…n；N→∞

(25)

(26)

采用上述方法就得到了一組滿足給定的功率譜密度函數(shù)、相干函數(shù)和考慮局部場地條件的非平穩(wěn)多點地震動加速度時程曲線。多維地震動模擬采用Penzien[22]提出的主軸模型，假設最大主軸方向與地震波傳播方向重合。多維多點地震動的模擬需要將單維多點地震動矩陣擴充至多維多點，即

(i=1,…,n)

(27)

式中：n為地面支點數(shù)；Sii(ω)為地震動隨機場中第i點的單點多維平穩(wěn)地震模型的譜矩陣；Sij(ω)，(i,j=1,…,k;i≠j)為地震動隨機場中第i點和第j點的多維互譜密度矩陣。

5算例分析

選取非同類多土層復雜場地進行研究，已知A、B和C三點分別位于場地的不同高程處，點A、B、C處土質情況如圖3所示。AB間水平距離為200 m，BC間水平距離為200 m，A′A的距離是60 m，B′B的距離是20 m，C′C的距離是80 m。震中距為150 km，對地表點A、B、C的地震動加速度時程曲線進行模擬。

圖3　復雜地形場地上模擬點示意圖Fig.3 Schematic diagram of simulated points in a complicated terrain site

表1給出了不同類型場地條件的密度、剪切模量、泊松比和阻尼比的參數(shù)值。選取圖1給出的50年超越概率2%所對應的基巖加速度反應譜作為目標譜，圖2給出了基巖加速度反應譜相應的功率譜。相干函數(shù)選取式(5)給出的基巖相干函數(shù)模型，假設為走滑斷層情形。假設基巖上A′、B′、C′三點地震動功率譜密度相同，選取視波速為1 000 m/s，采用上節(jié)的多維多點地震動模擬方法，運用MATLAB編程生成不同場點處的多維多點地震動加速度時程曲線。

表1　局部場地條件參數(shù)

限于篇幅，圖4僅給出了A場點處不同分量的放大函數(shù)，圖5是基巖點A′的模擬功率譜與目標譜對比曲線?；鶐r點A′、B′、C′的加速度時程曲線如圖6所示，圖7～圖9分別給出了地表點A、B、C的出平面水平分量，平面內水平分量與豎向分量的加速度時程曲線。圖10為基巖點A′和B′間的相干函數(shù)與目標相干函數(shù)比較，圖11給出了地表處A點在出平面水平方向上模擬功率譜與目標功率譜對比圖。

圖4　A場地處不同分量放大函數(shù)Fig.4 Transfer function of different component at point A

圖5　基巖A′處功率譜與目標譜對比曲線Fig.5 Comparison between simulated and target power spectra at point A′ on base rock

圖6　基巖處加速度時程曲線Fig.6 Simulated acceleration time histories on base rock

圖7　地表處加速度時程曲線(出平面水平分量)Fig.7 Simulated acceleration time histories on ground surface(the horizontal out-of-plane component)

圖8　地表處加速度時程曲線(平面內水平分量)Fig.8 Simulated acceleration time histories on ground surface(the horizontal in-plane component)

圖9　地表處加速度時程曲線(平面內豎向分量)Fig.9 Simulated acceleration time histories on ground surface(the vertical in-plane component)

圖10　基巖A′和B′間相干函數(shù)與目標相干函數(shù)的比較Fig.10 Comparisonbetween the model coherency loss and the simulated coherency loss of point A′ and B′ on base rock

從圖5中可以看出，除個別點誤差較大外，基巖處地震動的模擬功率譜與目標功率譜吻合較好。從圖7～9可以看出，不同地表點的加速度幅值與相應基巖處

的差別較大，這表明場地放大效應改變了輸入地震波的頻率和幅值；不同地表點的加速度幅值差異較大，這是由于土層厚度和類型以及地表高程不同所致；還可以看出平面水平分量，平面內水平分量與豎向分量的加速度幅值變化不同，這是由于不同方向上放大函數(shù)不同所致。圖10表明模擬地震動的相干函數(shù)與目標相干函數(shù)符合較好。圖11表明地表處地震動的模擬功率譜與目標功率譜吻合良好。通過以上分析可得，本文復雜地形場地上多維多點地震動的模擬方法符合實際情況，可用于多維多點地震動輸入的研究。圖12給出了基巖A′和B′間與地表A和B間的相干函數(shù)對比，從圖中可以看出，地表的相干函數(shù)與基巖上的存在著一些差異，基巖的相干性要略強于地表處的，這是由于地震波在不同地形中傳播所致。

圖11　地表A點出平面水平分量模擬功率譜與目標功率譜密度的比較Fig.11 Comparison between the model power spectral density and the simulated power spectral density of the horizontal out-of-plane component at point A

(a) 平面內水平分量(b) 平面內豎向分量(c) 出平面水平分量圖12 基巖A'和B'間與地表A和B間的相干函數(shù)對比Fig.12ComparisonbetweenthecoherencylossofpointA'andB'onbaserockandpointAandBongroundsurface

6結論

本文根據基巖加速度反應譜得到相應的加速度功率譜，介紹了多土層多維地震動的生成方法，基于基巖功率譜和相干函數(shù)，給出了復雜地形場地上多維多點地震動的模擬方法。通過研究可以得到以下結論：

(1) 選取臨沂地區(qū)作為研究對象，生成了基巖加速度反應譜，并將基巖處的反應譜與功率譜進行轉化，為地震動的模擬提供基礎。

(2) 通過基巖處輸入地震動計算不同深度不同土層的反應，研究場地條件對地震波傳播的影響?；诨鶐r與土層的剛度矩陣，對地震波三個方向的傳遞函數(shù)進行分析，研究了地震波在非同類多土層場地上的傳播理論。

(3) 通過對基巖與地表各點加速度時程的比較，可以看出地震波的頻率和幅值發(fā)生了明顯變化，場地的放大效應不容忽視。地表處不同地震動分量所引起的加速度時程也不相同，這是由于地震波在三個方向上的放大函數(shù)不同所致。

(4) 通過對比基巖功率譜、基巖相干函數(shù)以及地表功率譜的吻合程度，驗證了該模擬方法的精確性，可用于復雜地形場地上大跨度空間結構的多維多點地震激勵分析。

參 考 文 獻

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基金項目：國家自然科學基金項目(51208285);中國博士后科學基金項目(2012M521338)

收稿日期：2015-05-03修改稿收到日期：2015-08-07

中圖分類號:TU435; P315.9

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.032

Simulation on multi-support and multi-dimensional ground motions in complicated terrain area

TIAN Li, GAI Xia

(School of Civil Engineering, Shandong University, Jinan 250061, China)

Abstract:The simulation on multi-support and multi-dimensional ground motions in a complicated terrain area was studied. The power spectrum on base rock was obtained by transferring the acceleration response spectra. The wave propagation theory was introduced to deal with the multi-dimensional ground motions with multiple soil layers and the selection of coherence function on base rock was presented. Based on the power spectrum and the coherence function on base rock, a simulation method for multi-support and multi-dimensional ground motions in the complicated terrain area was proposed. According to the analysis of a case study, the time history curves and power spectra at three different points in the complicated terrain area with multiple soil layers were generated. The amplification functions of different components of seismic wave were provided as well. By inspecting the coincidence degree between power spectra and coherence function, the accuracy of the results was verified. The results could be applied to the seismic analysis of large span structures in complicated terrain areas.

Key words:multi-support and multi-dimensional ground motion; theory of wave propagation; response spectrum on base rock; coherence function on base rock; complicated terrain area

第一作者 田利 男，博士，副教授，1982年生

E-mail：tianli@sdu.edu.cn