軸向運(yùn)動(dòng)變截面黏彈性梁的振動(dòng)與穩(wěn)定性分析

李成澄, 趙鳳群

(西安理工大學(xué) 理學(xué)院,西安　710054)

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軸向運(yùn)動(dòng)變截面黏彈性梁的振動(dòng)與穩(wěn)定性分析

李成澄, 趙鳳群

(西安理工大學(xué) 理學(xué)院,西安710054)

摘要：由D’Alembert 原理，建立了軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性變截面梁的運(yùn)動(dòng)微分方程，給出了一種重心有理插值DQ法的數(shù)值求解方法。對(duì)于簡(jiǎn)支黏彈性變截面梁，用該方法得到了特征方程，獲得了變截面梁前兩階無量綱復(fù)頻率與無量綱軸向運(yùn)動(dòng)速度的變化關(guān)系。分析了梯形截面梁和拋物形截面梁隨軸向運(yùn)動(dòng)速度變化的失穩(wěn)形式，并與等截面梁進(jìn)行了比較，同時(shí)分析了變截面梁的高度比和黏彈性系數(shù)對(duì)梁動(dòng)力穩(wěn)定性的影響。

關(guān)鍵詞：變截面梁；黏彈性；軸向運(yùn)動(dòng)；穩(wěn)定性；DQ法；復(fù)頻率

近年來，學(xué)者們對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)梁、板等結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問題進(jìn)行了大量研究，Mote等[1-5]研究表明，物質(zhì)的軸向運(yùn)動(dòng)將引發(fā)橫向振動(dòng)，且振動(dòng)強(qiáng)度與初始軸力、運(yùn)動(dòng)速度等有著密切的關(guān)系，當(dāng)運(yùn)動(dòng)速度超過臨界速度時(shí)，會(huì)導(dǎo)致模態(tài)失穩(wěn)。Lee等[6]用譜分析方法研究了均勻張力作用下軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的橫向振動(dòng)特性。趙鳳群等[7]建立了軸向運(yùn)動(dòng)FGM Timoshenko梁的運(yùn)動(dòng)微分方程組，采用WDQ法，獲得了簡(jiǎn)支FGM梁的復(fù)頻率，分析了軸向運(yùn)動(dòng)FGM Timoshenko梁在不同長(zhǎng)高比和梯度指標(biāo)下的振動(dòng)特性。Mergen等[8-9]研究了軸向運(yùn)動(dòng)梁在變速運(yùn)動(dòng)下的橫向振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，他們還研究了在屈曲狀態(tài)下軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁的非線性動(dòng)力特性。梁是結(jié)構(gòu)工程中的基本構(gòu)件，隨著科技的發(fā)展，變截面梁的優(yōu)勢(shì)日益突出，在機(jī)械、航空、建筑等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景。針對(duì)變截面梁的振動(dòng)特性，已經(jīng)有不少的研究成果。Caruntu[10]研究了高度沿軸線方向，截面呈拋物型矩形變截面梁的非線性振動(dòng)問題；Mehmet等[11]研究了梁的截面寬度沿軸線方向，截面為指定冪指數(shù)函數(shù)的變截面梁的振動(dòng)特性。徐騰飛等[12]利用Frobenius 級(jí)數(shù)求解振動(dòng)方程的近似解，獲得了變截面梁振動(dòng)問題的求解方法，但此方法不具有普遍通用性。但是對(duì)于軸向運(yùn)動(dòng)變截面梁的振動(dòng)特性研究較少。

考慮到黏彈性材料的廣泛使用，本文由D’Alembert原理，研究了軸向運(yùn)動(dòng)變截面黏彈性梁的振動(dòng)與穩(wěn)定性問題，以重心有理插值函數(shù)為基函數(shù)，采用DQ法求解，克服了傳統(tǒng)DQ法節(jié)點(diǎn)增多即出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定的缺點(diǎn)。

1控制微分方程的建立

考慮軸向運(yùn)動(dòng)變截面黏彈性梁，以軸向?yàn)閤軸建立坐標(biāo)系，單位長(zhǎng)度密度為ρ(x)，截面面積為A(x)，梁長(zhǎng)度為L(zhǎng)，軸向運(yùn)動(dòng)速度為V。當(dāng)梁垂直于x軸的截面為矩形，寬度為b，高度為h(x),x∈[0,L]時(shí)，截面面積A(x)=bh(x)。如當(dāng)梁在xoz面上的截面是梯形，如圖1(a)所示，這時(shí)

(1)

當(dāng)梁在xoz面上的截面是拋物型，如圖1(b)所示，這時(shí)

(2)

圖1　變截面軸向運(yùn)動(dòng)梁Fig.1 Axially moving beam with varying section

假設(shè)黏彈性模型為Kelvin-Voigt 模型，即

(3)

式中:ε為軸向應(yīng)力，E為材料的彈性常數(shù)，γ為黏彈性系數(shù)。對(duì)于小變形，應(yīng)力-位移關(guān)系為

(4)

式中：w=w(x,t)是梁的橫向位移。

梁的截面彎矩M為

(5)

梁沿z軸方向的速度可以表示成

(6)

因此z軸方向的加速度為

(7)

由D’Alembert原理，我們可以獲得軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(8)

式中:P0為梁的初始張力。

將式(5)代入式(8)，可獲得Kelvin-Voigt模型黏彈性變截面軸向運(yùn)動(dòng)梁的運(yùn)動(dòng)控制微分方程

(9)

(10)

假設(shè)梁的兩端是簡(jiǎn)支的，則邊界條件為

w(0,t)=w(L,t)=0,

(11)

則式(10)可化成如下無量綱形式

(12)

邊界條件為

(13)

2穩(wěn)定性分析

(14)

邊界條件為

y(0)=y(1)=0,y″(0)=y″(1)=0

(15)

對(duì)于式(14)～(15)，本文選取重心有理插值基函數(shù)作為插值基函數(shù)，采用DQ法求解。

取重心有理插值基函數(shù)[13]

(16)

式中：wk為權(quán)重，且I={1,2,…,N}為一指標(biāo)集。

計(jì)算格式如下

Dk={i∈I:0≤k-d≤i≤N-d}

(k=0,1,…N)

(17)

可見wk只依賴于節(jié)點(diǎn)。則一階權(quán)系數(shù)可以表示如下

(18)

則由各階導(dǎo)數(shù)的權(quán)系數(shù)之間的遞推關(guān)系

(i,j=0,1,…N)

(19)

將式(14)、(15)用微分求積法離散，得

(20)

令式(20)的行列式等于0，得到式(14)、(15)的特征方程，由特征方程可以求得無量綱復(fù)頻率ω與無量綱速度v之間的關(guān)系，進(jìn)而討論軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁的動(dòng)力穩(wěn)定性。

3數(shù)值結(jié)果及分析

應(yīng)用DQ法計(jì)算時(shí)，選取Gauss-Lobatto點(diǎn)，取N=20，局部結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)d=5。

表1　等截面簡(jiǎn)支梁前二階固有頻率(v=2,　α=0)

3.1變截面軸向運(yùn)動(dòng)彈性梁穩(wěn)定性分析

圖2為軸向運(yùn)動(dòng)梯形截面簡(jiǎn)支彈性(α=0)梁在不同厚度比e=h2/h1下前二階無量綱復(fù)頻率隨無量綱軸向運(yùn)動(dòng)速度的變化關(guān)系。對(duì)于等截面梁(e=1，圖中實(shí)線表示)，當(dāng)無量綱速度v

(—表示e=1；-·表示e=0.9；……表示e=0.8)圖2　梯形截面梁前兩階復(fù)頻率隨軸向運(yùn)動(dòng)速度的變化曲線(e=1,0.9,0.8)Fig.2 Curves of the first two order complex frequencies of beam with trapezoid cross section vs. the moving speed(e=1,0.9,0.8)

當(dāng)v3v5時(shí)，梁發(fā)生前兩階模態(tài)耦合顫振失穩(wěn)，v5為顫振失穩(wěn)臨界速度。對(duì)于梯形截面梁(e=0.9,0.8)，其穩(wěn)定性與等截面梁類似，但隨著厚度比的減小，各階失穩(wěn)臨界速度也在減小。

圖3為軸向運(yùn)動(dòng)拋物形截面簡(jiǎn)支彈性梁在不同厚度比下前二階無量綱復(fù)頻率隨無量綱軸向運(yùn)動(dòng)速度的變化關(guān)系?？梢钥闯鰭佄镄谓孛媪旱恼駝?dòng)穩(wěn)定性與梯形截面梁類似，故以下只討論以梯形截面梁。

(—表示e=1；-·表示e=0.9；……表示e=0.8)圖3　拋物形截面梁前兩階復(fù)頻率隨軸向運(yùn)動(dòng)速度的變化曲線(e=1,0.9,0.8)Fig.3 Curves of the first two order complex frequencies of beam with parabolic cross section vs. the moving speed (e=1,0.9,0.8)

3.2變截面軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁穩(wěn)定性分析

圖4為e=0.9時(shí)梯形截面梁在不同黏性系數(shù)α=0.005,0.01下前二階無量綱復(fù)頻率隨無量綱軸向運(yùn)動(dòng)速度的變化關(guān)系?？梢钥闯?，對(duì)于黏彈性梁，已經(jīng)不出現(xiàn)前兩階模態(tài)耦合現(xiàn)象。在一階模態(tài)上，當(dāng)無量綱速度v0，Im(ω1)>0，表明梁做衰減周期振動(dòng)，處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)v1v2時(shí)，Re(ω1)≠0，Im(ω1)<0，表明梁出現(xiàn)顫振失穩(wěn)，v2為顫振失穩(wěn)臨界速度。在二階模態(tài)上，當(dāng)無量綱速度v0，Im(ω1)>0，表明梁做衰減周期振動(dòng)，處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)v>v1時(shí)，Re(ω1)=0，Im(ω1)≠0，表明梁出現(xiàn)二階模態(tài)發(fā)散失穩(wěn)。

(—表示α=0.005；-·表示α=0.01)圖4　梯形截面梁前兩階復(fù)頻率隨軸向運(yùn)動(dòng)速度的變化曲線(e=0.9)Fig.4 Curves of the first two order complex frequencies of beam with trapezoid cross section vs. the moving speed(e=0.9)

圖5　不同厚度比下梯形截面梁一階復(fù)頻率隨軸向運(yùn)動(dòng)速度的變化曲線(α=0.01,e=0.9,0.8,0.7)Fig.5 Curves of the first order complex frequency of beam with trapezoid cross section vs. the moving speed(α=0.01,e=0.9,0.8,0.7)

可見黏彈性系數(shù)的大小基本不影響梁的一階發(fā)散失穩(wěn)臨界流速值，但一階顫振失穩(wěn)臨界流速值隨著黏性系數(shù)的增大而增大，而二階發(fā)散失穩(wěn)臨界流速值隨著黏性系數(shù)的增大而減小。

圖5為α=0.01時(shí)梯形截面梁在厚度比e=0.9,0.8,0.7下一階無量綱復(fù)頻率隨無量綱軸向運(yùn)動(dòng)速度的變化關(guān)系?？梢妼?duì)同一黏性系數(shù)，隨著厚度比的減小，一階失穩(wěn)臨界流速值也在減小。

4結(jié)論

本文建立了軸向運(yùn)動(dòng)變截面黏彈性梁的運(yùn)動(dòng)微分方程，分析了簡(jiǎn)支梯形和拋物形黏彈性梁隨軸向運(yùn)動(dòng)速度變化的振動(dòng)特性和失穩(wěn)形式，結(jié)論如下：

(1) 對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)彈性梁，隨著運(yùn)動(dòng)速度的增大，梁經(jīng)歷了穩(wěn)定(等幅周期振動(dòng))-一階發(fā)散失穩(wěn)-再穩(wěn)定-一、二階模態(tài)耦合顫振失穩(wěn)-再穩(wěn)定-前兩階模態(tài)耦合顫振失穩(wěn)的過程。梯形截面和拋物形截面梁的穩(wěn)定性與等截面梁類似，隨著厚度比的減小，失穩(wěn)臨界速度值也在減小。

(2) 對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁，隨著運(yùn)動(dòng)速度的增大，梁經(jīng)歷了穩(wěn)定(衰減周期振動(dòng))-一階發(fā)散失穩(wěn)-一階模態(tài)顫振失穩(wěn)的過程，沒有一、二階模態(tài)耦合現(xiàn)象。對(duì)同一種截面梁，黏性系數(shù)的大小基本不影響一階發(fā)散失穩(wěn)臨界流速值，但一階顫振失穩(wěn)臨界流速值隨著黏性系數(shù)的增大而增大，而二階發(fā)散失穩(wěn)臨界流速值隨著黏性系數(shù)的增大而減小。對(duì)同一黏性系數(shù)的變截面梁，隨著厚度比的減小，一階失穩(wěn)臨界流速值也在減小。

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基金項(xiàng)目：陜西省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃(11JK0524);陜西省自然科學(xué)資金資助項(xiàng)目(2011JM1013)

收稿日期：2015-01-13修改稿收到日期：2015-08-04

通信作者趙鳳群 女，碩士生導(dǎo)師，1963年2月生

中圖分類號(hào):O317

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.017

Vibration and stability analysis of axially moving viscoelastic beam with varying section

LI Cheng-cheng, ZHAO Feng-qun

(School of Sciences, Xi’an University of Technology, Xi’an 710054, China)

Abstract:The governing differential equation of an axially moving viscoelastic beam with varying section was derived according to the D’Alembert principle, and a numerical method by the name of local differential quadrature method based on gravity interpolation was provided. The characteristic equation of a simply supported viscoelastic beam with varying section was obtained and the first two orders non-dimensional complex frequencies of the beam changing along with the non-dimensional axial moving speed were calculated. The form of instability of the viscoelastic beam with trapezoid cross section and parabolic cross section under different axial moving speed was analyzed in detail and compared with that of a uniform beam. The effects of height ratio and viscoelastic coefficient on the dynamic stability of the beam were discussed.

Key words:variable cross-section beam; viscoelasticity; axially moving; stability; differential quadrature method; complex frequency

第一作者 李成澄 女，碩士生，1988年12月生