SH波對半空間界面圓孔的動力效應(yīng)

趙春香， 齊　輝

(1. 黑龍江科技大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱　150022； 2. 哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱　150001)

SH波對半空間界面圓孔的動力效應(yīng)

趙春香1， 齊輝2

(1. 黑龍江科技大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱150022； 2. 哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱150001)

采用“鏡像法”和“剖分-契合”思想，對SH波作用下半空間雙相介質(zhì)水平界面上圓形孔洞的動應(yīng)力問題進(jìn)行了研究。給出了該問題的解析解和孔邊動應(yīng)力分布規(guī)律。分析結(jié)果表明：適當(dāng)避開較大的波數(shù)比、較高的入射波波數(shù)與垂直入射的同時出現(xiàn)，可達(dá)到降低孔邊動應(yīng)力的目的。

SH波；半空間；“鏡像法”； 界面圓孔；動應(yīng)力

天然形成或人為回填的地質(zhì)條件多種多樣，發(fā)展建設(shè)的地下結(jié)構(gòu)也日新月異，當(dāng)在固體介質(zhì)中傳播的彈性波遇到連續(xù)或非連續(xù)地質(zhì)內(nèi)的孔洞等缺陷時，彈性波將發(fā)生反射、折射及散射，這些波將引起孔洞等邊緣的動應(yīng)力強度的增加。而動應(yīng)力集中程度又是礦井巷道、地鐵隧道等地下結(jié)構(gòu)開挖時支護(hù)、錨固等安全防護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計的重要物理量，所以掌握彈性波的傳播規(guī)律和地下結(jié)構(gòu)對彈性波的動力響應(yīng)對保障地下結(jié)構(gòu)設(shè)計的安全性具有重要的工程意義。

SH波是一種出平面運動的彈性波，對于許多亟待解決而散射解析解又難以給出的邊值問題，研究理論相對成熟的SH波，其研究結(jié)果不僅具有其實際問題的工程意義，而且也為研究其他復(fù)雜形式的波動問題提供了值得信賴的參考。

自從1971年Trifunac[1]采用波函數(shù)展開法開展關(guān)于半圓形沉積地形對SH波散射的研究以來，國內(nèi)外學(xué)者對SH波散射問題進(jìn)行了大量而深入的研究[2-7]。但目前對于半空間雙相介質(zhì)界面上圓形孔洞對SH波的散射問題，還有待于研究。所以本文將借助 “鏡像法”和“剖分-契合”思想，構(gòu)造出由于雙相介質(zhì)分界面和界面上孔洞以及半空間自由表面阻擋SH波前行而形成多次散射的復(fù)雜的散射波場的解析表達(dá)式，實現(xiàn)理論研究SH波入射條件下半空間內(nèi)雙相介質(zhì)分界面上圓形孔洞動力響應(yīng)的目標(biāo)。在理論研究基礎(chǔ)上，運用編程計算手段，對具體算例的圓形孔洞邊緣的動應(yīng)力進(jìn)行分析討論，旨在掌握SH波作用下不同的介質(zhì)參數(shù)和不同的入射波參數(shù)對動應(yīng)力集中程度的影響規(guī)律，獲得圓形孔洞邊緣的動應(yīng)力集中的主要影響因素。

1力學(xué)模型

鉛垂半空間內(nèi)雙相介質(zhì)水平界面上圓形孔洞對SH波散射的力學(xué)模型見圖1。在圖1所示坐標(biāo)系下，沿y=0相接的兩種不同介質(zhì)組成的鉛垂半空間內(nèi)，y<0的直角平面區(qū)域Ⅰ中介質(zhì)的密度和剪切模量分別為ρ1和μ1；y>0的直角平面區(qū)域Ⅱ中相應(yīng)的值為ρ2和μ2；水平界面上含有圓心位于水平界面上半徑為a的圓形孔洞，圓形孔洞的圓心到鉛垂界面的距離為d。穩(wěn)態(tài)平面SH波沿入射角α0從第四象限向y=0的水平界面入射。

圖1　力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model

2理論分析

首先采用圖2所示的“鏡像法”，將鉛垂半空間的水平界面問題轉(zhuǎn)化為全空間的水平界面問題。然后按照文獻(xiàn)[5]的“剖分法”，沿雙相介質(zhì)水平界面“剖分”成上下兩個半空間，此時就將全空間的雙相介質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為能應(yīng)用各向同性均勻介質(zhì)Helmholtz控制方程進(jìn)行求解的單一介質(zhì)的半空間問題。

圖2　“鏡像”模型Fig.2 Model of “image”

(1)

和

(2)

經(jīng)鏡像后的等效入射波場W(i,e)為：

(3)

在y=0的界面上產(chǎn)生的等效反射波W(r,e)和等效折射波W(r,e)分別為：

(4)

(5)

在介質(zhì)Ⅰ中產(chǎn)生的散射波構(gòu)造為：

(6)

在介質(zhì)Ⅱ中產(chǎn)生的散射波構(gòu)造為

(7)

綜上所述，區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ中的總波場為：

(8)

區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ中總應(yīng)力場為：

(9)

(10)

區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ中確定待定未知數(shù)An1和An2的兩組邊界條件分別為：

(11)

由式(2)～式(11)，即可確定An1和An2。此時，SH波入射下的總波場和總應(yīng)力場已完全確定。

由文獻(xiàn)[8]已求得的Green函數(shù)和文獻(xiàn)[5]的 “契合法”，就可獲得求解用于保障界面應(yīng)力位移連續(xù)條件的未知外力系f1(r0,θ0)和f2(r0,θ0)的定解積分方程組：

W(fs)(r,π)-W(s)(r,π)

(12)

W(fs)(r,0)-W(s)(r,0)

(13)

式中：G1和G2分別為已由文獻(xiàn)[8]中的公式G=G(i)+G(s)所定義的區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ的Green函數(shù)，但因“契合”需要，故此處的G1和G2的作用方向一個向里，另一個則向外。

通常用動應(yīng)力集中系數(shù)作為描述圓形孔洞動應(yīng)力集中程度的物理量，其形式可寫成：

(14)

在平面區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ中，r=a上的兩半圓孔孔邊的環(huán)向剪應(yīng)力分別為：

3計算結(jié)果分析

下面以具體算例分析討論SH波作用下半空間內(nèi)雙相介質(zhì)分界面上圓形孔洞的動應(yīng)力。

圖3　圓孔邊的分布Fig.3 Distribution of around circular cavity edge

(a) k1a=0.1時,圓孔邊τ*θz隨k*的變化(b) k1a=1.0時,圓孔邊τ*θz隨k*的變化(c) k1a=2.0時,圓孔邊τ*θz隨k*的變化圖4 圓孔邊τ*θz隨k*的變化Fig.4Variationofτ*θzwithk*aroundcircularcavityedge

圖5　圓孔邊隨d/a的變化Fig.5 Variation of with d/a around circular cavity edge

(a) k1a=0.1時,圓孔邊τ*θz隨α0的變化(b) k1a=1.0時,圓孔邊τ*θz隨α0的變化(c) k1a=2.0時,圓孔邊τ*θz隨α0的變化圖6 圓孔邊τ*θz隨k1a和α0的變化Fig.6Variationofτ*θzwithk1aandα0aroundcircularcavityedge

4結(jié)論

本文采用“鏡像法”和“剖分-契合法”，研究了SH波作用下鉛垂半空間雙相介質(zhì)界面上圓形孔洞的動力響應(yīng)問題，應(yīng)用理論分析和編程計算手段給出了該問題的解析解和孔邊動應(yīng)力分布規(guī)律。分析結(jié)果表明：

上述分析結(jié)果都充分佐證了鉛垂自由邊界、雙相介質(zhì)界面、介質(zhì)材料的波數(shù)比、SH波的入射角度和入射波數(shù)都是影響圓形孔洞邊緣各點動應(yīng)力系數(shù)的重要因素。此外，適當(dāng)避開較大的波數(shù)比、較高的入射波波數(shù)與垂直入射及斜入射的同時出現(xiàn)，對降低圓孔邊動應(yīng)力的效果是明顯的，對減輕結(jié)構(gòu)動力效應(yīng)是有工程價值的。但當(dāng)遇到SH波垂直及斜入射條件下的最不利參數(shù)組合時，則必須充分考慮SH波對地下結(jié)構(gòu)等工程實際中圓形孔洞的動力影響。

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Dynamic effect of SH wave on interface circular cavity in half space

ZHAO Chun-xiang1, QI Hui2

(1. College of Science, Heilongjiang University of Science and Technology, Harbin 150022, China；2. College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

The analytic solutions and distribution law for dynamic stress of an interface circular cavity in bi-material vertical half-space on an SH wave were obtained using the methods of image and ideas of partitioning-conjunction. The analysis results demonstrate that the purpose of reducing the hole edge dynamic stress can be achieved by properly avoiding the large wave number, while a high incident wave number and the SH-waves incident in the vertical angle appear simultaneously.

SH-wave; half space; ‘image’ method; interface circular cavity; dynamic stress

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.020

黑龍江省自然科學(xué)基金資助項目(A201307)

2015-02-03修改稿收到日期：2015-06-26

趙春香 女，博士，副教授，1967生

O343.4

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