初中數(shù)學(xué)教學(xué)中與陰影部分的面積、周長(zhǎng)有關(guān)的計(jì)算問題研究

【摘要】與圓中陰影部分有關(guān)的計(jì)算問題主要有三種模型，即陰影部分面積的計(jì)算、陰影部分周長(zhǎng)的計(jì)算、陰影部分周長(zhǎng)或面積的最值.這些模型主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想，考查扇形的面積公式、割補(bǔ)法、等面積轉(zhuǎn)化法和容斥原理等.文章先解讀上述三種模型，并結(jié)合經(jīng)典例題談?wù)勁c陰影部分的面積、周長(zhǎng)有關(guān)的計(jì)算問題的解題策略，旨在為一線教師提供解題方法與教學(xué)參考.

【關(guān)鍵詞】圓；扇形；陰影部分；面積；周長(zhǎng)；最值；解題策略

圓中陰影部分的面積或者周長(zhǎng)的計(jì)算問題，是平面幾何計(jì)算題中的經(jīng)典問題，也是中考?？嫉念}型.這類試題通常需要作輔助線、技巧性較強(qiáng)，很多學(xué)生覺得比較困難.下面結(jié)合經(jīng)典例題，給出與陰影部分的計(jì)算問題有關(guān)的三種模型的解題策略.

一、三種模型的解讀

模型1 陰影部分面積的計(jì)算

求陰影部分面積在考試中主要考查學(xué)生對(duì)圖形的理解和數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識(shí)能力，具有一定的難度.一般考試中選擇題或填空題型較多，熟練掌握扇形面積、弧長(zhǎng)的計(jì)算、等邊三角形的判定和性質(zhì)，特殊平行四邊形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.求陰影部分面積的方法主要有：直接利用公式、構(gòu)造和差法、等面積轉(zhuǎn)化法和利用容斥原理.

模型2 陰影部分周長(zhǎng)的計(jì)算

模型3 與最值相關(guān)的計(jì)算

對(duì)于陰影部分面積或周長(zhǎng)的最值問題，解題中注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.解這類問題的關(guān)鍵是將所給問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段.

二、三種題型及解題策略

1.陰影部分面積計(jì)算

陰影部分面積計(jì)算問題該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，或與綜合性大題結(jié)合考查，作為其中一問，難度系數(shù)不大，在各類考試中都以中檔題為主.解這類問題的關(guān)鍵是將所給問題抽象或轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積進(jìn)行求解，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題.

解題策略：

第一步：確定弧所對(duì)的圓心（找圓心）；

第二步：連接圓心與弧上的點(diǎn)（連半徑）；

第三步：確定圓心角度數(shù)（有提示角度的話注意求解相應(yīng)角，沒有提示角度的話一般為特殊角，大膽假設(shè)小心論證）；

第四步：把不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積進(jìn)行求解.

例1 如圖1，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=6，O是BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的半圓分別與AB，AC邊相切于D，E兩點(diǎn)，求圖1中兩個(gè)陰影部分面積的和.

解 如圖2，連接OD，OE.

∵以O(shè)為圓心的半圓分別與AB，AC邊相切于D，E兩點(diǎn)，

∴OD⊥AB，OE⊥AC，

∵∠A=90°，∴四邊形ADOE是矩形.

又OD=OE，∴四邊形ADOE是正方形，

∴AD=DO=OE=AD，∠DOE=90°.

∵∠A=∠OEC=90°，∠ACB=∠ECO，

陰影部分弧長(zhǎng)或周長(zhǎng)計(jì)算問題主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型主要考查求與弧結(jié)合的不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)，準(zhǔn)確應(yīng)用弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵.

解題策略：

第一步：觀察圖形特點(diǎn)，確定弧長(zhǎng)和線段長(zhǎng)；

第二步：利用弧長(zhǎng)公式求長(zhǎng)度；

第三步：求圖形中其他邊的長(zhǎng)度.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，關(guān)鍵是牢記弧長(zhǎng)公式.由圖4可知，陰影部分的周長(zhǎng)是兩個(gè)圓心角為90°、半徑為a的扇形的弧長(zhǎng)，可據(jù)此求出陰影部分的周長(zhǎng).

3.與最值相關(guān)的計(jì)算

圓的弧長(zhǎng)、面積與最值相關(guān)的計(jì)算主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，難度較大.

解題策略：

第一步：觀察圖形特點(diǎn)，確定變量和不變的量（一般情況下弧長(zhǎng)固定，線段長(zhǎng)變化）

第二步：利用將軍飲馬或者“兩點(diǎn)之間線段最短”“點(diǎn)到直線距離垂線段最短”等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化

第三步：牢記弧長(zhǎng)公式，求對(duì)弧長(zhǎng)和線段長(zhǎng)；

第四步：利用數(shù)形結(jié)合思想注意確定最值.

結(jié) 語(yǔ)

與陰影部分的面積或周長(zhǎng)有關(guān)的計(jì)算問題，主要考查了勾股定理、圓心角定理、三角形及扇形的面積求法.對(duì)于面積或者周長(zhǎng)的最值問題，討論動(dòng)點(diǎn)的位置作輔助線把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和差是解題的關(guān)鍵.一線教師在日常教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生去探索、歸納、總結(jié)這類試題的特點(diǎn)與解題策略，從而提高學(xué)生的解題能力與核心素養(yǎng).

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