Hilbert C＊－模中g(shù)－框架的新的等式和不等式

相中啟，張慧慧

（上饒師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西上饒334001）

Hilbert C＊－模中g(shù)－框架的新的等式和不等式

相中啟，張慧慧

（上饒師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西上饒334001）

利用算子理論方法給出了Hilbert C＊－模中g(shù)－框架的新的等式和不等式，所得結(jié)果包含了已知的一些結(jié)果。

Hilbert C＊－模；g－框架；等式；不等式

Hilbert空間中框架（經(jīng)典框架）的概念誕生于上世紀(jì)50年代［1］，它是標(biāo)準(zhǔn)正交基的自然推廣。1986年，Daubechies等［2］重新引入并進(jìn)一步發(fā)展了框架理論，他們的研究成果表明框架理論與小波理論之間存在緊密的聯(lián)系，自此框架理論開(kāi)始成為小波分析中的一個(gè)重要分支并得到了國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者廣泛而深入的研究［3－6］。由于冗余性和靈活性，如今框架已經(jīng)被應(yīng)用數(shù)學(xué)家和工程師廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理、圖像處理和抽樣理論等方面［7－9］。近些年來(lái)，一些數(shù)學(xué)家將框架概念進(jìn)行廣義化，提出了多種離散框架形式，其中Sun W C教授［10］引入的g－框架更具一般性，它包含了諸如融合框架和外框架等一些框架推廣形式。2008年，文獻(xiàn)［11］又將g－框架和融合框架的概念推廣到Hilbert C＊－模上去。文獻(xiàn)［12－17］繼續(xù)研究了Hilbert C＊－模中g(shù)－框架和融合框架的一些性質(zhì)。

盡管Hilbert C＊－模是Hilbert空間的自然推廣，但是它們之間還是存在一些本質(zhì)的不同。例如，Hilbert C＊－模中拓?fù)淇裳a(bǔ)的閉子模可能不是正交可補(bǔ)的；Hilbert空間上關(guān)于有界線性泛函的著名的Riesz表示定理在Hilbert C＊－模中并不成立，這表明Hilbert C＊－模上的某些有界算子可能不存在伴隨算子，等。同時(shí)需要強(qiáng)調(diào)，由于C＊－代數(shù)的復(fù)雜性，以及Hilbert空間中的一些經(jīng)典結(jié)果及有用的技巧在Hilbert C＊－模中沒(méi)有對(duì)應(yīng)物或者無(wú)法類比，從而使得Hilbert C＊－模中的框架（g－框架）問(wèn)題比Hilbert空間更難以處理，因此將Hilbert空間中的框架（g－框架）理論推廣到Hilbert C＊－模的工作并非平凡。另外，越來(lái)越多的證據(jù)表明Hilbert C＊－模理論與小波理論特別是框架理論在許多方面都有著密切的聯(lián)系，兩個(gè)研究領(lǐng)域都將因彼此的發(fā)展而受益，因此Hilbert C＊－模中框架（g－框架）的研究就顯得很重要和有意義。

在計(jì)算重構(gòu)的有效算法時(shí)，Balan等［18］構(gòu)建了Parseval框架的新的等式和不等式，隨后楊曉慧等［19，20］將其推廣到了g－框架和對(duì)偶g－框架的情形。最近，肖祥春等［12］證明了上述文獻(xiàn)中的等式和不等式對(duì)Hilbert C＊－模中的g－框架依然有效。本文從算子理論的角度得到了Hilbert C＊－模中g(shù)－框架的新的等式和不等式，所得結(jié)果包含了文獻(xiàn)［12］的一些結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

先約定一些記號(hào)。本文中，J是有限或可數(shù)指標(biāo)集，A指有單位元的C＊－代數(shù)，H和K是A上的Hilbert C＊－模，｛Kj｝j∈J是K的閉子模序列，IH表示H上的恒等算子。任意f∈H，記f〉。用記號(hào)（H，K）表示H到K的可伴算子全體組成的集合，而EndA＊（H，H）則簡(jiǎn)記為（H）。用l2（｛Kj｝j∈J）表示由下式定義的Hilbert C＊－模：

定義1.1［11］任意j∈J，設(shè)Λj∈End＊A（H，Kj）。如果存在常數(shù)C，D＞0使得

則稱｛Λj｝j∈J是H關(guān)于｛Kj｝j∈J的g－框架，C，D稱為框架界。如果C＝D，則稱｛Λj｝j∈J是緊的g－框架，特別地，若C＝D＝1，則稱｛Λj｝j∈J是Parseval g－框架。如果只有（1.1）式右端的不等式成立，則稱｛Λj｝j∈J是界為D的g－Bessel序列。

定義1.2［11］設(shè)｛Λj｝j∈J是H關(guān)于｛Kj｝j∈J的g－框架，則其框架算子定義為：

令K?J，記KC＝J＼K，定義可伴算子SK，SKC：H→H如下：

設(shè)Λj｛｝j∈J，Γj｛｝j∈J和Θj｛｝j∈J均是H關(guān)于Kj｛｝j∈J的g－Bessel序列，定義算子如下：

由文獻(xiàn)［12］可知L是定義好的可伴算子。類似可知算子

是定義好的可伴算子。

2 主要結(jié)論及其證明

為了證明主要結(jié)論，需要下面的引理。

進(jìn)一步，若T和Q＊TL是正的自伴算子，則任意f∈H有

證明 由于P＋Q＝L，則

故等式（2.1）成立?，F(xiàn)證明不等式（2.2）。由于T和Q＊TL是正的自伴算子，則任意f∈H有

定理2.2 設(shè)Λj｛｝j∈J，Γj｛｝j∈J和Θj｛｝j∈J均是H關(guān)于Kj｛｝j∈J的g－Bessel序列，算子L，Q分別由（1.4）式和（1.5）式定義且T∈End＊A（H），則對(duì)任意的f∈H，

由（2.1）式，對(duì)每個(gè)f∈H有

另一方面，若T和Q＊TL是正的自伴算子，則由引理2.1可知

推論2.3 設(shè)Λj｛｝j∈J是H關(guān)于Kj｛｝j∈J的g－框架且設(shè)Λ～j｛｝j∈J是Λj｛｝j∈J的典范對(duì)偶g－框架，則對(duì)任意的K?J，f∈H有

證明 令T＝S－1。任意j∈J，令Γj＝Λj，則L＝S，且令顯然Θj｛｝j∈J是H關(guān)于Kj｛｝j∈J的g－Bessel序列且任意j∈J，Γj－Θj具有如下形式：

任意f∈H有

類似地有

因此由引理2.1可得

若Λj｛｝j∈J是H關(guān)于Kj｛｝j∈J的Parseval g－框架，則S＝IH。任意K?J，f∈H，由于

類似地有

所以由推論2.3立即可得如下結(jié)論：

推論2.4 設(shè)Λj｛｝j∈J是H關(guān)于Kj｛｝j∈J的Parseval g－框架，則對(duì)任意的K?J，f∈H有

注2.5 推論2.3和2.4分別是文獻(xiàn)［12］中的定理4.1和定理4.2。

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New Equalities and Inequalities for g－Frames in Hilbert C＊－Modules

XlANG Zhong－qi，ZHANG Hui－h(huán)ui

（School of Mathematics and Computer Science，Shangrao Normal University，Shangrao Jiangxi 334001，China）

A new equality and a new inequality for g－frames in Hilbert C＊－modules were obtained by utilizing the method of operator theory and it was shown that those results cover some known results.

Hilbert C＊－module；g－frame；equality；inequality

O177.1

A

1004－2237（2016）03－0006－04

10.3969／j.issn.1004－2237.2016.03.002

2016－04－13

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11561057）；江西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（20151BAB201007，20151BAB211002）；江西省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（GJJ151061，GJJ151054）

相中啟（1979—），男，山東臨沂人，講師，博士，研究方向：分形理論與小波分析。E－mail：lxsy20110927＠163.com