新二維離散超混沌映射及其在圖像加密的應(yīng)用

崔明章，王光義，任國瑞，靳培培

(杭州電子科技大學(xué)電子信息學(xué)院，浙江 杭州 310018)

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新二維離散超混沌映射及其在圖像加密的應(yīng)用

崔明章，王光義，任國瑞，靳培培

(杭州電子科技大學(xué)電子信息學(xué)院，浙江 杭州 310018)

摘要：在分析logistic映射和cubic映射的基礎(chǔ)上，針對一維映射混沌區(qū)間窄、映射函數(shù)簡單的綜合考量，提出了一種新的超混沌二維離散映射.該映射系統(tǒng)參數(shù)混沌區(qū)間大于logistic映射和cubic映射，映射值域也同樣大于前二者，同時存在2個正的Laypunov指數(shù)的超混沌現(xiàn)象.迭代運算受計算機(jī)精度影響方面也低于一維映射.對其產(chǎn)生的二值偽隨機(jī)序列進(jìn)行了NIST標(biāo)準(zhǔn)測試，其隨機(jī)性明顯好于logistic和cubic映射.最后提出一個基于該二維映射的圖像灰度加密算法，相比logistic和henon加密增大了密鑰空間、降低了映射迭代的時間復(fù)雜度.

關(guān)鍵詞：二維離散；偽隨機(jī)；超混沌；圖像加密

0引言

近年來，混沌系統(tǒng)的初值敏感及不可預(yù)測性被廣泛應(yīng)用于信息加密和保密通信領(lǐng)域.在對信息加密要求愈加嚴(yán)格的背景下，如何產(chǎn)生性能更加良好的混沌系統(tǒng)逐步發(fā)展成為熱門的研究領(lǐng)域[1-6].混沌學(xué)包含離散混沌和連續(xù)混沌兩種.連續(xù)混沌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，密鑰空間大，然而從應(yīng)用的角度來看，信息加密往往都是數(shù)字化的，連續(xù)混沌系統(tǒng)雖然結(jié)構(gòu)復(fù)雜，但其迭代運算占用更多的系統(tǒng)資源與時間，且離散之后產(chǎn)生二值序列的隨機(jī)性往往受限于離散算法的優(yōu)劣.相比之下離散混沌在這方面就具有天然的優(yōu)勢.但是離散混沌也有其不足之處，如目前比較經(jīng)典的logistic映射、cubic映射以及各種由它們衍生出來的一維映射[7-8]，其共同點都是結(jié)構(gòu)復(fù)雜性不高，系統(tǒng)參數(shù)少且混沌參數(shù)區(qū)間小，致使密鑰空間窄.為增加混沌的復(fù)雜性，文獻(xiàn)[9]提出了Henon映射，它是一個二維映射但是它僅包含一個平方非線性項.文獻(xiàn)[10]提出將兩個離散映射級聯(lián)在一起，將一個混沌的映射區(qū)間嵌入到另一個混沌的初值區(qū)間中.本文則在logistic映射和cubic映射基礎(chǔ)上，提出一個新的二維混沌映射，系統(tǒng)包含一個二次非線性項和一個乘積非線性項，同時有6個可變參數(shù)，擴(kuò)展了密鑰空間.并利用該離散混沌系統(tǒng)設(shè)計了一個簡單的灰度加密算法，應(yīng)用到圖像灰度加密中，在實際應(yīng)用中對比分析了logistic加密、henon加密以及新二維映射算法的安全性.

1新的二維超混沌離散混沌

本文提出的二維離散映射是將logistic映射和cubic映射進(jìn)行改進(jìn)融合在一起.其中,logistic映射為

x(n+1)=ux(n)(1-x(n))

(1)

cubic映射為

x(n+1)=ax(n)3-bx(n)

(2)

將式(1)與式(2)合并，改進(jìn)后的二維映射如下：

(3)

式中，μ∈[0,4]，a∈[0,4]，b∈[0,3]，c∈[0,4].

當(dāng)μ=1.8，a=0.5，b=1，c=1，x(0)=0.1，y(0)=0.1時，二維映射產(chǎn)生混沌現(xiàn)象.圖1為x(n)，y(n)的迭代波形圖.圖2為x(n)與y(n)形成的吸引子相圖.

圖1　x(n)與y(n)迭代波形圖

圖2　映射吸引子圖

2混沌特性分析

2.1Lyapunov指數(shù)與分叉圖

Laypunov指數(shù)是系統(tǒng)是否產(chǎn)生混沌的一個重要判據(jù)，為進(jìn)一步探索該系統(tǒng)動力學(xué)特性，本小節(jié)結(jié)合logistic映射和cubic映射對本映射系統(tǒng)進(jìn)行Laypunov指數(shù)以及分岔圖分析.

圖3為3個離散映射的Laypunov指數(shù)圖，Laypunov指數(shù)大于零表示系統(tǒng)處于混沌態(tài).圖4為3個混沌系統(tǒng)的分岔圖.

取logistic映射中的可變參數(shù)u∈(0,4)，令式(1)中x(0)=0.5，得到其Laypunov指數(shù)和分岔圖分別為圖3(a)和圖4(a)所示；取cubic映射中的可變參數(shù)b∈(0,3)，令式(2)中a=4，x(0)=0.1，得到其Laypunov指數(shù)和分岔圖分別為圖3(b)和圖4(b)所示；取二維映射系統(tǒng)中的可變參數(shù)a∈(0,4)，令其它參數(shù)不變，得到新二維映射的Laypunov指數(shù)和分岔圖分別為圖3(c)和圖4(c)所示，在a∈[0.75,4]內(nèi)存在2個正的Lyapunov指數(shù)LE1和LE2，產(chǎn)生超混沌現(xiàn)象.

具體混沌區(qū)間參數(shù)以及Laypunov指數(shù)參數(shù)如表1所示.對比圖3中(a)，(b)，(c)可得到表1中Laypunov大于0的混沌區(qū)間，經(jīng)過比較可以得出二維映射參數(shù)的混沌區(qū)間是大于logistic和cubic映射的.并且二維映射處于(0.75,4)時2個Laypunov指數(shù)全部大于0，出現(xiàn)了超混沌態(tài)，這對于二維離散混沌是一個非常重要的特性.從圖4中可以得到，3個映射系統(tǒng)混沌區(qū)間中，新二維映射的區(qū)間明顯大于前兩者，同時在最大映射區(qū)間分布方面二維映射也大于2個一維映射.綜合上述兩方面分析，表明二維映射的混沌特性優(yōu)于logistic映射和cubic映射.

圖3　Laypunov指數(shù)圖

圖4　分岔圖

特性項混沌區(qū)間logistic映射cubic映射新二維映射Laypunov大于0的混沌區(qū)間(3.57,4)(2.31,3)(0.4,0.55)∪(0.75,4)最大映射區(qū)間(0,1)(-1,1)(-1,3)

2.2映射特性分析

圖5為3個離散映射的映射圖，其反映的是x(n)與x(n+1)逐次迭代產(chǎn)生的離散集合.圖5中，(a)為logistic的映射圖，類似于1條二次曲線；(b)為cubic的映射圖，類似于1條三次曲線；(c)為二維系統(tǒng)的映射圖，其圖形不再類似于1條線，而是類似于1個平面.

圖5　x(n)之間的映射圖

圖5(a)與(b)均為一維離散映射圖，由x(n)能夠得到唯一的x(n+1)，當(dāng)處于混沌狀態(tài)下x(n)之間是不存在x(i)=x(j)(i≠j)的，所以理想情況下，兩者的圖形都為1條無限接近于二次或者三次曲線的離散集合.但是實際情況下受限于計算機(jī)精度的影響不會無限接近，當(dāng)超出計算精度時就會出現(xiàn)x(i)=x(j)(i≠j)情況，產(chǎn)生周期現(xiàn)象.

圖5(c)為二維映射圖，由x(n)與y(n)得到唯一的x(n+1)，每進(jìn)行1次迭代，x(n)到x(n+1)的映射函數(shù)都隨著y(n)進(jìn)行改變，不再像圖5(a)和(b)那樣是固定的映射函數(shù)，這就是映射圖不再類似于1條線而是類似于1個平面的原因.此時當(dāng)受計算機(jī)精度位數(shù)的影響，將小數(shù)點16位之后的數(shù)字忽略就會產(chǎn)生x(i)=x(j)(i≠j)，映射函數(shù)也會因為y(i)≠y(j)(i≠j)而不同，系統(tǒng)仍然不會進(jìn)入周期態(tài)，當(dāng)然也不排除此時y(i)也受到到精度的影響恰巧y(i)=y(j)(i≠j)而進(jìn)入周期態(tài).綜合上述分析，二維映射雖然不能避免受計算機(jī)精度影響，但是相比于一維映射可以降低其影響.

2.3NIST偽隨機(jī)特性測試

為檢測新混沌系統(tǒng)偽隨機(jī)特性的優(yōu)劣，本小節(jié)對logistic映射、cubic映射以及文章提出的二維映射分別作了NIST測試.采用相同的方法對這3個混沌系統(tǒng)二值化.步驟如下：

1)取偽隨機(jī)數(shù)的小數(shù)點后5位數(shù)字；

2)將每位數(shù)字大于等于5取二進(jìn)制的1，小于5取二進(jìn)制0，從而得到5位二進(jìn)制數(shù)；

3)循環(huán)迭代2×108次，得到1×109的二進(jìn)序列.

采用美國國家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)局NIST推出的測試標(biāo)準(zhǔn)對產(chǎn)生的二進(jìn)制序列進(jìn)行了隨機(jī)性測試[11].NIST評判序列性能的依據(jù)是：1)序列的通過率需大于0.96；2)P_VALUE值的均勻性大于等于0.000 1時，表示被測試序列的分布是均勻的.NIST測試結(jié)果如表2所示.

表2　偽隨機(jī)序列NIST測試結(jié)果

表2中，帶*的表示未通過檢測的項，3個系統(tǒng)對比分析可得，logistic和cubic映射分別有5項和8項沒有通過，本文提出的二維映射全部通過，表明本文提出的二維映射的偽隨機(jī)性優(yōu)于logistic映射以及cubic映射.

3二維離散混沌系統(tǒng)在圖片加密中的應(yīng)用

3.1混沌加密算法設(shè)計

定義圖像像素點為m×n個，其中B(i,j)為第i行j列的像素值，加密算法如下：

4)K(i,j)=Kx(i)⊕Ky(j)i=1,…,m;j=1,…,n

5)M(i,j)=K(i,j)⊕B(i,j)i=1,…,m;j=1,…n

此算法的構(gòu)造基礎(chǔ)就是利用二維混沌序列x(i)和y(j)構(gòu)造了1個m×n行的秘鑰矩陣，使之與像素矩陣異或.參數(shù)a，b，c，μ為密鑰參數(shù).其優(yōu)勢是將混沌迭代的時間復(fù)雜度由o(m×n)降低到了o(MAX(m,n)).圖6為利用上述算法的加解密結(jié)果.

圖6　利用二維離散混沌系統(tǒng)的加解密圖

3.2安全性分析

3.2.1密鑰空間分析

在matlab平臺下32位計算機(jī)的計算精度一般為10-16，因此加密算法中增加1個密鑰其密鑰空間就會增加1016倍.3個映射系統(tǒng)的密鑰參數(shù)、密鑰空間統(tǒng)計表如表3所示.由表3得出，新二維映射加密算法的密鑰空間為1096，能很好地抗擊唯密文攻擊，同時得出新二維映射加密算法的密鑰空間明顯大于logistic映射和henon映射加密算法.

表3　logistic，henon映射和新二維映射密鑰參數(shù)、密鑰空間統(tǒng)計表

3.2.2相關(guān)性分析

為檢驗原始圖像和加密圖像相鄰像素的相關(guān)性，分別從水平、垂直和對角方向，在圖像中隨機(jī)選取10 000對相鄰像素，3個離散加密系統(tǒng)在3個方向加密前后像素的相關(guān)系數(shù)如表4所示.由表4可以得出3個加密系統(tǒng)都很好地掩蓋了像素之間的相關(guān)性.

表4　相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計表

3.2.3密鑰敏感性分析

密鑰敏感性在一定程度上反映了混沌加密算法抗窮舉攻擊的能力[12]，為探索加密算法密鑰敏感性，分別對3個系統(tǒng)中的初始值密鑰參數(shù)x(1)做10-16的微小改變，其它密鑰保持不變，對加密圖像進(jìn)行解密.圖7中(a)，(b)，(c)分別為logistic，henon映射和新二維映射算法解密結(jié)果.由圖7可以看出，在初值密鑰x(1)敏感性方面新二維映射優(yōu)于henon二維映射以及l(fā)ogistic映射.

圖7　初始值x(1)敏感性測試結(jié)果

分別取logistic映射的參數(shù)u，henon二維映射的參數(shù)a，新二維映射的參數(shù)a，使它們分別進(jìn)行10-16的微小改變，其余密鑰參數(shù)保持不變，對加密圖像進(jìn)行解密.圖8中(a)，(b)，(c)分別為3個系統(tǒng)的解密結(jié)果.由圖8表明在選取的3個參數(shù)密鑰的敏感性方面，新二維映射和henon二維映射優(yōu)于一維logistic映射.綜合上述分析新二維映射具有較好的密鑰敏感性.

圖8參數(shù)敏感性測試結(jié)果

4結(jié)束語

本文從一維logistic映射和cubic映射出發(fā)，針對一維映射映射區(qū)間窄以及參數(shù)空間小的缺點，提出了一種新的二維離散映射.經(jīng)過分析表明，本文提出的二維映射能夠產(chǎn)生超混沌現(xiàn)象，這對二維離散映射具有重要的意義.同時，新二維映射相比logistic映射和cubic映射能夠很好的降低計算機(jī)精度對混沌周期性的影響.最后將新二維映射應(yīng)用于圖像加密中，通過對比分析之前較為常見的logistic加密算法和henon加密算法，得到新二維映射在密鑰空間和密鑰敏感性方面優(yōu)于logistic和henon映射，同時新二維映射加密算法降低了映射迭代的時間復(fù)雜度，縮短了加密時間，使算法更具有實用性.綜合上述分析表明新二維映射具有較好的混沌特性以及廣泛的應(yīng)用前景，未來可以不斷探索多維的離散混沌映射.

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DOI：10.13954/j.cnki.hdu.2016.03.002

收稿日期：2015-10-13

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(60971046，61281230357)；浙江省自然科學(xué)基金重點資助項目(LZ12F01001)

作者簡介：崔明章(1990-)，男，山東濟(jì)南人，碩士研究生，非線性電路域智能信息處理.通信作者：王光義教授，E-mail：wanggyi@163.com.

中圖分類號：TN919.81

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1001-9146(2016)03-0006-06

A New Two-dimensional Discrete Hyperchaos Mapping and Its Application in Image Encryption

CUI Mingzhang, WANG Guangyi, REN Guorui, JIN Peipei

(SchoolofElectronicInformation,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

Abstract：Based on logistic mapping and cubic mapping, for one dimensional mapping chaotic narrow range and simple of mapping function, this paper proposes a new two-dimensional discrete hyperchaos mapping. The chaotic interval of system’s parameters is greater than the logistic mapping and cubic mapping, mapping domain is also greater than before, and there are two positive Laypunov indexs with having a hyperchaos phenomenon that. Iterative operation affected by the precision of computer is less than one dimensional mapping. The binary pseudorandom sequence of mapping is tested by NIST, resulting shows that the randomness of two-dimensional mapping is much better than logistic mapping and cubic mapping. Finally, putting forward a grayscale image encryption algorithm based on the two-dimensional mapping. The algorithm is compared with the logistic and Henon encryption increases the key space, reduces the time complexity of mapping iterative.

Key words：two-dimensional discrete; pseudo random; hyperchaos; image encryption