平面雙線性映射的逆的幾何意義

白凱娟,木效文,鄧重陽

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州，310018 )

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平面雙線性映射的逆的幾何意義

白凱娟,木效文,鄧重陽

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州，310018 )

摘要：揭示了平面雙線性映射的逆的幾何意義.對于梯形的4個頂點所定義的平面雙線性映射，梯形兩腰的交點的逆有無窮多個，對于過梯形兩腰延長線的交點且與底邊平行的直線上除交點外的點,其逆不存在，對于平面上其它的點,其逆是唯一的；對于其它平面四邊形的4個頂點所定義的雙線性映射，存在1條與4條邊所在直線都相切的拋物線，對于拋物線上的點，其逆唯一，對于拋物線外側(cè)的點，其逆有2個，對于拋物線內(nèi)側(cè)的點，其逆不存在.

關(guān)鍵詞：四邊形；雙線性映射的逆；拋物線

0引言

近年來，平面雙線性映射已經(jīng)廣泛應(yīng)用于計算機圖形學(xué)[1]，有限元法[2]及其相關(guān)領(lǐng)域，MICHACLS.Floater對平面四邊形的雙線性映射做了進一步研究，把平面內(nèi)的點P定義為雙線性映射的像，也對其逆做了具體的說明.本文研究了平面雙線性映射的逆的幾何意義.首先討論梯形的4個頂點所定義的雙線性映射，然后討論一般的平面四邊形的4個頂點所定義的雙線性映射.

1梯形的雙線性映射及其逆

平面四邊形的4個頂點P00,P01,P10,P11定義的雙線性映射[3]為：對于平面內(nèi)任一點P，存在實數(shù)s，t，使得

P(s,t)=(1-s)(1-t)P00+(1-s)tP01+s(1-t)P10+s tP11.

(1)

對于平面四邊形P00P10P01P11設(shè)

P11=λ1P00+λ2P01+λ3P10,

(2)

其中，λ1，λ2，λ3為點P11在三角形P00P01P10的3個頂點處的重心坐標.

將式(2)P11代入式(1)，得

P=[1-s-t+(1+λ1)s t]P00+[t+(λ2-1)s t]P01+[s+(λ3-1)s t]P10.令P=u1P00+u2P01+u3P10,其中，u1，u2，u3為點P在三角形P00P01P10的3個頂點處的重心坐標.

因為點P在三角形P00P01P10的3個頂點處的重心坐標是唯一的，所以

(3)

由式(3)得到關(guān)于s的方程

(λ2-1)s2+[u2(λ3-1)-u3(λ2-1)+1]s-u3=0.

(4)

圖1　梯形雙線性映射的逆

當λ2=1時，式(4)是關(guān)于s的一次方程

[u2(λ3-1)+1]s-u3=0.

(5)

此時，λ1+λ3=0， 所以P11=P01+λ3(P10-P00)，即四邊形P00P01P10P11為梯形，如圖1所示，這時t=u2.所以有以下命題.

命題1梯形4個頂點所定義的平面內(nèi)，對于兩腰的交點，其雙線性映射的逆有無窮多個；對于過梯形兩腰延長線的交點且與底邊平行的直線l上的點(除交點)，其雙線性映射的逆不存在；對于平面上其他點的逆唯一.

圖2　任意四邊形雙線性映射的逆

2平面任意四邊形的雙線性映射的逆

任意的平面四邊形均存在1條拋物線與4條邊或其延長線相切.首先，給出拋物線的切線引理.

證明由二次Bézier曲線deCasteljau算法[5]可知，對于任意拋物線有

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

同理，由式(7)，式(8)得

(11)

由式(6)，式(7)得

(12)

由式(10)，式(11)，式(12)可得引理成立.

對于任意四邊形平面上的點，其雙線性映射的逆討論如下：

命題2對于任意平面四邊形P1P9P4P10，存在拋物線φ與4條邊所在直線相切，那么拋物線上點的雙線性映射的逆唯一，對于拋物線外側(cè)的點，其逆有2個，對于拋物線內(nèi)側(cè)的點，其逆不存在.

證明對于四邊形P1P9P4P10，直線P1P5,P1P8,P2P9,P3P10與拋物線φ相切，AE是拋物線的任一條切線，由上面引理可知

(13)

(14)

(15)

又由于過拋物線外側(cè)任一點都有2條切線，即存在2個s，t滿足式(15)，雙線性映射的逆有2個.而過拋物線上的點僅有1條切線，那么只存在唯一的s，t，即拋物線上點的雙線性映射的逆唯一.下面討論拋物線內(nèi)側(cè)的點.

假設(shè)拋物線內(nèi)側(cè)的點P由四邊形雙線性表示，圖2中，做割線PE與P4P9交于點M，那么存在u，v使得P=uM+(1-u)E,M=vP9+(1-v)P4,E=vP1+(1-v)P10，即有P9M∶MP4=P1E∶EP10，這與拋物線四切線定理矛盾，故拋物線內(nèi)側(cè)的點的雙線性映射的逆不存在.證畢.

3結(jié)束語

四邊形的雙線性坐標是一種非常重要的重心坐標.本文通過對平面四邊形的雙線性映射以及其逆的討論，給出了逆的幾何意義.對于有理雙線性坐標的逆的幾何意義，有待進一步解決.

參考文獻

[1]WOLBERG G. Digital Image Warping[M].Los Alamitos:IEEE Computer Society Press，1990：125-186.

[2]WACHSPRESS E L, ROHDE S M. A Rational Finite Element Basis[J]. Journal of Tribology,1975,98(4):635.

[3]SEDERBERG T W, ZHENG J. Birational quadrilateral maps[J]. Computer Aided Geometric Design,2015,32:1-4.

[4]FLOATER M S. Generalized barycentric coordinates and applications[J]. Acta Numerica, 2015, 24：161-214.

[5]王仁宏，李崇君，朱春鋼.計算幾何教程[M].北京：科學(xué)出版社，2008：112-116.

DOI：10.13954/j.cnki.hdu.2016.03.020

收稿日期：2015-09-16

作者簡介：白凱娟(1990-)，女，陜西渭南人，碩士研究生，計算機輔助幾何設(shè)計與圖形學(xué).通信作者：鄧重陽副教授，E-mail:dcy@hdu.edu.cn.

中圖分類號：O243

文獻標識碼：A

文章編號：1001-9146(2016)03-0100-03

The Geometric Meaning of the Inverse of the Planar Bilinear Mapping

BAI Kaijuan, MU Xiaowen, DENG Chongyang

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

Abstract：The paper reveals the geometric meaning of the inverse of planar bilinear mapping. For the planar bilinear mapping defined by the four vertices of the trapezoid, there are infinite numbers inverses on the intersection point between two trapezoid waists. For the line which is parallel to bottom edges of the trapezoid and passes the intersection point between two trapezoid waists except the intersection, the inverse does not exist. And there is the unique inverse of the bilinear mapping for other points. For the planar bilinear mapping defined by the four vertices of the planar quadrilateral, there is a parabola which is tangent to the lines on the four edges. For the points on the parabola, there is the unique inverse. For the points out of the parabola, there are two inverses. And for the points inside of the parabola, the inverse doesn’t exist.

Key words：quadrilateral; the inverse of bilinear mapping; parabola