多元函數(shù)幾個概念的關(guān)系的研究

徐麗君，廖永志

多元函數(shù)幾個概念的關(guān)系的研究

徐麗君，廖永志

(攀枝花學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，四川攀枝花617000）

多元函數(shù)的連續(xù)性、可微性、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)等概念比較抽象，關(guān)系復(fù)雜，是教學(xué)中的四大難點，難以理解，難以掌握。為了理清這些概念的內(nèi)涵與關(guān)系，通過具體實例，充分利用有關(guān)概念與定理，詳細(xì)討論每一個概念的條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，以及這些基本概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，給高等數(shù)學(xué)的教學(xué)降低難度，讓初學(xué)者容易接受這些知識。

多元函數(shù)；關(guān)系；連續(xù)性；可微性；偏導(dǎo)數(shù)；方向?qū)?shù)

0 引言

高等數(shù)學(xué)是國家教育部規(guī)定的理工科經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生必學(xué)的一門課程，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，不僅是在后續(xù)的課程的學(xué)習(xí)中將反復(fù)應(yīng)用這些數(shù)學(xué)知識，更主要的是將會提高我們的邏輯思維能力，幫助學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，提高綜合素質(zhì)。高等數(shù)學(xué)具有很強的抽象性，正是這一點使一些初學(xué)者有畏懼該課程的學(xué)習(xí)，缺乏自信，對一元函數(shù)的學(xué)習(xí)還好，多元函數(shù)的學(xué)習(xí)很困難，尤其對于多元函數(shù)的連續(xù)性、可微性、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)幾個概念集中出現(xiàn)的時候，有些學(xué)生就把這些概念混淆了。本文將以實例為主，重點分析這幾個概念的內(nèi)涵及其關(guān)系，希望能夠降低教學(xué)難度，減少讀者學(xué)習(xí)的抽象性。

1 幾個概念的定義和定理

下面給出函數(shù)的連續(xù)、可微、偏導(dǎo)數(shù)及方向?qū)?shù)的定義，以及顯示他們之間的關(guān)系定理，這是后面部分必須用的。

定義1[1]：設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在區(qū)域D上有定義，點P0（x0，y0）∈D，若有成立，則稱函數(shù)z=f（z，y）在點P0處連續(xù)。

定義2[1]：設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）附近有定義，固定y＝y(tǒng)0，當(dāng)自變量x在x0處有增量△x時,函數(shù)z有相應(yīng)的改變量f（x0+△x，y）-f（x0，y0）。如果

存在，則稱此極限為函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處對x的偏導(dǎo)數(shù)。記為：P'x（x0，y0），z'x（x0，y0），

同樣,定義函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）對y的偏導(dǎo)數(shù)

定義3[1]：設(shè)z=（fx，y）在P（0x0，y0）的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)的全增量可表示為△z＝（fx0＋△x，y0＋△y）-f（x0，y0）=A△x+B△y+o(p)。其中，A與B是與△x和△y無關(guān)的常數(shù)，稱函數(shù)z=（fx，y）在點P0（x0，y0）可微，把△x，△y的線性函數(shù)A△x+B△y叫做函數(shù)z=（fx，y）在點P（0x0，y0）的全微分，記為：dz=A△x+ B△y。

定義4[1]：在點P（0x0，y0）的一條射線l上任取一點P（x0＋△x，y0＋△y），設(shè)，如果極限存在，稱此極限是函數(shù)z=（fx，y）在點P（0x0，y0）沿著l的方向?qū)?shù)，表示為，即

定理1[1]（可微的必要條件）：如果函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）可微，則在該點偏導(dǎo)數(shù)f'x（x0，y0），f'y（x0，y0）存在，且函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）全微分

定理2[1]（可微的充分條件）：如果函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）的偏導(dǎo)數(shù)在點P0（x0，y0）處連續(xù)，則函數(shù)f（x，y）在點P0（x0，y0）有可微分。

定理3[1]：若函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）可微，則函數(shù)z=f（x，y）在該點沿任意方向l的方向?qū)?shù)都存其中cosα，cosβ是射線l的方向余弦。

2 幾個概念及其關(guān)系

多元函數(shù)連續(xù)、可微、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)四個概念比較抽象，要想弄明白它們之間的關(guān)系很不容易。具體來講“連續(xù)”表達(dá)的是函數(shù)的增量與每一個自變量的增量之間的關(guān)系，“偏導(dǎo)”表達(dá)的是函數(shù)變化率的問題，“微分”反應(yīng)的是對函數(shù)的局部變化率的一種線性描述，“方向?qū)?shù)”體現(xiàn)了函數(shù)在某個射線方向上變化時對于距離的變化率，這四個問題共同點是求極限，不同點是求極限的內(nèi)容不一樣，比如P(x,y)→P（x0，y0）的路徑不一樣，“連續(xù)”的路徑是任意方向，“偏導(dǎo)”的路徑是平行于x,y軸的直線方向，“微分”的路徑是P(x,y)→P（x0，y0）沒有方向，“方向?qū)?shù)”的路徑是射線方向。表面上看四個概念關(guān)系不大，但實質(zhì)上相互之間關(guān)系相當(dāng)密切。例如，關(guān)于x,y軸的正半軸的偏導(dǎo)數(shù)就是各自方向的方向?qū)?shù)，而關(guān)于x,y軸的負(fù)半軸的偏導(dǎo)數(shù)就是各自方向的方向?qū)?shù)的相反數(shù)。又如上面給出的3個定理可以充分反映他們之間的聯(lián)系，圖1形象地描述了這一點。

3 實例闡述

在上述關(guān)系中，反方向均不成立。下面取（x0，y0）=(0,0)點為例，充分利用定義1—定義4，定理1—定理3，從6個方面逐一討論函數(shù)的連續(xù)、可微、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)四個概念之間的關(guān)系。

3.1 函數(shù)在某點偏導(dǎo)數(shù)存在，但不連續(xù)，不可微

解：因為f（x，0）=0，f（0，y）=0

即其偏導(dǎo)數(shù)存在。

當(dāng)點P(x,y)沿x軸趨于點(0，0)時，有

當(dāng)點P(x,y)沿直線y＝kx趨于點(0，0)時，有

3.2 函數(shù)在某點連續(xù)，方向?qū)?shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)不存在，不可微

例2：求證：函數(shù)，在(0，0)點連續(xù)，方向?qū)?shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)不存在，不可微。

即該函數(shù)在（0，0）點存在方向數(shù)。但

故，f（x0，0）不存在。由x，y的對稱性，f（y0，0）不存在。從而，（fx，y）在（0，0）點不可微（否則，f（x0，0），f（y0，0）均存在）。

3.3 函數(shù)在某點可微，但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)

航保通信基建工程是在財政資金撥付下進(jìn)行的固定資產(chǎn)投資項目建設(shè)，屬于公益性建設(shè)項目，本文所指的基建工程主要指基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)項目。財政資金撥付項目往往存在投資金額固定，建設(shè)周期短的問題，這就需要針對一些重點環(huán)境加強管理，以實現(xiàn)工程建設(shè)的高效推進(jìn)。

因為，當(dāng)x→0，y→0時，

所以f（x，y）在（0，0）點可微，且df（0，0）=fx（0，0）dx+fy（0，0）dy=0

取點列Pn（xn，yn），yn=0，顯然。

這個例題也說明，上述定理1與定理2不可逆。

3.4 函數(shù)在某點連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微

由定義

所以，函數(shù)f（x，y）在點（0，0）連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微。

3.5 函數(shù)在某點的方向?qū)?shù)存在，但不連續(xù)，不可微

證明：函數(shù)沿方向l=（cosα，sinα）的方向?qū)?shù)為

所以，函數(shù)在原點（0，0）處沿各個方向的方向?qū)?shù)存在。但當(dāng)（x，y）沿曲線x=ky2趨于（0，0）時，又因為，此結(jié)果與k有關(guān)。所以，函數(shù)f（x，y）在原點（0，0）不連續(xù)，因而不可微。

3.6 函數(shù)在某點的方向?qū)?shù)存在，連續(xù)，但不可微

函數(shù)沿方向l=（cosα，sinα）的方向?qū)?shù)為

所以函數(shù)在原點（0，0）處沿各個方向的方向?qū)?shù)存在。又

但因為

所以函數(shù)在原點（0，0）不可微。

4 結(jié)語

綜合上面的例子，說明函數(shù)的連續(xù)性、可微性、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)等基本概念之間的關(guān)系復(fù)雜，特別抽象，極易混淆，難以理解，難以掌握。本文以具體實例為主，詳細(xì)研究這些概念之間的內(nèi)在關(guān)系，得到下面的“結(jié)論圖”，這個圖可以給高等數(shù)學(xué)的教學(xué)降低難度，可以讓初學(xué)者能夠容易理清這些概念的內(nèi)涵，從而學(xué)好高等數(shù)學(xué)這門課程。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2004．

[2]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2005．

[3]陳紀(jì)修．?dāng)?shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2006．

The Study on the Connection of Several Concepts of Multivariate Function

XU Li-jun，LIAO Yong-zhi
(School of Computer Science and Technology，Panzhihua University，Panzhihua,Sichuan 617000,China)

The concept of multiple functions,such as continuity,differentiable,partial derivative,directional derivative,is abstract and complex.They are the four special difficulties in teaching.In order to comprehend the connotation and concept of them,through concrete examples,we make full use of the concepts and theorems,and discuss in detail the causal connection between the conditions and conclusions of each concept,and the inner link between these basic concepts,which reduce the difficulty of teaching higher mathematics,which help beginners accept these knowledge easily.

multivariate function;connection;continuity;differentiability;partial derivative;directional derivative.

O174.1

A

1673-1891（2016）01-0023-03

10.16104/j.issn.1673-1891.2016.01.007

2015-11-01

徐麗君（1965—），女，副教授，學(xué)士，研究方向：微分方程。