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    三步法求解下層最優(yōu)解不唯一的二層規(guī)劃

    2016-08-01 03:45:25胡鐵松
    三峽大學學報(自然科學版) 2016年2期

    王 劍 胡鐵松 汪 琴

    (武漢大學 水資源與水電工程科學國家重點實驗室, 武漢 430072)

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    三步法求解下層最優(yōu)解不唯一的二層規(guī)劃

    王劍胡鐵松汪琴

    (武漢大學 水資源與水電工程科學國家重點實驗室, 武漢430072)

    摘要:下層最優(yōu)解不唯一的二層規(guī)劃存在樂觀和悲觀情形,基于此提出樂觀和悲觀可行解的定義,并設(shè)計了求解樂觀和悲觀最優(yōu)解的三步法.而后分別用三步法和以往的兩步法求解了4個下層最優(yōu)解不唯一和1個下層最優(yōu)解唯一的算例,計算結(jié)果表明了三步法的有效性.

    關(guān)鍵詞:二層規(guī)劃;樂觀最優(yōu)解;悲觀最優(yōu)解

    二層規(guī)劃可行上層決策對應(yīng)的下層規(guī)劃問題最優(yōu)解數(shù)目通常并非唯一,二層規(guī)劃的下層問題具有唯一解是一類特殊二層規(guī)劃問題,只有當對應(yīng)下層規(guī)劃為凸規(guī)劃且目標函數(shù)為嚴格凸函數(shù)時,其最優(yōu)解才唯一[1].下層規(guī)劃最優(yōu)解不唯一的二層規(guī)劃的求解難點在于:對于一個可行的上層決策變量,其對應(yīng)下層最優(yōu)解的數(shù)目難以確定,目前尚缺乏一種解法可以求解出下層問題的所有最優(yōu)解并將其反饋到上層規(guī)劃.因此,研究與探討下層最優(yōu)解不唯一的二層規(guī)劃問題具有重要價值.

    下層最優(yōu)解不唯一的二層規(guī)劃的最優(yōu)解尚無一個公認的定義,Lucchetti R, Mignanego F等[2]提出了三個定義,其中第一條和第二條定義分別對應(yīng)Dempe[3]提到的樂觀和悲觀形式二層規(guī)劃的最優(yōu)解,也是較為通用的解定義,而第三條定義條件非常嚴苛,因而使用得極少.另外有一些學者,通過對原二層規(guī)劃問題進行處理,使得下層問題最優(yōu)解唯一.Bialas和Karwan[4]提出在下層決策者配合上層決策者時,用f2+εf1來代替下層目標函數(shù)f2,其中f1為上層目標函數(shù),ε為一個適當小的正數(shù);相應(yīng)地Ben-Ayed O[5]提出在下層決策者不配合上層決策者時,用f2-εf1來代替下層目標函數(shù)f2.但兩者只是提出了一種思路,并沒有指出ε應(yīng)當如何選取,并且即使在替換了下層目標函數(shù)以后,也不能保證下層最優(yōu)解唯一.Dempe則提出了兩種正則化方法對原二層規(guī)劃進行擾動,第一種[6]是針對樂觀情形,在下層目標函數(shù)為凸函數(shù),且上層目標函數(shù)正定的情況下,在下層目標函數(shù)中添加αF,α為一個適當小的正數(shù),并用梯度法進行求解;第二種[7]是在下層規(guī)劃為凸規(guī)劃時,在目標函數(shù)中添加α‖x‖,并用聚束法進行求解.相類似地,P.Loridan和J.Morgan針對下層問題嚴格擬凸與否,提出了兩種ε-正則法[8-9],并討論了一定條件下解的存在問題,也提出了幾個較為簡單的算法.但不論是Dempe還是P.Loridan和J.Morgan提出的方法都存在兩個問題:第一,對下層問題有一定的要求,針對的是較為簡單的二層規(guī)劃問題,提出的方法難以解決一個一般的下層最優(yōu)解不唯一的二層規(guī)劃問題;第二,改變了原二層規(guī)劃問題,并不能保證最后求得的解滿足下層問題的最優(yōu)性.

    近年來有一類解法,上下層都采用啟發(fā)式算法進行求解,因為該類算法使用了兩次啟發(fā)式算法,可以歸類為兩步法,如基于遺傳算法的[10],基于粒子群算法的[11]等.但用兩步法求解下層最優(yōu)解不唯一的二層規(guī)劃,下層規(guī)劃將隨機返回一個最優(yōu)解到上層,因而算法結(jié)果將不穩(wěn)定,無法保證求得樂觀最優(yōu)解或者悲觀最優(yōu)解.

    本文從樂觀和悲觀二層規(guī)劃的定義出發(fā),提出樂觀和悲觀可行解的定義,分析了這兩類可行解的求解思路,而后設(shè)計了三步法求解下層最優(yōu)解不唯一的二層規(guī)劃的樂觀和悲觀最優(yōu)解.下文將按照如下順序展開:第1部分描述二層規(guī)劃的相關(guān)數(shù)學定義及樂觀和悲觀最優(yōu)解,第2部分提出樂觀和悲觀可行解的定義和求解樂觀和悲觀最優(yōu)解的三步法,第3部分是算例及結(jié)果分析,第4部分是結(jié)論和未來工作.

    1二層規(guī)劃的兩類最優(yōu)解

    考慮如下形式的二層規(guī)劃問題(記為問題1):

    (1)

    其中x∈Rn1,y∈Rn2,F(xiàn),f:Rn1×Rn2→R,G:Rn1×Rn2→Rm1,g:Rn1×Rn2→Rm2.

    1)約束域:

    上下層約束條件的交集稱為約束域A,即:A={(x,y)|G(x,y)≤0,g(x,y)≤0}.

    2)可行上層決策變量:

    將滿足x∈A的上層決策變量x稱為可行上層決策變量,所有的可行上層決策變量的集合用X表示,它表示約束域A在上層決策空間的投影,即:X={x|(x,y)∈A}.

    3)反應(yīng)集:

    當二層規(guī)劃的可行上層決策變量x,對應(yīng)的下層問題的最優(yōu)解并非唯一時,下層問題返回的最優(yōu)解具有不確定性.此時,有兩種決策方式,相應(yīng)地有兩類最優(yōu)解.

    1.1樂觀最優(yōu)解

    樂觀決策者認為下層完全配合上層目標,總是將對上層目標最有利的最優(yōu)解返回給上層,這種情況下的二層規(guī)劃稱為樂觀二層規(guī)劃,得到的最優(yōu)解即為樂觀最優(yōu)解.

    樂觀二層規(guī)劃的數(shù)學表達[3]:

    (2)

    1.2悲觀最優(yōu)解

    P.Loridan和J.Morgan[12]提出在下層決策者不配合上層決策者時,上層決策者為了使得風險最小,認為下層決策者總是選擇最不利于上層的最優(yōu)解,這種情形下的二層規(guī)劃稱為悲觀二層規(guī)劃,得到的最優(yōu)解即為悲觀最優(yōu)解.

    悲觀二層規(guī)劃的數(shù)學表達[3]:

    (4)

    2三步法求解樂觀和悲觀最優(yōu)解

    2.1等價約束

    對于任意一個固定的上層決策變量x,如果下層問題存在最優(yōu)解,那么下層問題一定存在唯一的最優(yōu)值f*,顯然,對于任意一個x′∈X有:{y|f(x′,y)=f*}={y|y∈ψ(x′)}.

    2.2樂觀可行解

    根據(jù)樂觀二層規(guī)劃的定義,對于一個x′∈X,當y是如下問題o的最優(yōu)解時,這個y才會被樂觀上層決策者接受,從而(x′,y)才是樂觀二層規(guī)劃的一個可行解,稱為樂觀可行解.

    (7)

    由于ψ(x′)數(shù)目無法確定,也無法全部求出,故用f(x′,y)=f*代替y∈ψ(x′)可以得到問題o的等價問題3:

    (8)

    2.3悲觀可行解

    同理,根據(jù)悲觀二層規(guī)劃的定義,對于一個x′∈X,當y是如下問題p的最優(yōu)解時,(x′,y)是悲觀二層規(guī)劃的一個可行解,稱為悲觀可行解.

    (9)

    與樂觀可行解求解類似,可以得到問題p的等價問題4:

    (10)

    2.4樂觀&悲觀可行解求解

    根據(jù)上文的分析,可以通過如下3個步驟求解樂觀和悲觀可行解:第1步,確定一個滿足x′∈X的x′;第2步,求解x′對應(yīng)下層規(guī)劃問題2的最優(yōu)值f*;第3步,求解x′對應(yīng)的問題3(4),得到最優(yōu)解y,最終得到一個樂觀(悲觀)可行解(x′,y).

    2.5三步法求解樂觀&悲觀最優(yōu)解

    上文給出了求解單個樂觀(悲觀)可行解的方法,如果使上層決策變量在X內(nèi)變化,并求解對應(yīng)的樂觀(悲觀)可行解,最后比較這些樂觀(悲觀)可行解的適應(yīng)度(上層目標函數(shù)值)大小,適應(yīng)度最小的樂觀(悲觀)可行解就是原二層規(guī)劃問題的樂觀(悲觀)最優(yōu)解,具體過程如圖1所示.

    圖1 三步法運行過程    圖2 兩步法迭代過程

    2.6三步法和兩步法對比

    新方法是一個求解策略,并不針對某一種特定的算法,為了使得算法適用性更廣,可以采用啟發(fā)式算法和新方法結(jié)合.新方法總共使用了3次啟發(fā)式算法,故而命名為三步法.為了方便對比,將兩步法的流程列入圖2,可以看出三步法和兩步法差別就在于是否有問題3(4)的求解,且兩步法在下層問題完成求解后直接返回了下層最優(yōu)解Y*,三步法返回的是下層最優(yōu)值f*,再經(jīng)過問題3(4)的求解返回Y*.

    3算例及結(jié)果

    為了驗證新方法的有效性,下面分別用基于粒子群的兩步法和三步法對5個算例進行求解.算例1,2,3節(jié)選自文獻,算例4,5為作者構(gòu)造算例;算例1,2,4,5下層最優(yōu)解不唯一,算例3下層最優(yōu)解唯一;算例4,5決策變量維數(shù)可變,計算時算例4包括1+2和2+3維,算例5包括2+2維和4+4維.為了方便對比,三步法和兩步法的問題1和問題2的的粒子數(shù)和迭代次數(shù)均相同.

    算例1[3]:

    圖3 算例1可行域    圖4 算例1迭代過程

    3種迭代都進行了多次計算,樂觀和悲觀迭代過程不盡相同,但收斂結(jié)果一致,上圖只是選取了其中一次;兩步法的迭代過程不盡相同,迭代也不一樣,上圖也只是選取了其中一次(下文算例同).樂觀過程收斂代數(shù)為51,收斂最優(yōu)解為(-1.62e-23,2.22e-24),最優(yōu)值為0;悲觀過程收斂代數(shù)為176,收斂最優(yōu)解為(2.66e-04,1.003 11),最優(yōu)值為1.000 091;兩步法收斂代數(shù)為146代,收斂最優(yōu)解為(4.02e-09,-1),最優(yōu)值為1.三步法順利求解了樂觀最優(yōu)解和悲觀最優(yōu)解,而兩步法也剛好求解出了悲觀最優(yōu)解,這是一個特例.

    算例2[2]:

    算例2反應(yīng)集為:ψ(x)={(y1,y2)|y1+y2=1,x+y1-y2≤1,0≤x≤2},可行域如圖5所示,任意一個x對應(yīng)下層規(guī)劃有無窮多個最優(yōu)解.

    樂觀最優(yōu)解為:(x*,y*)=(0,1),對應(yīng)樂觀最優(yōu)值為1 000;悲觀最優(yōu)解為:(x*,y*)=(2,0),對應(yīng)悲觀最優(yōu)值為200.三步法和兩步法的迭代過程如圖6所示.

    圖5 例2可行域      圖6 例2迭代過程

    樂觀過程收斂代數(shù)為130,收斂最優(yōu)解為(-1.56e-03,1.001 06,-5.04e-04),最優(yōu)值為1 000.870;悲觀過程收斂代數(shù)為126,收斂最優(yōu)解為(2.000 03,-2.94e-04,1.003 45),最優(yōu)值為199.699 6;兩步法收斂代數(shù)為68代,收斂最優(yōu)解為(0.203 076 1,0.895 614 0,0.104 396),最優(yōu)值為829.162 5.三步法分別求解了樂觀最優(yōu)解和悲觀最優(yōu)解,而兩步法求解不了樂觀最優(yōu)解和悲觀最優(yōu)解的任意一種.

    算例3[13]:

    圖7 算例3迭代過程

    樂觀過程收斂代數(shù)為200,收斂最優(yōu)解為(-1.11e-03,29.995 2,-10.000 1,9.997 54),最優(yōu)值為-2.934e-03;悲觀過程收斂代數(shù)為198,收斂最優(yōu)解為(-1.18e-03,29.995 5,-10.000 1,9.997 66),最優(yōu)值為-2.658e-03;兩步法收斂代數(shù)為149代,收斂最優(yōu)解為(-1.07e-03,29.995 2,-10.000 1,9.997 56),最優(yōu)值為-3.038e-03.3種迭代過程大同小異,收斂的最優(yōu)解和最優(yōu)值都較為接近,3種迭代運算應(yīng)該還有繼續(xù)收斂到更優(yōu)解的可能,但最優(yōu)解和最優(yōu)解的精度已經(jīng)很高.

    算例4:

    s.t.0≤xi≤4

    yj≥0

    算例4的反應(yīng)集為:

    對于任意一個可行上層決策變量,下層最優(yōu)解均為無窮多個.樂觀最優(yōu)解為:

    樂觀最優(yōu)值為0,悲觀最優(yōu)解為:

    圖8 算例4迭代過程(左邊1+2維,右邊2+3維)

    對于1+2維:樂觀過程收斂代數(shù)為105,收斂最優(yōu)解為(0,4.88e-04,4),最優(yōu)值為2.387e-04;悲觀過程收斂代數(shù)為39,收斂最優(yōu)解為(2.001 68,1.998 83,3.08e-08),最優(yōu)值為8.002 304;兩步法收斂代數(shù)為132代,收斂最優(yōu)解為(0.519 99,0,3.480 51),最優(yōu)值為0.270 642 1.三步法分別求解了樂觀最優(yōu)解和悲觀最優(yōu)解,而兩步法求解不了樂觀最優(yōu)解和悲觀最優(yōu)解的任意一種.

    對于2+3維:樂觀過程收斂代數(shù)為48,收斂最優(yōu)解為(0,0,3.50e-03,0,3.996 97),最優(yōu)值為2.366e-04;悲觀過程收斂代數(shù)為199,收斂最優(yōu)解為(1.362 97,1.310 36,1.327 18,2.63e-08,0),最優(yōu)值為5.336 414;兩步法收斂代數(shù)為195代,收斂最優(yōu)解為(0.494 50,0.273 02,0,6.046 59e-02,3.172 52),最優(yōu)值為0.322 986 4.3種迭代運算應(yīng)該還有繼續(xù)收斂到更優(yōu)解的可能,但最優(yōu)解和最優(yōu)值的精度已經(jīng)很高,可以認為三步法分別求解了樂觀最優(yōu)解和悲觀最優(yōu)解,而兩步法求解不了樂觀最優(yōu)解和悲觀最優(yōu)解的任意一種.

    算例5:

    算例5的反應(yīng)集為:

    圖9 算例5迭代過程(左邊是2+2維,右邊是4+4維)

    對于2+2維:樂觀過程收斂代數(shù)為189,收斂最優(yōu)解為(1.05e-08,-3.20e-10,1.01e-08,-8.76e-10),最優(yōu)值為2.125e-016;悲觀過程收斂代數(shù)為6,收斂最優(yōu)解為(1,-1,-11.056 0,11.056 0),最優(yōu)值為246.471 4;兩步法收斂代數(shù)為132代,收斂最優(yōu)解為(0.421 2,1,0.435 6,1.570 8),最優(yōu)值為3.835 109.三步法分別求解了樂觀最優(yōu)解和悲觀最優(yōu)解,而兩步法求解不了樂觀最優(yōu)解和悲觀最優(yōu)解的任意一種.

    對于4+4維:樂觀收斂代數(shù)為144代,收斂最優(yōu)解(3.31e-10,3.57e-10,1.20e-08,4.80e-12,4.19e-09,-3.39e-08,2.89e-09,-4.73e-09),最優(yōu)值為1.342e-15;悲觀過程收斂代數(shù)為35,收斂最優(yōu)解為(1,-1,1,1-11.056 1,11.560 4,-11.056 1,-11.056 0),最優(yōu)值為492.945 5;兩步法收斂代數(shù)為89代,收斂最優(yōu)解為(0.799 921 9,0.497 671 3,-0.978 888 6,1.000 000,-4.068 758,-5.762 273,-1.364 951,1.570 795),最優(yōu)值為56.934 84.三步法分別求解了樂觀最優(yōu)解和悲觀最優(yōu)解,而兩步法求解不了樂觀最優(yōu)解和悲觀最優(yōu)解的任意一種.

    4結(jié)論

    上述5個不同類型的算例的計算結(jié)果,不僅證明了三步法對于下層最優(yōu)解不唯一的二層規(guī)劃的適用性,也證明了對于下層最優(yōu)解唯一的二層規(guī)劃,三步法同樣能有效地求解出其最優(yōu)解,從而三步法對于二層規(guī)劃具有普遍適用性.

    由于三步法中多次進行了單層求解運算,運算時間相對較長.未來將致力于解決三步法的運算時間問題,并且將三步法運用于實際二層規(guī)劃當中.

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    [責任編輯王康平]

    收稿日期:2015-11-05

    基金項目:國家自然科學基金(51479142,51339004),湖北省水利重點科研項目(HBSLKL201304),湖北水利科研項目(HBSLKY201401)

    通信作者:胡鐵松(1964-),男,教授,主要研究方向為運籌學.E-mail:tshu@whu.edu.cn

    DOI:10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2016.02.023

    中圖分類號:O224

    文獻標識碼:A

    文章編號:1672-948X(2016)02-0102-06

    Three-step Method for Solving Bilevel Programming with Non-unique Lower Level Optimal Solutions

    Wang JianHu TiesongWang Qin

    (State Key Laboratory of Water Resources & Hydropower Engineering Science, Wuhan Univ., Wuhan 430072, China)

    AbstractBased on optimistic and pessimistic bilevel programming with non-unique lower level optimal solutions, the definitions of optimistic and pessimistic feasible solution is proposed, three-step method for solving bilevel programming with non-unique lower level optimal solutions is also proposed. Finally, the proposed three-step method and two-step method proposed before have been applied to 5 benchmark problems. The numerical results demonstrate the feasibility and effectiveness of three-step method.

    Keywordsbilevel programming;optimistic optimal solution;pessimistic optimal solution

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