二維非線性非局域PT對(duì)稱光晶格中的孤子

陳順芳，成樂濤，金　剛

(1.湖北科技學(xué)院　電子與信息工程學(xué)院,湖北　咸寧　437100;2.通山一中,湖北　通山　437600 3.通城二中，湖北　通城　437400)

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二維非線性非局域PT對(duì)稱光晶格中的孤子

陳順芳1，成樂濤2，金剛3

(1.湖北科技學(xué)院電子與信息工程學(xué)院,湖北咸寧437100;2.通山一中,湖北通山437600 3.通城二中，湖北通城437400)

摘要：本文研究了非局域非線性(2+1)維PT對(duì)稱光晶格勢(shì)中孤子的傳輸特性。首先，使用改進(jìn)的平方算符法得到孤子數(shù)值解，然后用傅里葉配點(diǎn)法得到了孤子的穩(wěn)定性情況，對(duì)于孤子在介質(zhì)中傳輸?shù)姆€(wěn)定性情況我們采用分布傅里葉算法得到了它的傳播情況。分析了線性和非線性情況下光束的不同傳播行為。研究發(fā)現(xiàn)在非局域非線性(2+1)維PT對(duì)稱光晶格勢(shì)中，孤子是否存在與它的傳播常數(shù)，調(diào)制深度有著密切的關(guān)系，孤子的強(qiáng)度會(huì)隨著傳播常數(shù)的增大而增加，穩(wěn)定性卻隨之減弱。當(dāng)光功率超過一定值時(shí)孤子不能穩(wěn)定傳輸。

關(guān)鍵詞：非局域非線性；改進(jìn)的平方算符法；帶隙孤子；分步傅里葉算法

孤子又叫孤立子，它是一種特殊的超短脈沖，孤立波是一種在傳播過程中保持形狀、速度、幅度不變的脈沖狀行波[1]。鑒于孤子具有的這些特性，孤子系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)世界有著廣泛的應(yīng)用潛力[2]。因此，孤子的形成及其傳輸特性的研究在目前是一個(gè)十分誘人的課題。

近年來, 非局域非線性介質(zhì)中的空間孤子一直是研究的熱點(diǎn),人們對(duì)它們的各種獨(dú)特的性質(zhì)例如相互作用、穩(wěn)定性進(jìn)行了大量研究[3-6]。介質(zhì)中非局域亮孤子間的相互作用取決于它們間的相位差、相干程度、材料的非線性非局域程度; 非局域基態(tài)和二階體亮孤子總是穩(wěn)定的, 而高階亮孤子是震蕩不穩(wěn)的, 但如果樣品的寬度超過一臨界值, 三階、四階體亮孤子在其存在區(qū)域也總是穩(wěn)定的。 非局域表面亮孤子的穩(wěn)定性與體亮孤子的穩(wěn)定性相似：基態(tài)和二階表面亮孤子總是穩(wěn)定的，高階表面亮孤子是震蕩不穩(wěn)的。非局域基態(tài)界面亮孤子總是穩(wěn)定的, 二階及以上高階界面亮孤子是震蕩不穩(wěn)的[7～9]。 與非局域亮孤子相比，由于其邊界的特殊性，對(duì)非局域暗孤子相互作用及其穩(wěn)定性的研究甚少。非局域暗孤子間的相互作用取決于孤子間距離以及介質(zhì)的非局域程度，并存在著一個(gè)相互作用的臨界點(diǎn)。 2+1維非局域暗孤子由于橫向不穩(wěn)定性容易分裂并演變成渦旋孤子，其暗孤子的穩(wěn)定性如何, 目前還沒有文章對(duì)其進(jìn)行過具體研究.

本文基于二維非局域非線性薛定諤方程, 在前期研究[10～22]的基礎(chǔ)上，通過數(shù)值模擬得到非局域暗孤子解, 然后提出了暗孤子穩(wěn)定性分析理論, 并對(duì)其數(shù)值求解得到了非局域暗孤子的穩(wěn)定性分析圖, 最后利用加噪聲的傳輸驗(yàn)證了穩(wěn)定性分析理論的正確。

一、理論模型

非局域非線性介質(zhì)中的近軸光束的傳輸特性，沿z軸傳播的光束滿足歸一化的(2+1)維非局域非線性薛定諤方程[23]

(1)

其中u為無量綱光場(chǎng)包絡(luò)波，z軸為光束傳播軸，x軸和y軸為垂直于傳播軸的光束展寬方向。V(x,y)和W(x,y)分別為PT對(duì)稱晶格勢(shì)的實(shí)部和虛部，T表示調(diào)制深度。μ∫-∞+∞g(x-λ)g(y-λ)|u(λ)2|dλ表示非局域的形式，PT對(duì)稱晶格勢(shì)為

V(x,y)=(sech2(x)+sech2(y))(cos(2x)+cos(2y))，

(2a)

W(x,y)=W0(tanh(2x)tanh(2y))(cos(2x)+cos(2y)),

(2b)

圖1　PT勢(shì)的強(qiáng)度分布 (a)(b)(c)偶對(duì)稱V；(d)(e)(f)奇對(duì)稱W

假設(shè)方程(1)中孤子解的形式為u=f(x·y)eibz，其中b為傳播常數(shù)，模f(x,y)滿足下列方程

uxx+ivxx+uyy+ivyy+T(uv+ivw+ivv-vw)+(u+iv) ∫-∞+∞g(x-λ)g(y-λ)|u2+v2|dλ=b(u+iv),

(3)

我們用改進(jìn)的平方算符方法對(duì)方程(3)進(jìn)行數(shù)值求解，得到PT孤子模。為了研究所得孤子的穩(wěn)定性，我們對(duì)方程(1)采用微擾解:

U=eiμz{f(x,y)+[g(x,y)-h(x,y)]eλz+[g(x,y)+h(x,y)]*eλ*z}

(4)

其中g(shù)(x,y),h(x,y)?f(x,y)為微擾項(xiàng)。將微擾后的U(x,y,z)代入方程(1)，然后對(duì)g(x,y)和h(x,y)進(jìn)行線性化，得到它們的本征值方程:

uxx+ivxx+uyy+ivyy+T(uv+ivw+ivv-vw)+ξu3+ξiu2v+ξuv2+ξiv3=bu+ibv

(5)

令∫-∞+∞g(x-λ)g(y-λ)dλ=ξ則:實(shí)部：uxx+uyy+T(uv-vw)+ξu3+ξuv2=bu,虛部：vxx+vyy+T(vw+vv)+ξu2v+ξv3=bv.此本征值問題可以改寫為

(6)

其中

A1=uxxuyy+Tv+3ξu2+ξv2-b,A2=-Tw+2ξuv,B1=Tw+2ξuv,B2=vxx+vyy+Tv+3ξv2+ξu2-b,此本征值問題可以通過傅里葉配點(diǎn)法進(jìn)行求解，若本征值的實(shí)部為零，則孤子線性穩(wěn)定，反之，線性不穩(wěn)定。

為了便于討論，取PT勢(shì)的虛部強(qiáng)度W0=0.1。PT勢(shì)的分布如圖1所示，可以看到其實(shí)部V 關(guān)于原點(diǎn)偶對(duì)稱，虛部W關(guān)于原點(diǎn)奇對(duì)稱。

二、孤子的形成與分布

首先對(duì)方程(1)進(jìn)行求解得到基模孤子，由圖可以看出功率P隨著傳播常數(shù)μ的增加而增加，隨著調(diào)制深度參數(shù)T的增加P減小。孤子在光晶格傳輸有一個(gè)存在的區(qū)域與穩(wěn)定的區(qū)域，且隨著T的增大，μ1和μ2均增加。孤子的能量為P=∫-∞+∞∫-∞+∞|f(x,y)|2dxdy。圖2(a)(b)(c)表示不同調(diào)制深度T和傳播常數(shù)μ時(shí)基極孤子的強(qiáng)度分布。圖2(d)(e)(f)是對(duì)應(yīng)孤子實(shí)部與與虛部的光場(chǎng)分布，圖2(g)(h)(i)是對(duì)應(yīng)孤子的穩(wěn)定性光譜，我們?cè)谟?jì)算仿真過程中發(fā)現(xiàn)第一帶隙結(jié)構(gòu)中的基模孤子可以保持穩(wěn)定，通過線性穩(wěn)定性分析我們得到了三組孤子的穩(wěn)定性光譜，由于僅僅包含虛部本征值，因此這個(gè)孤子是穩(wěn)定的。

圖2(a)(b)(c) 基模孤子強(qiáng)度分布圖，參數(shù)為(a)T = 3，μ= 6.4，(b) T = 3，μ= 8.6，(c) T =6，μ= 8.6，(d)(e)(f)基模孤子光場(chǎng)分布(實(shí)部是實(shí)線，虛部是虛線)；(g)(h)(i) 基模孤子線性穩(wěn)定性光譜

圖3　(a)(b)(c) 偶孤子強(qiáng)度分布圖，參數(shù)為(a)T = 5，μ= 8.4，(b) T = 5，μ= 9.6，(c) T =7，μ= 9.6，(d)(e)(f)偶孤子光場(chǎng)分布(實(shí)部是實(shí)線，虛部是虛線)；(g)(h)(i) 偶孤子線性穩(wěn)定性光譜

圖4　(a)(b)(c)是偶孤子對(duì)應(yīng)圖3 (a)(b)(c)在z=400的輸出；(d)(e)(f)是偶孤子在z=400的輸出時(shí)刻的相位分布。參數(shù)為(a)T = 5，μ= 8.4，(b) T = 5，μ= 9.6，(c) T =7，μ= 9.6。

圖3(a)(b)(c)表示不同調(diào)制深度T和傳播常數(shù)μ時(shí)偶孤子的光場(chǎng)分布，當(dāng)T=5，傳播常數(shù)μ增加時(shí)，圖3(b)中孤子的光強(qiáng)大于3(a)；當(dāng)μ=9.6時(shí)，圖3(c)中孤子的光強(qiáng)小于3(b)。圖3.3(d)(e)(f)時(shí)對(duì)應(yīng)的偶孤子的光場(chǎng)實(shí)部虛部分布圖，可以看出它是實(shí)部關(guān)于原點(diǎn)偶對(duì)稱，虛部關(guān)于原點(diǎn)奇對(duì)稱。圖3.3(g)(h)(i)是對(duì)應(yīng)孤子的線性穩(wěn)定性光譜，可以看出(g)(i)都是穩(wěn)定的，(h)是不穩(wěn)定的。這是由于方程(1)中的非線性項(xiàng)與非局域度之間的相互作用，非線性效應(yīng)加強(qiáng)光束寬度變小抑制了孤子的能量轉(zhuǎn)移，使得在這種平衡狀態(tài)下得到穩(wěn)定孤子。偶孤子之間存在著相互排斥的作用，所以在得到穩(wěn)定的二極孤子時(shí)需要對(duì)基極孤子更大的調(diào)制深度，進(jìn)而分裂得到偶孤子。 P隨μ的增大而增大，其中，調(diào)制深度T增大，功率P隨μ的增加而增加的速率變慢。隨著T的增加P減小，其中，傳播常數(shù)μ增大。

接著我們用分布傅里葉算法得到了偶孤子的傳輸圖像。圖4 (a)(b)(c)和(d)(e)(f)分別為偶孤子在Z=400時(shí)的輸出圖像和相位分布。由圖4(a)(c)可見經(jīng)過較長距離的傳輸后偶孤子能夠在吸收微擾白噪聲能量后保持其原有波形，從而傳輸穩(wěn)定。而由圖4 (b)我們可以看到孤子在經(jīng)過較長距離的傳輸后發(fā)生了失真，波形嚴(yán)重變形，這是由于發(fā)生能量轉(zhuǎn)移，使得孤子不穩(wěn)定。從而證明了線性穩(wěn)定性分析的結(jié)果。

三、結(jié)論

通過研究我們得出帶隙基模孤子的功率P隨著傳播常數(shù)μ的增加而增加，隨著調(diào)制深度參數(shù)T的增加功率P減小。孤子在光晶格傳輸有一個(gè)存在的區(qū)域與穩(wěn)定的區(qū)域，且隨著T的增大，μ1和μ2均增加。我們發(fā)現(xiàn)在第一帶隙結(jié)構(gòu)中的基模孤子可以保持穩(wěn)定，通過線性穩(wěn)定性分析我們得到了三組孤子是穩(wěn)定的，而偶孤子之間存在著相互排斥的作用，所以在得到穩(wěn)定的二極孤子時(shí)需要對(duì)基極孤子更大的調(diào)制深度，進(jìn)而分裂得到偶孤子。功率P隨傳播常數(shù)μ的增大而增大，調(diào)制深度T增大，功率P隨μ的增加而增加的速率變慢。隨著T的增加P減小，傳播常數(shù)μ增大。

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文章編號(hào)：2095-4654(2016)05-0001-05

* 收稿日期：2016-02-01

中圖分類號(hào)：TN929.11

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A