《數(shù)列求和》基本方法與類型探析

呂　驥

(鄂南高級(jí)中學(xué)，湖北　咸寧　437100)

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《數(shù)列求和》基本方法與類型探析

呂驥

(鄂南高級(jí)中學(xué)，湖北咸寧437100)

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反應(yīng)自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在高考和各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位，特別是回歸全國(guó)卷以后，數(shù)列的深度、廣度和重要性更是上了一個(gè)臺(tái)階。數(shù)列求和又是數(shù)列當(dāng)中的一種基本運(yùn)算，是數(shù)列版塊的重中之重，是數(shù)列里的必考內(nèi)容，因此必須引起廣大師生的特別重視。想要攻克這一重難點(diǎn)，必須掌握數(shù)列求和的常見方法和基本類型，以下分別來做介紹：

一、公式法求和

公式法主要是用于解決最基層的數(shù)列求和問題的，等差數(shù)列和等比數(shù)列作為兩種最基本的數(shù)列，自然要熟記其求和公式，除此之外，前n個(gè)正整數(shù)的平方和、立方和公式也是需要熟記的，并沒有太多的技巧。

以下就是一些需要記憶的公式：

(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式:

其中，Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1為其首項(xiàng)，d為其公差。

(2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：

其中，Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1為其首項(xiàng)，q為其公比，要注意對(duì)其公比q是否為l進(jìn)行判斷。

(3)前n個(gè)正整數(shù)的和：

前n個(gè)正奇數(shù)的和：

Sn=1+3+…+(2n-1)=n2

前n個(gè)正偶數(shù)的和：

Sn=2+4+…+2n=n(n+1)

前n個(gè)正整數(shù)的平方和：

前n個(gè)正整數(shù)的立方和：

其中，前n個(gè)正整數(shù)的和、前n個(gè)正奇數(shù)的和、前n個(gè)正偶數(shù)的和直接用等差數(shù)列的求和公式來證明；前n個(gè)正整數(shù)的平方和、前n個(gè)正整數(shù)的立方和可用數(shù)學(xué)歸納法證明。

例：(1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=-2n+11，如果bn=|an|(n∈N)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。

(2)設(shè)等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q

(2)若q=1則S3+S6=9a1,而2S9=18a1,與S3+S6=2S9矛盾，故q≠1，

得2q9-q6-q3=0,2(q3)2-q3-1=0,

方法小結(jié)：一旦確定了某數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列或是與前n個(gè)正整數(shù)相關(guān)的求和問題是，就可考慮使用公式法求和。

二、倒序相加法求和

倒序相加法求和是從等差數(shù)列求和中抽象出來的一種方法，思路很重要，但使用頻率并不是很高，往往會(huì)與函數(shù)求值聯(lián)系在一起。

例：求數(shù)列{2n+1)Cnn}的前n項(xiàng)和.

解：記Sn=Cn0+3Cn1+5Cn2+…+(2n+1)Cnn

則Sn=(2n+1)Cnn+(2n-1)Cnn-1+…+3Cnn-1+Cn0=(2n+1)Cn0+(2n-1)Cn1+…+3Cnn-1+Cnn

兩式相加得，2Sn=(2n+2)(Cn0+Cn1+…+3Cnn-1+Cnn)=2(n+1)·2n

故Sn=(n+1)·2n

方法小結(jié)：倒序相加法求和是基于推導(dǎo)等差數(shù)列求和而派生的一種求和方法，使用的特點(diǎn)是，與首末等距的兩項(xiàng)和相等。

三、錯(cuò)位相消法求和

錯(cuò)位相消法是基于等比數(shù)列求和推導(dǎo)出來的一種求和方法，需要注意在和式兩邊同乘的數(shù)是否為1，這是一種考察頻率極高的求和方法，要特別重視。

例：(1)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=2,a1+a2+a3=12，.

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)令bn=an·3n(n∈N*),，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的公式.

解: (1)(Ⅰ)∵a1=2,a1+a2+a3=12

∴3a1+3d=12,即d=2

∴an=2+(n-1)·2=2n.

(Ⅱ)由已知：bn=2n·3n

∵Sn=2·3+4·32+6·33+…+2n·3n+1

3Sn=2·32+4·33+…+2(n-1)·3n+2n·3n+1

Tn=2×20+3×21+4×22+…+(n+1)×2n-1

①

2Tn=2×21+3×22+…+n×2n-1+(n+1)×2n

②

∴Tn=n·2n

方法小結(jié)：形如an=bn·cn的數(shù)列{an}可考慮使用錯(cuò)位相消法求和，其中{bn}為差數(shù)列，{cn}為等比數(shù)列。錯(cuò)位相消法求和有很多計(jì)算方面的易錯(cuò)點(diǎn)，對(duì)計(jì)算的精細(xì)要求程度非常高，從常規(guī)教學(xué)情況來看，許多學(xué)生知道方法但不一定能算出準(zhǔn)確的結(jié)果，是考試中的一個(gè)拉分點(diǎn)。

四、裂項(xiàng)相消法求和

數(shù)列{an}的通項(xiàng)如果能拆成形如an=f(n)-f(n-k)(k=1,2…)的形式，那么在求和時(shí)就可以進(jìn)行相鄰項(xiàng)(或相隔幾項(xiàng))的相互消去，從而結(jié)果只存在有限幾項(xiàng)，達(dá)到求和目的。其中通項(xiàng)公式為分式和根式的采用裂項(xiàng)相消法求和較多。

(2)已知等差數(shù)列{an}滿足：a3=7，a5+a7=26,{an}，的前n項(xiàng)和為Sn。

(Ⅰ)求an及Sn；

故該數(shù)列的前99項(xiàng)之和等于9，

(2)(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=2n+1，

方法小結(jié)：常見的裂項(xiàng)方法有：

(4)an=Sn-Sn-1(n≥2)，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和

五、并項(xiàng)相加法求和

形如{(-1)n-1·an}(其中{an}為等差數(shù)列)的數(shù)列可考慮用并項(xiàng)法求和，求和時(shí)注意對(duì)n的奇偶性進(jìn)行分類討論.

例：(已知數(shù)列{(-1)n-1(4n-3)}的前n項(xiàng)和為Sn，求S15+S22-S31的值。

∴S15=29,S22=-44,S31=61,

∴S15+S22-S31=-76

方法小結(jié)：在并項(xiàng)求和時(shí)要注意：

(1)相鄰兩項(xiàng)一組，如果項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，那么會(huì)留出一項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，那么剛好分組。所以要對(duì)項(xiàng)數(shù)進(jìn)行奇偶的分類討論；

(2)在項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的求和過程中要注意的取值變化不再是1,2,3,…，而是2，4，6，…，所以求和時(shí)的項(xiàng)數(shù)會(huì)對(duì)應(yīng)發(fā)生改變；

(3)對(duì)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的求和可利用前面偶數(shù)求和的結(jié)論，可以大大簡(jiǎn)化求和過程.

六、分組法求和

如果數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是前幾種可求和形式的和與差，那么在求和時(shí)可將通項(xiàng)公式分成這幾部分分別求和后，再將結(jié)果進(jìn)行相加減。

例：(1)已知an=n(n+1)(n+2)，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn。

(2)求和：Sn=(a-1)+(a2-2)+…+(an-n),a為非零常數(shù)。

解：(1)an=n(n+1)(n+2)=2n3+3n2+n，

∴Sn=2(13+23+…+n3)+3(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)

方法小結(jié)：若數(shù)列{an}本身不是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，也不具備整體使用倒序、裂項(xiàng)、錯(cuò)位、并項(xiàng)求和的特點(diǎn)，可考慮將其適當(dāng)拆開，分成幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列分別求和，再將其合并。

文章編號(hào)：2095-4654(2016)05-0144-03

* 收稿日期：2015-12-20