在裂紋尖端引入奇異單元的偶應(yīng)力有限元法

周曉敏　溫慶陽

摘要： 針對在微觀狀態(tài)下結(jié)構(gòu)力學(xué)行為會受尺度效應(yīng)影響的問題，在偶應(yīng)力理論中考慮微觀結(jié)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)梯度可以較好解釋結(jié)構(gòu)的尺度效應(yīng).建立基于一般偶應(yīng)力理論的有限元法的基本方程，并在裂紋尖端引入奇異單元，計算受單向拉伸的中心斜裂紋板裂紋尖端場的應(yīng)力強(qiáng)度因子（Stress Intensity Factor，SIF），分析特征長度變化對SIF的影響，對比偶應(yīng)力理論下的結(jié)果與經(jīng)典理論下的結(jié)果.結(jié)果表明：在裂紋尖端引入奇異單元可以提高計算精度和穩(wěn)定性；偶應(yīng)力使得裂紋尖端SIF比經(jīng)典理論下的值小，并且SIF隨著特征長度增大而減小.

關(guān)鍵詞： 微觀結(jié)構(gòu)； 偶應(yīng)力； 旋轉(zhuǎn)梯度； 奇異單元； 應(yīng)力強(qiáng)度因子； 有限元法； 尺度效應(yīng)

中圖分類號： TU452； O344.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Couple stress finite element method using

singular element at crack tip

ZHOU Xiaomin， WEN Qingyang

（School of Architectural and Surveying & Mapping Engineering， Jiangxi University of Science and Technology，

Ganzhou 361000， Jiangxi， China）

Abstract： As to the issue that the mechanical behavior of microstructure may be affected by the scale effect， the couple stress theory can explain the scale effect very well by considering the effect of rotating gradient. The basic equation of finite element method is built based on the general couple stress theory and the singular element is introduced into crack tip. The Stress Intensity Factor（SIF） of the crack tip field of a plate with incline center crack in uniaxial tension is calculated， and the effect of characteristic length on the SIF is analyzed； the results obtained by the couple stress theory and the classical theory are compared. The results show that， the calculation accuracy and stability can be improved by introducing singular element into crack tip， the SIF obtained by couple stress is less than that determined by the classical theory， and the SIF increases with the decrease of the value of characteristic length.

Key words： microstructure； couple stress； rotating gradient； singular element； stress intensity factor； finite element method； size effect

收稿日期： 2015[KG*9〗11[KG*9〗29修回日期： 2016[KG*9〗01[KG*9〗19

基金項目： 國家自然科學(xué)基金（41462009）；江西省自然科學(xué)基金（20151BAB206025）； 江西省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項目（GJJ150628， GJJ150629）

作者簡介： 周曉敏（1988—），女，江西吉水人，助教，碩士，研究方向為計算力學(xué)和結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析，（Email） zhouxmim@126.com0引言

在微觀狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)的特征尺寸與材料的特征長度處于相近數(shù)量級，材料缺陷（微裂紋）處不同點(diǎn)之間的相互作用不可忽略，因此結(jié)構(gòu)將出現(xiàn)傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)理論無法解釋的尺度效應(yīng)現(xiàn)象.此時，建立基于連續(xù)介質(zhì)框架、考慮尺度效應(yīng)的本構(gòu)模型就成為聯(lián)系經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和微觀力學(xué)之間的橋梁.偶應(yīng)力理論就是在此背景下發(fā)展起來的應(yīng)變梯度理論的一種.COSSERAT兄弟[1]提出一般偶應(yīng)力理論，將材料的特征長度和第二切變模量引入結(jié)構(gòu)的本構(gòu)關(guān)系中，系統(tǒng)建立考慮偶應(yīng)力影響時的本構(gòu)模型，解釋材料的尺度效應(yīng)現(xiàn)象.基于偶應(yīng)力理論的力學(xué)問題只有極少數(shù)問題有解析解，一般采用有限元法及擴(kuò)展有限元法（Extended Finite Element Method， XFEM）研究.趙勇等[2]和齊磊等[3]采用有限元法研究考慮偶應(yīng)力影響下的小孔應(yīng)力集中問題.王勝軍[4]基于有限元法給出一般偶應(yīng)力理論與轉(zhuǎn)動約束偶應(yīng)力理論的異同.張敦福等[56]和吳延峰等[7]采用有限元法分析考慮偶應(yīng)力理論情況下的巖石剪切帶等問題.趙冰等[8]采用有限元法分析微梁彎曲的尺度效應(yīng).徐慧等[9]和侯日立等[10]采用有限元法研究單向拉伸裂紋板.茹忠亮等[11]給出擴(kuò)展有限元法在斷裂力學(xué)問題上的應(yīng)用.吳圣川等[1213]對斷裂力學(xué)問題及其CAE軟件的現(xiàn)狀和發(fā)展給出系統(tǒng)的綜述，并且基于成熟的擴(kuò)展有限元法和自主研發(fā)的虛節(jié)點(diǎn)法推出具有完全自主知識產(chǎn)權(quán)的三維疲勞裂紋擴(kuò)展分析軟件ALOF.霍金東等[14]采用Abaqus的XFEM功能對折彎片的斷裂問題進(jìn)行仿真.陳星文[15]運(yùn)用XFEM分析三維高壓管道中的裂紋擴(kuò)展問題.

由于裂紋尖端應(yīng)力場具有奇異性，計算結(jié)果受網(wǎng)格劃分影響較大.BARSOUM[16]提出奇異單元，并應(yīng)用于斷裂力學(xué)中裂紋尖端應(yīng)力場的求解，提高有限元法計算斷裂問題的精度和穩(wěn)定性，避免裂紋尖端區(qū)域網(wǎng)格劃分困難.沈輝等[17]研究奇異單元有限元法計算精度受網(wǎng)格劃分的影響情況.李堯臣等[18]提出引入位移協(xié)調(diào)奇異單元的有限元法.林廣平等[19]構(gòu)造三維奇異單元.段慶全等[20]采用奇異單元分析裂紋擴(kuò)展問題.

本文研究裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子（Stress Intensity Factor，SIF）的尺度效應(yīng)現(xiàn)象，將一般偶應(yīng)力理論與有限元法相結(jié)合，并在裂紋尖端引入奇異單元，分別分析含邊裂紋的三點(diǎn)受力梁和受單向拉伸的中心斜裂紋板的裂紋尖端SIF，給出偶應(yīng)力和奇異單元對SIF的影響，并分析特征長度與裂紋長度比值變化對SIF的影響規(guī)律.

1分析方法

基于一般偶應(yīng)力理論的平面應(yīng)力單元（見圖1），微元上作用的單位面積力和單位面積力偶的直角分量分別為（σx，σy，τxy，τyx）和（μx，μy）.

圖 1考慮偶應(yīng)力的微元體

Fig.1Microelement considering couple stress

分析考慮偶應(yīng)力影響的平面彈性問題時，切應(yīng)力不再具有互等性，需在每個平面微元中增加2個偶應(yīng)力項，因此偶應(yīng)力理論下的平衡方程需要在傳統(tǒng)彈性力學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)行相應(yīng)修改，即為σxx+τyxy=0

τxyx+σyy=0

μxx+μyy+τxy-τyx=0 （1）剪切應(yīng)變εyx和εxy示意見圖2.在微元體中，由于偶應(yīng)力的存在，微元體會有微轉(zhuǎn)動出現(xiàn)，產(chǎn)生彎曲效應(yīng)，并引發(fā)微轉(zhuǎn)角ωz.

a） εyxb） εxy圖 2剪切應(yīng)變εyx和εxy

Fig.2Shear strains εyx and εxy

彎曲效應(yīng)所產(chǎn)生的曲率使εxy≠εyx，剪應(yīng)力互等定理不再成立.微元幾何方程為εx

式中：E為彈性模量；v為泊松比；G為剪切模量；Gc為第二剪切模量；l為材料的特征長度，是為平衡一般偶應(yīng)力理論中應(yīng)變和應(yīng)變梯度的量綱而引入的材料常數(shù).l具有長度的量綱，是一種依賴于材料微觀結(jié)構(gòu)形態(tài)的特征常數(shù)，其大小取決于材料的微結(jié)構(gòu)，不受外界約束或載荷影響.[5]

力邊界條件為fx

fy

=[nm]σxτxyμx

τyxσyμy （4）式中：n和m為邊界的外法線方向余弦；fx和fy為邊界上已知的面力；為邊界上已知的面力偶.

位移邊界條件為u=

ωz=z （5）式中：和z分別為邊界上已知的位移和轉(zhuǎn)角.

為更好地描述裂紋尖端處應(yīng)力場的奇異性，在裂紋尖端引入奇異單元.裂紋尖端劃分的等參奇異三角形單元見圖3，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)于裂紋尖端點(diǎn)，采用極坐標(biāo)（r，θ）表示，將單元中與裂紋尖端相連邊界上的節(jié)點(diǎn)移至邊長的1/4處.a）奇異單元節(jié)點(diǎn)分布b）裂紋尖端坐標(biāo)系及節(jié)點(diǎn)布置

三角形奇異單元的形函數(shù)可以由劃線法得到.形函數(shù)為N1=（4ξ+4η-1）（ξ+η-1）

2數(shù)值算例

2.1含邊裂紋的3點(diǎn)受力梁

含邊裂紋3點(diǎn)受力梁模型見圖4，其中：梁長L=8 m，梁高h(yuǎn)=1 m，截面為正方形；在梁的中心沿高度方向有一長度為a=0.5 m的單邊裂紋，在裂紋延長線與上表面的交點(diǎn)處作用有大小為F=10 kN的集中載荷.材料的彈性模量E=200 GPa，切變模量G=E/2（1+v），泊松比v=0.3，第二切變模量取Gc=G，特征長度與梁高比l/h=0.001.

圖 4含邊裂紋的3點(diǎn)受力梁模型

Fig.4Model of threepoints bending beam with edge crack

經(jīng)典理論解、傳統(tǒng)有限元解以及考慮奇異單元和偶應(yīng)力下計算得到的含邊裂紋三點(diǎn)受力梁模型SIF的結(jié)果比較見表1.由此可以看出：相對于未考慮奇異單元法的結(jié)果，采用奇異單元法得到的SIF更接近理論解；考慮一般偶應(yīng)力理論后，裂紋尖端SIF要小于未考慮偶應(yīng)力的值.

表 1不同方法得到應(yīng)力強(qiáng)度因子

Tab.1Results of SIF obtained by different methods

kPa/m2求解方法SIF經(jīng)典理論[21]213.0傳統(tǒng)有限元191.8奇異單元211.8偶應(yīng)力有限元177.5偶應(yīng)力奇異單元201.3

2.2單向受拉中心斜裂紋板

兩端受大小為σ=10 kPa均布力拉伸的中心斜裂紋板見圖5，其中：板寬w=2 m，高h(yuǎn)=2.5 m，裂紋長2a=0.2 m，與水平面夾角α=45°.圖 5單向受拉中心斜裂紋板模型

Fig.5Model of plate with incline center crack in

uniaxial tension

裂紋尖端附近單元有限元網(wǎng)格劃分見圖6.材料的彈性模量E=200 GPa， 泊松比v=0.3，取特征長度與裂紋半長的比值l/a=1，第二切變模量與切變模量比值Gc/G=0.5[5]；KI=KI/K0，KII=KII/K0分別為無量綱化I型和II型SIF，其中K0=σπa.

圖 6裂紋尖端附近單元有限元網(wǎng)格劃分

Fig.6Finite element mesh around crack tip

在不考慮偶應(yīng)力影響的條件下，采用解析法得到的經(jīng)典理論解見表2.整體采用8節(jié)點(diǎn)四邊形單元劃分得到的8節(jié)點(diǎn)等參元解，整體采用8節(jié)點(diǎn)四邊形單元劃分后在裂紋尖端采用奇異單元劃分得到奇異單元解.由表2可見：在相同網(wǎng)格劃分密度下，采用奇異單元求得的復(fù)合型裂紋的I型和II型SIF相對于僅采用8節(jié)點(diǎn)等參元得到的結(jié)果具有更高的精度.

表 2I型和II型SIF

Tab.2SIF of type I and II求解方法KIKII經(jīng)典理論[21]0.5000.5008節(jié)點(diǎn)等參元0.4140.416奇異單元0.4830.500

考慮偶應(yīng)力影響的情況下不同特征長度對I型和II型SIF的影響見表3.由此可知：在不同的特征長度下，考慮偶應(yīng)力影響計算得到的I型和II型SIF會隨著特征長度與裂紋長度之比的增加而減小；當(dāng)特征長度與結(jié)構(gòu)尺寸處于相近數(shù)量級時，尺度效應(yīng)明顯；當(dāng)特征長度遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)尺寸時，偶應(yīng)力對計算結(jié)果的影響較小.

3結(jié)論

本文將奇異單元、偶應(yīng)力理論和有限元法相結(jié)合，給出在裂紋尖端使用奇異單元的一般偶應(yīng)力理論有限元法，得出如下主要結(jié)論.

（1）在同等網(wǎng)格劃分密度下，采用奇異單元法得到的裂紋尖端SIF相對于僅采用8節(jié)點(diǎn)四邊形單元得到的結(jié)果更接近理論解.

（2）考慮一般偶應(yīng)力理論后會減小裂紋尖端SIF的值；隨著特征長度的減小，SIF減??；在特征長度與裂紋半寬處于相近數(shù)量級時，SIF受特征長度影響明顯；當(dāng)特征長度遠(yuǎn)大于裂紋半寬時，SIF受特征長度改變影響較小.參考文獻(xiàn)：

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（編輯武曉英）